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1、第三节三角函数的图像与性质考纲传真(教师用书独具)1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性(对应学生用书第51页)基础知识填充1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图像的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图像的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RR值域1,11,1R
2、单调性递增区间：，kZ，递减区间：，kZ递增区间：2k，2k，kZ，递减区间：2k，2k，kZ递增区间，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心，kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)周期性22知识拓展1.若f(x)Asin(x)(A0，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)2f(x)Acos(x)(A0，0)(1)f(x)为奇函数的充要条件：k，kZ.(2)f(x)为偶函数的充要条件：k，kZ.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数函数f(x)a
3、是周期函数，它没有最小正周期()(2)函数ysin x的图像关于点(k，0)(kZ)中心对称()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2C DC函数f(x)sin的最小正周期T.故选C3函数ytan 2x的定义域是()ABCDD由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定义域为.4函数ysin，x2，2的单调递增区间是()A B和C DC令zx，函数ysin z的单调递增区间为(kZ)，由2k
4、x2k得4kx4k，而x2，2，故其单调递增区间是，故选C5(教材改编)函数f(x)sin在区间上的最小值为_由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.(对应学生用书第52页)三角函数的定义域与值域(1)(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4B5C6D7(2)函数ylg sin x的定义域为_(1)B(2)(1)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x2，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.故选B(2)要使函数有意义，则有即解得(kZ)，2kx2k，kZ.函数的定义域为.规律
5、方法1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解.2.求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解.(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数求解.跟踪训练(1)已知函数y2cos x的定义域为，值域为a，b，则ba的值是()A2 B3C2D2(2)函数ysin xcos xsin x cos x，x0，的值域为_(1)B(2)1,1(1
6、)x，cos x，y2cos x的值域为2,1，ba3.(2)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，即sin xcos x，且1t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t1时，ymin1.函数的值域为1,1三角函数的单调性(1)函数f(x)sin的单调减区间为_. 【导学号：79140111】(2)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.(1)(kZ)(2)(1)由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间即可由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调减区间为(kZ)(2)f(x)
7、sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.规律方法1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如yAsin(x)(0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.若0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错.(2)图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间.2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练(1)函数y|tan x|在上的单调减区间为_. 【导学号：79140112】(2)已知函数f(x)s
8、incos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是()ABC D(1)和(2)A(1)如图，观察图像可知，y|tan x|在上的单调减区间为和.(2)由题意得f(x)sincos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，令k0，得函数yf(x)的一个单调递减区间为，故选A三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1三角函数的奇偶性与周期性(1)在函数：ycos|2x|；y|cos x|；ycos2x；ytan中，最小正周期为的所有函数为()ABCD(2)函数y12sin2是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为
9、的偶函数(1)C(2)A(1)ycos|2x|cos 2x，T.由图像知，函数的周期T.T.T.综上可知，最小正周期为的所有函数为.(2)y12sin2cos 2sin 2x，所以f(x)是最小正周期为的奇函数角度2三角函数的对称性(1)(2018东北三省四市模拟(一)已知函数f(x)2sin(0)的周期为，则下列选项正确的是()A函数f(x)的图像关于点对称B函数f(x)的图像关于点对称C函数f(x)的图像关于直线x对称D函数f(x)的图像关于直线x对称(2)已知0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图像的两条相邻的对称轴，则()A BC D(1)B(2)A(1)因为2，所以f(x)2
10、sin.由2xk(kZ)，得x(kZ)，当k0时，x，所以函数f(x)的图像关于点对称，故选B(2)由题意得2，1，f(x)sin(x)，k(kZ)，k(kZ)，又0，故选A规律方法1.函数f(x)Asin(x)的奇偶性与对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.2.求三角函数周期的方法：(1)利用周
11、期函数的定义.(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(3)借助函数的图像.跟踪训练(1)(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图像关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减(2)如果函数y3cos(2x)的图像关于点中心对称，那么|的最小值为()A BC D(1)D(2)A(1)A项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cos图像的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图像关于直线x对称，B项正确C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误故选D(2)由题意得3cos3cos3cos0，所以k(kZ)，k(kZ)，取k0，得|的最小值为.故选A