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1、27函数的图象 知识梳理1利用描点法作函数图象的流程2变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax(a0且a1)ylogax(a0且a1)(3)翻折变换yf(x)y|f(x)|；yf(x)yf(|x|)(4)伸缩变换3有关对称性的常用结论(1)函数图象自身的轴对称f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)的图象关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)
2、，则函数yf(x)的图象关于直线x对称(2)函数图象自身的中心对称f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称；函数yf(x)的图象关于(a,0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)的图象关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)；若函数yf(x)定义域为R，且满足条件f(ax)f(bx)c(a，b，c为常数)，则函数yf(x)的图象关于点对称(3)两个函数图象之间的对称关系函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于直线x对称；函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称；函数yf(x)与y2bf(x)的图象
3、关于直线yb对称；函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称诊断自测1概念思辨(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(3)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(4)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P75T10)函数ylg |x1|的图象大致为()答案B解析ylg |x1|关于直线x1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组
4、T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()答案D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢故选D.3小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1答案D解析与曲线yex关于y轴对称的曲线为yex，函数yex的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f
5、(x)的图象，即f(x)e(x1)ex1.故选D.(2)(2017茂名模拟)已知函数f(x)(xa)(xb)(其中ab)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是()答案C解析由函数的图象可知，1b1，则g(x)axb为增函数，当x0时，y1b0，且过定点(0,1b)故选C.题型1函数图象的画法 作出下列函数的图象：(1)y|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y；(4)yx22|x|1.用图象变换作图解(1)先作出yx的图象，保留yx图象中x0的部分，再作出yx的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图象，如图a实线部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x
6、轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图b.(3)y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图d. (2017建邺区校级期中)已知函数f(x)(1)画出函数f(x)的图象；(2)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围用数形结合法解(1)作函数f(x)的图象如下：(2)根据a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，令abc，由f(x)的解析式可知|log4a|log4b|，可得log4alog4b0
7、，即为ab1，所以abcc，由图象可得c的范围是(4,6)故abc的范围是(4,6)方法技巧作函数图象的一般方法1直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出见冲关针对训练(1)2图象变换法变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换见典例1.3描点法当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出冲关针对训练作出下列函数的图象：(1)y10|lg x|；(2)y|x2|(x1)解(1)当x1时，lg x0，y10|lg x|10lg xx；当0x1时，lg x0，y1
8、0|lg x|10lg x10lg .故y这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)(2)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22；当x2，即x20，A错误；f(2)8e20时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，当x时，f(x)0时，yax2x为开口向上抛物线，而对ya2x32ax2xa，求导得y3a2x24ax1，令y0，得x或x，即ya2x32ax2xa有2个极值点且为正，A，C都有可能当a0时，y有无数个零点，与图象不符合；D中，y的定义域是(0,1)(1，)，D中函数不符合故选C.题型3函数图象的应用角度1利用函数图象求解不等式(多维探究)(2
9、015北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2用数形结合法答案C解析作出函数ylog2(x1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与ylog2(x1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)log2(x1)的解集为x|10，则函数yf(x)sinx在2，2上的零点个数为()A2 B4 C5 D8根据函数周期性用数形结合答案B解析f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x2)f(x)f(x)，yf(x)的图象关于y轴和直线x对称，又0x0，0x时，f(x)0.同理，x0.又0x时，0f(x)g
10、(2)1，f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.2已知直线ykx(kR)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k的取值范围是()A. B(，2)(2，)C(，2) D(2，)答案D解析由图可知，当ykx在第一象限与f(x)相切时，有两个交点，即当x0时，ykx与yx22有一个交点，联立方程x2kx20，x0时，0，k2.要使ykx与函数f(x)的图象有三个交点，所以k的取值范围为(2，)，故选D.1.(2017浙江高考)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0
11、，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C.如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确故选D.2(2017湖北百所重点学校联考)函数y的图象大致是()答案D解析从题设提供的解析式中可以看出x0，且当x0时，yxln x，y1ln x，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增故选D.3(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则
12、yf(x)的图象大致为()答案B解析当点P与C、D重合时，易求得PAPB1；当点P为DC的中点时，有OPAB，则x，易求得PAPB2PA2.显然12，故当x时，f(x)没有取到最大值，则C，D两项错误；又当x时，f(x)tanx，不是一次函数，排除A，故选B.4(2016山东高考)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析f(x)的大致图象如图所示，要满足存在bR，使得方程f(x)b有三个不同的根，只需4mm20，所以m3. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1为了得到函数y3x的图象，可以把函数yx的图象()A向左平移3个
13、单位长度 B向右平移3个单位长度C向左平移1个单位长度 D向右平移1个单位长度答案D解析y3x1xx1，故它的图象是把函数yx的图象向右平移1个单位长度得到的故选D.2(2017山西太原二模)函数f(x)的图象大致为()答案D解析函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，且图象关于x1对称，排除B、C；取特殊值，当x时，f(x)2ln 0，故选D.3函数f(x)ln (x21)的图象大致是()答案A解析依题意，得f(x)ln (x21)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C；因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.4(2017乐山模拟)函数f
14、(x)的部分图象如图所示，则f()()A4 B2 C2 D.答案A解析由函数的图象可得A2，根据半个周期，解得2.由图象可得当x时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin0.再由|0时，其函数值y0；yx2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x0时，其函数值y0，且当x0时，其函数值y0.故选A.7(2015浙江高考)函数f(x)cosx(x且x0)的图象可能为()答案D解析解法一：(性质特值排除法)该函数的定义域为，0)(0，显然定义域关于原点对称函数yx是奇函数，ycosx为偶函数，所以f(x)cosx为奇函数，所以排除A、B；取x，则f()cos0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)
15、f()cos0，故排除B.故选D.8(2017达州期末)已知函数f(x)xcosx，f(x)是f(x)的导数，同一坐标系中，f(x)和f(x)的大致图象是()答案C解析由于f(x)xcosx，f(x)cosxxsinx，当x0时，f(0)0，f(0)1，排除B、D；当f(x)0时，f(x)是增函数，曲线是上升的，f(x)0时，f(x)是减函数，曲线是下降的，判断出C是正确的，排除A.故选C.9(2018郑州模拟)函数y的图象与函数y2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8答案D解析图象法求解在同一坐标系中，分别作出函数y与y2sinx(2x4)的图象，y的对
16、称中心是(1,0)，也是y2sinx(2x4)的中心，当2x4它们的图象在x1的左侧有4个交点，则x1右侧必有4个交点不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1x8x2x7x3x6x4x52，所以选D.10(2017杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数yf(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)已知函数f(x)有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是()A(，0) B(0,1)C. D(0，)答案B解析依题意，“伙伴点组”的点
17、满足：都在yf(x)的图象上，且关于坐标原点对称可作出函数yln (x)(x0)的图象，使它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可当直线ykx1与yln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又yln x的导数为y，则km1ln m，k，解得m1，k1，可得函数yln x(x0)的图象过(0，1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k(0,1)时两函数图象有两个交点故选B.二、填空题11(2018咸阳模拟)已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_答案5解析由2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，作出函数yf(x)的图象由图象知y与yf(x)的图象有2个交点，y1
18、与yf(x)的图象有3个交点因此函数y2f2(x)3f(x)1的零点有5个12设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F，G，且FG.若对任意的xF，都有g(x)f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”已知函数f(x)x(x0)，若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为_答案g(x)2|x|解析画出函数f(x)x(x0)的图象关于y轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g(x)的图象，由图可知：函数g(x)的解析式为g(x)2|x|.13(2018南昌大联考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(
19、x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_答案解析先画出yx22x在区间0,3)上的图象，再将x轴下方的图象对称到x轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间3,4内，即得f(x)在区间3,4上的图象如图所示，其中f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)等价于yf(x)的图象与直线ya有10个不同的交点，由图象可得a.14(2017湖北百所重点学校联考)设函数f(x)对任意实数x满足f(x)f(x1)，且当0x1时，f(x)x(1x)，若关于x的方程f(x)kx有3个不同的实数根，则k的取值范围
20、是_答案(52，1)32解析因f(x)f(x1)，故f(x2)f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数yf(x)，x0,1的图象，再借助函数满足的条件f(x)f(x1)及周期性，画出函数yf(x)的图象如图，易知仅当直线ykx位于l1与l2之间(不包括l1，l2)或与l3重合时满足题意，对yx(1x)求导得y12x，y|x01，l2的斜率为1.以下求l3的斜率：当1x2时，易得f(x)f(x1)(x1)1(x1)x23x2，令x23x2kx0，得x2(3k)x20，令(3k)280，解得k32，由此易知l3的斜率为32.同理，由2x3时，f(x)x25x6，可得l1的斜率为52.
21、综上，52k1或k32，故应填(52，1)32三、解答题15已知函数f(x)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值解(1)函数f(x)的图象如图所示(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1，0，2,5(3)由图象知当x2时，f(x)minf(2)1，当x0时，f(x)maxf(0)3.16已知f(x)|x24x3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解(1)当x24x30时，x1或x3，f(x)f(x)的图象如图所示(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(，1，(2,3)，(1,2，3，)，其中(，1，(2,3)是减区间；(1,2，3，)是增区间(3)由f(x)的图象知，当0m1时，f(x)m有四个不相等的实根，所以Mm|0m1