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1、第三节空间图形的基本关系与公理考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题(对应学生用书第98页) 基础知识填充1空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
2、推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3. 异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角(2)范围：.知识拓展异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线
3、基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()图731A30B45C60D90C连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C6
4、0.3在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此 平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线AA不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理4(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，
5、若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选A5若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_b与相交或b或b(对应学生用书第99页)空间图形的公理及应用(1)以下命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2D3(2)如图732，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：图732E，C，D1，F四点共面；C
6、E，D1F，DA三线共点B(1)中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故正确；中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故错误；中，直线b，c可能是异面直线，故错误；中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故错误(2)如图，连接EF，CD1，A1BE，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点规律方法1.证明线共面
7、或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合2证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上变式训练1(1)(2018上饶模拟)如图733所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下
8、命题：图733直线MN平面PQR；点K在直线MN上；M，N，K，A四点共面其中正确结论的序号为_ 【导学号：00090240】由题意知，MPQ，NRQ，KRP，从而点M，N，K平面PQR.所以直线MN平面PQR，故正确同理可得点M，N，K平面BCD从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故正确因为A直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故正确(2)如图734所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？图734解(1)证明：由已知FGGA，FHHD
9、，得GH綊AD又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面空间直线的位置关系(1)(2018金华模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c，给出下列命题：若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有aC其中真命题有_(填序号) 【导学号：00090241】(2)(2017郑州模拟)在图735中，G，H，M，N分别是正三棱柱
10、的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 图735(1)(2)(1)对于，若c与a，b都不相交，则ca，cb，从而ab，这与a与b是异面直线矛盾，故正确对于，a与b可能异面垂直，故错误对于，由ab可知a，又c，从而ac，故正确(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出
11、发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系变式训练2(2018烟台模拟)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则aB其中正确的为()ABCDA对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题中，bM，ab，则aM或aM，为假命题命题中，a与b相交、平行或异
12、面，为假命题由线面垂直的性质，命题为真命题，所以为真命题异面直线所成的角(1)如图736，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()图736ABCD(2)(2018泸州模拟)如图737所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于_图737(1)D(2)(1)连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，
13、由余弦定理得cosA1BC1.(2)取BC的中点G.连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，E是CC1的中点，GC1EH.OEH为异面直线所成的角在OEH中，OE，HE，OH.由余弦定理，可得cosOEH.规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角变式训练3如图738，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_ 【导学号：00090242】图738取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.