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1、题组层级快练(五十一)1下面三条直线一定共面的是()Aa，b，c两两平行Ba，b，c两两相交Cab，c与a，b均相交 Da，b，c两两垂直答案C2(2014广东文)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析在正六面体中求解，也可以借助教室中的实物帮助求解在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.3若P是
2、两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条4如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()AA，M，O三点共线
3、BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面答案A解析连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O三点共线5(2018江西景德镇模拟)将图中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直答案C解析在题图中，ADBC，故在题图中，ADBD，
4、ADDC，又因为BDDCD，所以AD平面BCD，又BC平面BCD，D不在BC上，所以ADBC，且AD与BC异面，故选C.6空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A1 B4C7 D8答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个7.(2018江西上饶一模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A作平面平行平面BDC1，平面与平面A1ADD1交于直线m，与平面A1ABB1交于直线n，则m与n所成的
5、角为()A. B.C. D.答案C解析由题意，mBC1，nC1D，BC1D即为m与n所成的角BC1D是等边三角形，BC1D，m与n所成的角为.8(2017课标全国，理)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，
6、所以B1D1，所以cosB1AD1，选择C.9.(2018内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A(0，)B(0，C0，D(0，答案D10已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析连接BA1，则CD1BA1，于是A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)设AB1，则BE，BA1，A1E1，在A1BE中，cosA1BE，选C.11.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有
7、两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等答案D解析由AC平面DBB1D1，可知ACBE，故A正确由EFBD，EF平面ABCD，知EF平面ABCD，故B正确A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为，且SBEFBB1EF定值，故VABEF为定值，即C正确12下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是() 答案D解析在A中易证PSQR，P，Q，R，S四点共面在C中易证PQSR，P，Q，R，S四点共面在D中，QR平面ABC，PS面ABC P且PQR，直线P
8、S与QR为异面直线P，Q，R，S四点不共面在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，P，N，R，S四点共面，设为.可证PSQN，P，Q，N，S四点共面，设为.，都经过P，N，S三点，与重合，P，Q，R，S四点共面13(2018湖南永州一模)设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，BCA90，BCCA2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为()A B.C D.答案B解析由已知，若三棱柱的所有顶点都在球面上，则由两个全等的三棱柱构成的长方体的8个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体的
9、体积可得其直径为4，由于长方体底面是边长为2的正方形，故侧面的对角线为2.由余弦定理可知，直线B1C与直线AC1所成的余弦值为.14有下列四个命题：若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交平面于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；若a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面其中正确命题的序号是_答案解析在中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与平面的交线上，即P，Q，R三点共线，所以正确在中，因为ab，所以a与b确定一个平面，而l上有
10、A，B两点在该平面上，所以l，即a，b，l三线共面于；同理a，c，l三线也共面，不妨设为，而，有两条公共的直线a，l，所以与重合，即这些直线共面，所以正确在中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以错在中，由题设知，a与相交，设aP，如图，在内过点P的直线l与a共面，所以错15.如图，正三棱柱ABCABC的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA与BC的中点，则AE与BD所成角的余弦值为_答案解析取BB中点F，连接AF，则有AF綊BD，FAE或其补角即为所求正三棱柱ABCABC棱长均为2.AF，FE，AE.cosFAE，故AE与BD所成角余弦值为.16如图所示，平面ABEF平面
11、ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：G，H分别为FA，FD的中点，GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以ECFH.所以C，D，F，E四点共面17如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB6
12、0，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值答案(1)2(2)解析(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO60.在RtAOB中，BOABsin301，POOB，POBOtan60.底面菱形的面积S222，四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，如图所示E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)在RtAOB中，AOOP，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正
13、三角形PDB中，DFDE，由余弦定理，得cosDEF.异面直线DE与PA所成角的余弦值为.1.如图所示，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是()A BC D答案C解析 将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意不等于(kZ)的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故错误，排除A，B，D，选C.2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F
14、分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直 B相交且垂直C异面 D平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，因为A1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，且，所以，所以EFBD1.3.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，设AB1，则AA12，A1C1
15、，A1BBC1，故cosA1BC1.4.如图所示，点A是平面BCD外一点，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF，则异面直线AD和BC所成的角为_答案90解析如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EGBC1，FGAD，且FGAD1.即EGF为所求又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90.5(2017课标全国)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a
16、所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)答案解析本题考查空间线面角的求解如图，将直线a，b平移到边BC旋转出的圆中，MN为圆C的直径，则可设MB，NB所在直线分别为直线a，b，ABC45.利用最小角定理cosABCcosMBCcosABM和cosABCcosNBCcosABN，当AB与a成60角时，即ABM60，则cos45cosMBCcos60，解得MBC45，则NBC45，所以ABN60，所以错误，正确；当点B在圆C上运动时，当点B运动到点N时，MBC0，cosMBC1，ABM的最小值为ABC45，当点B运动到点M时，直线b为MN所在直线，直线a为过点M且与圆C相切，易得a平面ABC，所以直线AB与a所成角的最大值为90，所以正确，错误，综上所述，正确的编号是.