《2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第4章第4讲 正、余弦定理及解三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第4章第4讲 正、余弦定理及解三角形.docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第四讲正、余弦定理及解三角形题组1正、余弦定理及其综合应用1.2016全国卷,9,5分文在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sin A=()A.310 B.1010C.55 D.310102.2014新课标全国,4,5分钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5 B.5C.2D.13.2013新课标全国,4,5分文ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=6,C=4,则ABC的面积为()A.23+2 B.3+1 C.23-2D.3-14.2013陕西,9,5分文设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos
2、B=asin A,则ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定5.2017全国卷,16,5分文ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.6.2017全国卷,15,5分文ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.7.2015新课标全国,16,5分在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.8.2015北京,12,5分在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.9.2017全国卷,17,12分ABC的内角A,B,C的对边分
3、别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.10.2016四川,17,12分在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.()证明:sin Asin B=sin C;()若b2+c2-a2=65bc,求tan B.11.2015新课标全国,17,12分文ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.()求sinBsinC;()若BAC=60,求B.题组2解三角形的实际应用12.2014四川,8,5分文如图4-4-1,从气球A上测得正前方的河流的两岸
4、B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()图4-4-1A.240(3-1)m B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(3+1)m13.2015湖北,15,5分文如图4-4-2,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.图4-4-214.2014新课标全国,16,5分文如图4-4-3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=7
5、5;从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN=m.图4-4-3A组基础题1.2018合肥市高三调研,6在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60,a=4b,c=13,则ABC的面积为()A.3B.132C.23D.132.2018重庆六校第一次联考,7在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,8在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,b=3,A=30,B为锐角,那
6、么角ABC为()A.113B.123C.132D.1414.2018福州四校联考,16在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足(a+b)sin C2=12,(a-b)cos C2=5,则c=.5.2018广东七校第一次联考,16在ABC中,点D在边AB上,CDBC,AC=53,CD=5,BD=2AD,则AD的长为.6.2017沈阳市高三三模,15在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=23,ABC的面积为1534,则cos 2A= .7.2018湖北八校第一次联考,17在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若23cos2A+cos 2A=
7、0,且ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;(2)若a=3,A=3,求b+c的取值范围.8.2017武汉市五月模拟,17在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若D为BC边上一点,且CD=2DB,b=3,AD=21,求a.B组提升题9.2018成都市高三摸底测试,11ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且23(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,ABC的外接圆半径为3.则ABC面积的最大值为()A.38 B.34 C.938 D.93410.2017安徽省合肥市高三二检,11在锐角ABC中,内角
8、A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C.若a=3,则b2+c2的取值范围是()A.(3,6 B.(3,5) C.(5,6D.5,611.2018惠州市高三一调,16已知a,b,c是ABC中角A,B,C的对边,a=4,b(4,6),sin 2A=sin C,则c的取值范围为.12.2018石家庄市重点高中高三摸底考试,17某学校的平面示意图如图4-4-5中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCD=CDE=23,BAE=3,DE
9、=3BC=3CD=910 km.图4-4-5(1)求道路BE的长度;(2)求生活区ABE面积的最大值.13.2017天星教育第二次大联考,17已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin C=-3cos Acos B,tan Atan B=1-3,c=10.(1)求sinA+sinBa+b的值;(2)若1a+1b=1,求ABC的周长与面积.答案1.D设BC边上的高为AD,则BC=3AD,又B=4,所以BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD.由正弦定理,知ACsinB=BCsinA,即5AD22=3ADsinA,解得sin A=31010,故选D.2.B由题意,得
10、12ABBCsin B=12,又AB=1,BC=2,所以sin B=22,所以B=45或B=135.当B=45时,由余弦定理,得AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=1,此时AC=AB=1,BC=2,易得A=90,与已知条件“钝角三角形”矛盾,故舍去.所以B=135.由余弦定理可得AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=5.故选B.3.B由正弦定理知bsinB=csinC,结合条件得c=bsinCsinB=22.又sin A=sin(-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=6+24,所以ABC的面积S=12bcsin A=3+1.4.A依据题设条件及边化
11、角选用正弦定理,得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补角的性质,得sin(B+C)=sin(-A)=sin A=sin2A,因为A(0,),所以sin A=1,所以A=2,即ABC为直角三角形.故选A.5.3解法一依题意,得2ba2+c2-b22ac=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc,即a2+c2-b2=ac,所以2accos B=ac0,故cos B=12.又0B0,因此cos B=12,又0B,所以B=3.6.75由正弦定理得sin B=bsinCc=6sin603=22,所以B=45或B=135,因
12、为bc,所以B0),则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.()由b2+c2-a2=65bc,并结合余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由()知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45
13、sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.11.()由正弦定理,得ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.()因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB.由()知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.12.C因为tan 15=tan(60-45)=tan60-tan451+tan60tan45=2-3, 所以BC=60tan 60-60tan 15=120(3-1)(m),故选C.
14、13.1006由题意,得BAC=30,ABC=105.在ABC中,因为ABC+BAC+ACB=180,所以ACB=45,因为AB=600 m,由正弦定理可得600sin45=BCsin30,即BC=3002 m.在RtBCD中,因为CBD=30,BC=3002 m,所以tan 30=CDBC=CD3002,所以CD=1006 m.14.150由题意,得在三角形ABC中, AC=1002,在三角形MAC中, MAsin60=ACsin45,解得MA=1003,在三角形MNA中,MN1003=sin 60=32,故MN=150,即山高MN为150 m.A组基础题1.A由余弦定理知(13)2=a2+
15、b2-2abcos 60,因为a=4b,所以13=16b2+b2-24bb12,解得b=1或b=-1(舍去),所以a=4,所以SABC=12absin C=3,故选A.2.A已知等式变形得cos B+1=ac+1,即cos B=ac.由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,代入得a2+c2-b22ac=ac,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则ABC为直角三角形.3.B解法一由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=32.B为锐角,B=60,则C=90,故ABC=123,故选B.解法二由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-3c+2=0,解得 c=1或c=2
16、.当c=1时,ABC为等腰三角形,B=120,与已知矛盾,当c=2时,abc,则AB0),则BD=2x.在BCD中,因为CDBC,CD=5,BD=2x,所以cosCDB=CDBD=52x.在ACD中,AD=x,CD=5,AC=53, 则cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=x2+52-(53)22x5.因为CDB+ADC=,所以cosADC=-cosCDB,即x2+52-(53)22x5=-52x,解得x=5,所以AD的长为5.6.7198由三角形的面积公式,得SABC=12acsin B=12a5sin23=12325a=1534,解得a=3.由b2=a2+c2-2accos B=
17、32+52-235(-12)=49,得b=7.又由asinA=bsinBsin A=absin B=37sin23=3314,故cos 2A=1-2sin2A=1-2(3314)2=7198.7.(1)23cos2A+cos 2A=23cos2A+2cos2A-1=0,cos2A=125,又A为锐角,cos A=15,而a2=b2+c2-2bccos A,即b2-125b-13=0,解得b=5(负值舍去),b=5.(2)解法一由正弦定理可得b+c=2(sin B+sin C)=2sin B+sin(23-B)=23sin(B+6),0B23,6B+656,123,b+c(3,23.8.(1)由
18、已知得(2c-b)cos A=acos B,由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,整理,得2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C.又sin C0,所以cos A=12,所以A=3.(2)如图D 4-4-2,图D 4-4-2过点D作DEAC交AB于E,又CD=2DB,BAC=3,所以ED=13AC=1,DEA=23.由余弦定理可知,AD2=AE2+ED2-2AEEDcos23,得AE=4,则AB=6.又AC=3,BAC=3,所以在ABC中,由余弦定理得a=BC=33.B组提升
19、题9.D由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=23,所以sin A=a23,sin B=b23,sin C=c23,将其代入23(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12,又0C,所以C=3.于是SABC=12absin C=1223sin A23sin Bsin 3=33sin Asin B=332cos(A-B)-cos(A+B)=332cos(A-B)+cos C=332cos(A-B)+334.当A=B=3时,SABC取得最大值,最大值为934,故选D.10.C由正弦定理可得(a-b)(
20、a+b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12,又A(0,2),A=3.bsinB=csinC=3sin 3=2,b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4sin2B+sin2(A+B)=41-cos2B2+1-cos2(A+B)2=3sin 2B-cos 2B+4=2sin(2B-6)+4.ABC是锐角三角形,B(6,2),即2B-6(6,56),12sin(2B-6)1,5b2+c26.故选C.11.42c210由4sinA=csinC,得4sinA=csin2A,c=8cos A,16=b2+c2-2bccos A,16-b2=64cos2A
21、-16bcos2A,又b4,cos2A=16-b264-16b=(4-b)(4+b)16(4-b)=4+b16,c2=64cos2A=644+b16=16+4b.b(4,6),32c240,42c210.12. (1)图D 4-4-3如图D 4-4-3,连接BD,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=27100,BD=3310 km.BC=CD,CDB=CBD=-232=6,又CDE=23,BDE=2.在RtBDE中,BE=BD2+DE2=(3310)2+(910)2=335 km.故道路BE的长度为335 km.(2)设ABE=,BAE=3,AEB=23-(023).在
22、ABE中,易得ABsinAEB=AEsinABE=BEsinBAE=335sin 3=65,AB=65sin(23-),AE=65sin .SABE=12ABAEsin 3=9325sin(23-)sin =932512sin(2-6)+149325(12+14)=273100 km2.023,-62-676.当2-6=2,即=3时,SABE取得最大值,最大值为273100 km2,故生活区ABE面积的最大值为273100 km2.13.(1)由sin C=-3cos Acos B可得sin(A+B)=-3cos Acos B,即sin Acos B+cos Asin B=-3cos Acos
23、 B,因为tan Atan B=1-3,所以A,B2,两边同时除以cos Acos B,得到tan A+tan B=-3,因为tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-31-1+3=-3,所以tan C=3,又0C,所以C=3.根据正弦定理得asinA=bsinB=csinC=1032=2330,故a=2330sin A,b=2330sin B,故sinA+sinBa+b=sinA+sinB2330sinA+2330sinB=3020.(2)由(1)及余弦定理可得cos 3=a2+b2-c22ab,因为c=10,所以a2+b2-10=ab,即(a+b)2-2ab-10=ab,又由1a+1b=1可得a+b=ab,故(ab)2-3ab-10=0,解得ab=5或ab=-2(舍去),此时a+b=ab=5,所以ABC的周长为5+10,ABC的面积为125sin3=534.