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1、专题突破练(五)平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第309页)1设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b. 解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由
2、题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.2(2018海口调研)已知椭圆E：1(ab0)经过点，离心率为，点O为坐标原点图2(1)求椭圆E的标准方程；(2)如图2，过椭圆E的左焦点F任作一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M, 过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上解(1)由题易得解得所以c2，所以椭圆E的方程为y21.(2)证明：设直线l的方程为yk(x2)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立yk(x2)与y21，可得(15k2)x220k2x20k250，所以x1x2，x1
3、x2.设直线FN的方程为y(x2)，M(x0，y0)，则x0，y0k(x02)，所以kOM，所以直线OM的方程为yx，联立解得所以点N在定直线x上3(2018合肥二检)如图3，已知抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上一动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.图3(1)求抛物线E的方程；(2)求点M到直线CD距离的最大值解(1)由xA2得y4，故4p4，解得p1.于是抛物线E的方程为y22x.(2)设C，D，切线l1：yy1k，代入y22x得ky22y2
4、y1ky0，由44k(2y1ky)0解得k，l1的方程为yx，同理，l2的方程为yx.联立解得易得CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足xy8，x02,2联立得x0y22y0y160，则代入M(x，y)满足即点M的坐标为.点M到直线CD：x0xy0y8的距离d为关于x0的单调递减函数，故当且仅当x02时，dmax.4(2018陕西质检(一)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 解(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E的方程为1.将P代入可得b23，椭圆E的方程为1.(2)存在当AC的斜率为零或斜率不存在时，；当AC的斜率k存在且k0时，设AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AC|x1x2| .同理，直线BD的斜率为，|BD|.综上，2，.存在常数，使得，成等差数列