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1、课时作业提升(五十四)圆锥曲线中的证明与探索性问题A组夯实基础1(2018长春模拟)已知抛物线C：y22px(p0)与直线xy40相切(1)求该抛物线的方程；(2)在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得为定值如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)联立方程有，有y22py8p0，由于直线与抛物线相切，得8p232p0，p4，所以y28x(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0)，直线l：xtym，有y28ty8m0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1y28t，y1y28m，|AM|2(x1m)2y(t21)y，|BM
2、|2(x2m)2y(t21)y， 当m4时，为定值，所以M(4,0)2设F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，直线l的方程为x，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：AFMBFN(1)解：|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，得a2(ac)，整理得2e23e10e或e1(舍去)c2，b2a2c212，椭圆的标准方程为1(2)证明：当AB的斜率为0时，显然AFMBFN0.满足题意当AB的斜率不为0时，点P(8,0)，F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的
3、方程为xmy8，代入椭圆方程整理得：(3m24)y248my1440，则(48m)24144(3m24)，y1y2，y1y2kAFkBF 0，kAFkBF0，从而AFMBFN综上可知：恒有AFMBFN3(2018桂林模拟)在平面直角坐标系xOy中，设圆x2y24x0的圆心为Q(1)求过点P(0，4)且与圆Q相切的直线的方程；(2)若过点P(0，4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B，以OA、OB为邻边做平行四边形OACB，问是否存在常数k，使得OACB为矩形？请说明理由解：(1)由题意知，圆心Q坐标为(2,0)，半径为2，设切线方程为：ykx4，所以，由2解得k所以，所求的切线方程为
4、yx4，或 x0(2)假设存在满足条件的实数k，则设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1k2)x2(8k4)x160，16(2k1)264(1k2)0，k，x1x2，且y1y2k(x1x2)8，(x1x2，y1y2)，|2(x1x2)2(y1y2)2，又|24，要使平行四边形OACB为矩形，则|2|216，所以k2，存在常数k2，使得平行四边形OACB为矩形B组能力提升1(2018保定模拟)设椭圆x22y28与y轴相交于A，B两点(A在B的上方)，直线ykx4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y1与BM交于G(1)求椭圆的离心率；(2)求证：A，G，N三点共线(1)解：由题意得标准
5、方程：1，则a2，b2，c2，椭圆的离心率e(2)证明：方法一曲线1，当x0时，y2，故A(0,2)，B(0，2)，将直线ykx4代入椭圆方程1得(2k21)x216kx240，若ykx4与曲线C交于不同两点M，N，则32(2k23)0，解得：k2，设N(xN，kxN4)，M(xM，kxM4)，G(xG,1)，由韦达定理得： xMxN，xMxN，直线MB的方程为：yx2，则G， (xN，kxN2)，欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，即 (kxN2)xN，将代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证方法二将直线ykx4代入椭圆方程1得：(2k21)x216kx240，则32(2k23)0，解
6、得：k2，由韦达定理得：xMxN，xMxN，设N(xN，kxN4)，M(xM，kxM4)，G(xG,1)，MB方程为：yx2，则G，则kNAkGAk2，将代入上式：kNAkGA0，A，G，N三点共线2(2018遵义模拟)已知点P是圆F1：(x1)2y28上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点G的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由圆F1：(x1)2y28，得F1(1,0)，则F2(1,0)
7、，由题意得|MF1|MF2|MF1|MP|F1P|2|F1F2|2，点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，2a2，2c2，点M的轨迹C的方程为y21(2)直线l的方程可设为ykx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得9(12k2)x212kx160则x1x2，x1x2，假设在y轴上存在定点Q(0，m)，使以AB为直径的圆恒过这个点，则，即0(x1，my1)，(x2，my2)，x1x2(my1)(my2)x1x2(1k2)x1x2k(x1x2)m2m20，解得m1因此，在y轴上存在定点Q(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点3(2018张掖模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(， 0)，
8、F2(，0)，M是椭圆上一点，若0，|8(1)求椭圆的方程；(2)点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA1，PA2与直线x 分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标解：(1)由题意可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由0，设|m，|n又|8m2n2(2)2，mn2a，mn8，a2b25解得：a3，b2椭圆的方程为1(2)由(1)得A1(3,0)，A2(3,0)，设P(x0，y0)，则直线PA1的方程为y(x3)，它与直线x的交点的坐标为E，直线PA2的方程为y(x3)，它与直线x的交点的坐标为F，再设以EF为直径的圆交x轴于点Q(m,0)，则QEQF，从而kQEkQF1，即 2，即2，又y9x21，解得m1故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为