资源描述
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2019年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学试题卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为
A. 1 B. -1 C. D.
2.已知集合，，则
A. B.
C. D.
3.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是
A. B. C. D.
4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是
A. B.
C. D.
5.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为
A. B. C. D.
6.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为
A. B. C. D.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为
A. 双曲线的一支（一部分） B. 圆弧（一部分）
C. 线段（去掉一个端点） D. 抛物线的一部分
11.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
A. B. 1 C. D. 2
12.已知函数设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为__________．
14.已知变量，满足则的取值范围是__________．
15.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春长沙》与《清平乐六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）
16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
18.已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.
（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.
19.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.
（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.
组数
分组
天数
第一组
3
第二组
4
第三组
4
第四组
6
第五组
5
第六组
4
第七组
3
第八组
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.
20.设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21.已知函数.
（Ⅰ）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围.
22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
23.已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，不等式都成立，求的取值范围.
2019年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学试题卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．
【详解】∵复数的实部和虚部相等，
∴，解得a．
故选：C．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．
【详解】∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，
N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，
∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，
M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．
故选：D．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得各点坐标，设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）
设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），
由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，
由几何概型可得：p1，
故选：B．
【点睛】本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属于中档题
4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝|sinx|，为偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝lnlnf（x），为奇函数，
设t1，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，
则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）（ex﹣e﹣x），有f（﹣x）（e﹣x﹣ex）（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）（ex+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；
对于D，f（x）＝ln（x），其定义域为R，
f（﹣x）＝ln（x）＝﹣ln（x）＝﹣f（x），为奇函数，
设tx，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，
则f（x）＝ln（x）在R上为减函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
5.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】设最小角为α，故α对应的边长为a，
则cosα，解得a＝3．
∵最小角α的余弦值为，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．
6.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
7.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，计算可得所求最小值．
【详解】由题意可得2a＝6，即a＝3，
渐近线方程为y＝x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，
焦点为F1（，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，
由圆E：x2+（y）2＝1可得E（0，），半径r＝1，
|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，
连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，
可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，
则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
8.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．
【详解】函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
则：T＝π，
所以：ω＝2
将函数f（x）的图象向左平移后，
得到g（x）＝sin（2xθ）是偶函数，
故：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于：，
所以：当k＝0时．
则，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为：[]，
由于[]⊂[]，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积．
【详解】根据几何体的三视图得到：
该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，
故：上面的正方体的表面积为：，
设中间的圆锥展开面的圆心角为n，
所以：，
解得：n，
所以圆锥的展开面的面积为S，
所以：中间的圆锥的表面积为，
同理得：
下面的圆锥的表面积为，
所以总面积为：S，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题．
10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为
A. 双曲线的一支（一部分） B. 圆弧（一部分）
C. 线段（去掉一个端点） D. 抛物线的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后得出Q点的轨迹为线段．
【详解】如图作平面PQRK∥平面BCC1B1，可得到点M，N为平面PQRK与边，的交点，
取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.
又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，
所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线平面，所以去掉O点，故选C.
【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
11.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|CD|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到答案．
【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcos60＝a2+b2﹣ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（ ） 2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）＝|CD|．
∴1，即的最小值为1．
故选：B．
【点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．
12.已知函数设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】
因为画出函数图象，等价于当时，；当时，，即轴左侧的图象在下面，轴右侧的图象在上面，平移，符合条件的整数根，除零外有三个即可.
【详解】因为，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可，
画出的函数图象如图所示，
当时，；当时，，
即轴左侧的图象在下面，轴右侧的图象在上面，
，，
，，
平移，由图可知，
当时， ,符合题意；
时， ,符合题意；
时， ,符合题意；
时， ,符合题意
整数的值为
及，共个，故选D.
【点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为__________．
【答案】20
【解析】
【分析】
先利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．
【详解】令x＝1，可得（）n的展开式的各项系数和为2n＝64，∴n＝6，
故（）n＝（）6的展开式的通项公式为Tr+1•x3r﹣6，令3r﹣6＝3，可得r＝3，
故展开式中x3的系数为20，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.已知变量，满足则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，再由z的几何意义求解得答案．
【详解】由变量x，y满足作出可行域如图：
A（2，3），解得B（，），
z的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．
∵kDA4，kDB13．
∴z的取值范围是[﹣13，﹣4]．
故答案为：[﹣13，﹣4]．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春长沙》与《清平乐六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）
【答案】144
【解析】
【分析】
由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，
定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，
【详解】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，
分别记为A，B，C，D，E，F，
由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．
第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法
第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，
第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以2即可，
即六场的排法有4722＝144（种）
故答案为：144．
【点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．
16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】
根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．
【详解】当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，
当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
∴函数的周期是4．
因此最终构成图象如下：
①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；
②，由图象即分析可知函数的周期是4．
即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；
③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，
故③错误；
④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；
⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dxπ•（）211π12，
故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；
（Ⅱ）bn＝log2an＝log24n＝2n，∁nan4n4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．
【详解】（Ⅰ）由和得，∴.
设等比数列的公比为，∵∴，
计算得出∴
（Ⅱ）由（1）得，
设数列的前项和为，则
设数列的前项和为，则，
∴
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18.已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.
（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）推导出AE⊥PA，AE⊥AD，从而AE⊥平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．
（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【详解】（Ⅰ）连接
∵底面为菱形，，
∴是正三角形，
∵是中点，∴
又，∴
∵平面，平面，
∴，又
∴平面，又平面
∴平面平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵平面，
∴就是与平面所成的角，
在中，，即，
设，则，得，
又，设，则，
所以，
从而，∴，
则，，，，，
，，
所以，，，
设是平面一个法向量，则
取，得
又平面，∴是平面的一个法向量，
∴
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.
（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.
组数
分组
天数
第一组
3
第二组
4
第三组
4
第四组
6
第五组
5
第六组
4
第七组
3
第八组
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①②见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；
（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；
②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】（Ⅰ）设重度污染区的平均值为，则，解得.
即重度污染区平均值为172.
（Ⅱ）①由题意知，在内的天数为1，
由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，
又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.
②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且
，，
，，
则的分布列为
0
1
2
3
数学期望 .
【点睛】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．
20.设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；
（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．
【详解】（Ⅰ）设点，，由题意可知
∵，∴，
即，
又点在圆上 ∴
代入得
即轨迹的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，
联立 得
即，
∴
又
∵ ∴ 即
即
∴
∴
解得，，且均满足即
当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；
当，的方程为，直线恒过
所以，直线过定点，定点坐标为.
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，注意向量条件的转化，考查了运算能力，难度较大．
21.已知函数.
（Ⅰ）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ），为极大值点（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；
（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1]＞0，根据0＜x1＜1时，0.1＜x1＜2时，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．
【详解】（Ⅰ），，则
从而，所以时，，为增函数；
时，，为减函数，所以为极大值点.
（Ⅱ）函数的定义域为，有两个极值点
，，则在上有两个不等的正实根，所以，
由可得
从而问题转化为在，且时成立.
即证成立.
即证 即证
亦即证 . ①
令则
1)当时，，则在上为增函数且，①式在上不成立.
2)当时，
若，即时，，所以在上为减函数且，
、在区间及上同号，故①式成立.
若，即时，的对称轴，
令，则时，，不合题意.
综上可知：满足题意.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
【答案】（1）：，：（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，即可得出答案。（2）分别计算出点M到
射线的距离和点P,Q的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。
【详解】（1）曲线，把公式代入可得：
曲线的极坐标方程为.
设，则，则有.
所以，曲线的极坐标方程为.
（2）到射线的距离为，
射线与曲线交点，
射线与曲线交点
∴
故
【点睛】本道题目考查了普通方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方法，方程转化记住，极坐标长度用纵坐标相减。
23.已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，不等式都成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入不等式，结合x取不同范围，去掉绝对值，解不等式，即可得出答案。（2）构造新函数，计算该分段函数的最小值，建立不等式，计算a的范围。
【详解】（1）当时，不等式可化为，
当时，不等式即，∴
当时，不等式即，∴
当时，不等式即，∴
综上所述不等式的解集为；
（2）不等式
可化为
令 ，
所以函数最小值为，
根据题意可得，即，所以的取值范围为.
【点睛】本道题目考查了绝对值不等式的解法，注意在进行解分段函数相关问题的时候，计算该分段函数的最值，即可得出答案。
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