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1、第三课时利用导数证明不等式专题利用导数证明与不等式有关的问题析考情利用导数解决不等式问题是近几年高考的热点，常作为解答题的一问出现，难度较大解决此类问题一般是通过构造函数把不等式转化为函数的单调性或最值问题求解提能力命题点1：构造函数证明不等式【典例1】 (2016全国卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.(1)解：由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知f
2、(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln 1，即1x.(3)证明：由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0， g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g (0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.命题点2：构造函数证明与函数零点(方程的根)有关的不等式【典例2】 (2018太原模拟)已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若方程f(x)a有两个根
3、x1，x2(x1x2)，证明：x1x22a.(1)解：f(x)(x0)，所以当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增函数无最小值当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增函数f(x)在xa处取最小值f(a)ln a1.(2)证明：若函数yf(x)的两个零点为x1，x2(x1x2)，由(1)可得0x1ax2.令g(x)f(x)f(2ax)(0xa)则g(x)(xa)0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)g(a)0，即f(x)f(2ax)令xx1a，则f(x1)f(2ax1)，所以f(x2)f(x1)f(2ax1)，由(1)可得f(x)在(a，)上单调递增，
4、所以x22ax1，故x1x22a.命题点3：利用赋值法证明不等式问题【典例3】 (2017全国卷)已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，m，求m的最小值解：(1)f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)由(1)知当x(1，)时，x1ln x0.令x1，得ln，从而lnlnln11.故2，所以m的最小值为3.刷好题1(20
5、18合肥质检)已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图像在xx0处的切线，求证：f(x)g(x)(1)解：易得f(x)，由题意知f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，a1.故实数a的取值范围为(，1(2)证明：a0，则f(x).函数f(x)的图像在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则h(x)f(x)f(x0). 设(x)(1x)ex0(1x0)ex，xR，则(x)xex
6、0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，而(x0)0，当xx0时，(x)0，当xx0时，(x)0，当xx0时，h(x)0，当xx0时，h(x)0，h (x)在区间(，x0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，xR时，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)2(2018上饶模拟)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设G(x)xf(x)ln x2x，证明：G(x)ln 2.(1)解：f(x)，f(2)，且f(2)，所以切线方程y(x2)，即yx.(2)证明：由G(x)xf(x)ln x2x(x0)，G(x)ex2.G(x)ex0，所以G
7、(x)在(0，)为增函数，又因为G(1)e30，G(2)e20，所以存在唯一x0(1,2)，使G(x0)ex020，即ex02，且当x(0，x0)时，G(x)0，G(x)为减函数， x(x0，)时G(x)0，G(x)为增函数，所以G(x) minG(x0)ex0ln x02x02ln x02x0，x0(1,2)，记H(x)2ln x2x，(1x2)，H(x)20，所以H(x)在(1,2)上为减函数，所以H(x)H(2)2ln 24ln 2，所以G(x)G(x0)ln 2.3(2018贵阳模拟)设f(x)exax1(a0)(1)求函数f(x)的最小值g(a)，并证明g(a)0；(2)求证：对任意
8、nN，都有1n12n13n1nn1(n1)n1成立解：(1)由a0，及f(x)exa可得：函数f(x)在(，ln a)递减，在(ln a，)递增，函数f(x)的最小值g(a)f(ln a)aaln a1，则g(a)ln a，故a(0,1)时，g(a)0，a(1，)时，g(a)0，从而g(a)在(0,1)递增，在 (1，)递减，且g(1)0，故g(a)0.(2)证明：由(1)可知，当a1时，总有f(x)exx10，当且仅当x0时“”成立，即x0时，总有exx1，于是可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x，令x1，即x，可得n1en，令x1，即x，可得：n1e1n，令x1，即x，可得：n1e2n，令x1，即x，可得：n1e1，对以上各等式求和可得：n1n1n1n1ene1ne2ne1，对任意的正整数n，都有n1n1n1n1，1n12n13n1nn1(n1)n1成立