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1、一、填空题1函数y13xx3的极大值，极小值分别为_解析：由y13xx3，得y3x23，令y0，即3x230.得x1.当x1时，y0；当1x0；当x1时，y0.当x1时，有y极大值1313；当x1时，有y极小值1311.答案：3，12函数yx33x21的单调递减区间为_解析：f(x)(x33x21)3x26x，当f(x)0时，f(x)单调递减，3x26x0，即0x0，a2或a2或a1，即m.答案：m8已知函数f(x)xsin x，xR，则f(4)，f()，f()的大小关系为_(用“”连结)解析：f(x)sin xxcos x，当x，时，sin x0，cos x0，f(x)sin xxcos x
2、0，则函数f(x)在x，上为减函数，f()f(4)f()，又函数f(x)为偶函数，f()f(4)f()答案：f()f(4)0x2，f(x)0x0，x1)(1)求函数f(x)的极值；(2)若不等式x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)(1，e)e(e，)f(x)0f(x)极小值f(e)由表得函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1，e)，单调增区间为(e，)所以存在极小值为f(e)e，无极大值(2)当x0时，对任意a0，不等式恒成立当x0时，在不
3、等式x两边同时取自然对数，得ln x(*)当00，不等式恒成立；如果a0，ln x0，不等式(*)等价于a1时，ln x0，则a0，不等式(*)等价于a，由(1)得，此时的最小值为e，得0ae.综上所述，a的取值范围是(0，e)12设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围解析：(1)若a0，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)的单调递减区间是(，0)，单调递增区间是(0，)(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立，故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)f(x)在0，)上单调增加而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，令ex(ex1)(ex2a)0得1ex2a，0xln 2a.故当x(0，ln 2a)时，f(x)0，f(x)在(0，ln 2a)上单调减少而f(0)0，于是当x(0，ln 2a)时，f(x)0.不符合要求综上可得a的取值范围为(，