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1、课时分层训练(十六)导数与函数的综合问题(对应学生用书第229页)A组基础达标一、选择题1方程x36x29x100的实根个数是()A3B2C1D0C设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1.2若存在正数x使2x(xa)1成立，则实数a的取值范围是() 【导学号：79140088】A(，)B(2，)C(0，)D(1，)D2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，实数a的取值范围为(1，)3已
2、知yf(x)为R上的连续可导函数，且xf(x)f(x)0，则函数g(x)xf(x)1(x0)的零点个数为()A0B1C0或1D无数个A因为g(x)xf(x)1(x0)，g(x)xf(x)f(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g(0)1，yf(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，)上的连续可导函数，g(x)g(0)1，所以g(x)在(0，)上无零点4(2017郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)x，g(x)2xa，若任意x1，存在x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1Ca2Da2A由题意知f(x)ming(x)min(x2,3)，因为f
3、(x)min5，g(x)min4a，所以54a，即a1，故选A.5做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A3B4C6D5A设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，l，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小由题意，SR22RlR22.S2R，令S0，得R3，则当R3时，S最小故选A.二、填空题6若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数的序号为_f(x)2x；f(x)3x；f(x)x3；f(x)x22.设g(x)exf(x)对于，g
4、(x)ex2x(xR)，g(x)ex2xex2xln 2(1ln 2)ex2x0，函数g(x)在R上单调递增，故中f(x)具有M性质对于，g(x)ex3x(xR)，g(x)ex3xex3xln 3(1ln 3)ex3x0，函数g(x)在R上单调递减，故中f(x)不具有M性质对于，g(x)exx3(xR)，g(x)exx3ex3x2(x3)exx2，当x3时，g(x)0，函数g(x)在R上单调递增，故中f(x)具有M性质综上，具有M性质的函数的序号为.7(2017江苏高考)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_. 【导学号：7914
5、0089】因为f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，所以f(x)x32xex是奇函数因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)因为f(x)3x22exex3x2223x20，所以f(x)在R上单调递增，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.8若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)0恒成立，则x的取值范围是_(3,1)因为f(x)是R上的奇函数，f(x)2cos x0，则f(x)在定义域内为增函数，所以f(mx3)f(x)0可变形为f(mx3)f(x)，所以mx3x，将其看作关于m的一次函数，则g(m)xm3x，
6、m2,2，可得若m2,2时，g(m)0恒成立则g(2)0，g(2)0，解得3x1.三、解答题9已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)由f(0)1a2，得a1.易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，所以当x0时，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f(x)exa，由于ex0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，f(x)exa，令f(x
7、)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递减，在(ln(a)，)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是e2a0.10(2018合肥一检)已知函数f(x)(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若任意x1，)，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)，当a时，x22x2a0，故f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增，当a时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间当a
8、时，令x22x2a0x11，x21，列表x(，1)(1，1)(1，)f(x)f(x)由表可知，当a时，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)(2)f(x)112ax2ex，由条件2ax2ex，对任意x1成立令g(x)x2ex，h(x)g(x)2xex，h(x)2ex，当x1，)时，h(x)2ex2e0，h(x)g(x)2xex在1，)上单调递减，h(x)2xex2e0，即g(x)0，g(x)x2ex在1，)上单调递减，g(x)x2exg(1)1e，故f(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max1e，a，即实数a的取值范围是.B组能力提升11(2018山东
9、省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A3f(1)f(3)B3f(1)f(3)C3f(1)f(3)Df(1)f(3)B由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此在R上是单调递减函数，所以，即3f(1)f(3)12方程f(x)f(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)ln x的“新驻点”为a，那么a满足()Aa1B0a1C2a3D1a2Dg(x)，ln x.设h(x)ln x，则h(x)在(0，)上为增函数又h(1)10，h(2)ln 2ln 2ln0，h(x)在(1,2)上有零点，1a2.13已知函数f(x)ax33x21，若f(x)
10、存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是_. 【导学号：79140090】(，2)当a0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意当a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，0，所以函数f(x)ax33x21在(，0)和上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f(0)0，即10，不成立当a0时，0，所以函数f(x)ax33x21在和(0，)上为减函数，在上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f0，即a310，解得a2或a2，又因为a0，故a的取值范围为(，2)14已知函数f(x)exmx，其中m为常数(1)若对任意xR
11、有f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意，可知f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递减；当x(m，)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为极小值也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)f(x)在0,2m上有两个零点，理由如下：当m1时，f(m)1m0.f(0)em0，f(0)f(m)0，且f(x)在(0，m)上单调递减f(x)在(0，m)上有一个零点又f(2m)em2m，令g(m)em2m，则g(m)em2，当m1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点