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习题3.1（向量线性表示及线性相关性）
一、已知向量组由向量组线性表示的表示式为
，
向量组由向量组线性表示的表示式为
，
求向量组由向量组线性表示的表示式。
解：将由线性表示的表示式，代入由线性表示的表示式中：
得由线性表示的表示式为，
二、判定下列向量组是线性相关还是线性无关?
分析：线性无关与线性相关的定义：
线性无关
线性相关 不全为0
再介绍一个判别线性相关性的简便方法：均写为行向量，
构造矩阵，对A只作行初等变换，若能把A的最后一行化为零行，
则线性相关，否则线性无关。
解法一：∵，∴线性无关。
解法二： 设存在数使得，即
根据向量加法、数乘和相等的定义，可得
解这个线性方程组，求得它仅有零解x1=0，x2=0，x3=0。因此，线性无关。
解法一：∵
∴线性相关，且。
解法二： 设存在数使得，即
根据向量加法、数乘和相等的定义，可得
解这个线性方程组，求得它的一个非零解x1=3x2=-3x3=3。
因此，线性无关，且。
三、已知矩阵与向量，
(1)写出矩阵A的列向量组与行向量组；
(2)β能否用A的列向量组线性表示？ βT能否用A的行向量组线性表示？
若能线性表示，则写出表达式。
分析：β能否用向量组α1，α2，…，αm线性表示的含义指的是关系式
是否成立，也就是能否找到满足上式的x1，x2，…，xm。
若将β，α1，α2，…，αm的分量代入上式，得到未知数x1，x2，…，xm的线性方程组。
当方程组有解时，β能用α1，α2，…，αm线性表示；
当方程组无解时，β不能用α1，α2，…，αm线性表示。
再介绍一个判别β能否用向量组α1，α2，…，αm线性表示的简便方法：
构造矩阵，对B只作行初等变换（但不作B的最后一行与其它各行的对换），若能把B的最后一行（即β所在的行）化为零行，则β能用α1，α2，…，αm线性表示；若不能把B的最后一行化为零行，则β不能用α1，α2，…，αm线性表示。
(1)解： A的列向量组：
行向量组：
(2)解法一： ∵
∴β不能用A的行向量组γ1，γ2，γ3线性表示。
又∵
(∴线性相关，且。)
∴β能用A的列向量组线性表示，且。
（或∵
∴β能用A的列向量组线性表示，且。）
解法二：设存在数使得，即
根据向量加法、数乘和相等的定义，可得
解这个线性方程组，求得它的一个非零解x1=x2=x3=1。
因此，β能用A的列向量组线性表示，且。
又设存在数使得，即
根据向量加法、数乘和相等的定义，可得
这个线性方程组无解。因此，β不能用A的行向量组γ1，γ2，γ3线性表示。
四、设线性无关，而线性相关，试证：
（1）可由线性表示； （2）不能由线性表示。
分析：（书P55）线性相关与线性表示的关系：
相线相关中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
（书P56）线性相关和线性无关性质：
(1)若,线性无关，则去掉后，剩下的也线性无关。
(2)若线性无关，,线性相关，则可由线性表示。
证明：（1）∵线性无关， ∴，
又∵线性相关， ∴可由线性表示。
因此，可由线性表示。
（2）（反证法）假设能由线性表示，
∵（1）中已证明可由线性表示，
∴最终可由线性表示，因而线性相关，与假设矛盾。
故不能由线性表示。
五、若向量组线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，
证明必存在一组全不为零的数，使得.
证明：（反证法）假设不存在全不为零的数，使得.
∵线性相关，
∴存在一组不全为零的数，使得，不妨设
∵由假设知，使成立的至少有一个为0，不妨设
∴存在一组不全为零的数，使得
∴线性相关，与“中任意三个向量都线性无关”矛盾。
故必存在一组全不为零的数，使得.
六、已知A是n阶可逆矩阵, 是n维线性无关的列向量,证明线性无关.
分析：线性无关（书P58）
可逆矩阵乘以某矩阵，不改变该矩阵的秩。（矩阵的秩的性质（7）书P49）
证明：构造矩阵， 则
∵线性无关， ∴
∵，A是可逆矩阵。 ∴，即
∴线性无关。
习题3.2（向量组的秩、最大无关组及向量组的等价）
一、求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示：
分析：计算向量组的秩及最大无关组的方法：均写为行向量，
构造矩阵0对A只作行初等变换，把A化为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵中非零行行数，
阶梯形矩阵中非零行对应的向量就是的一个最大无关组，
阶梯形矩阵中零行给出了用最大无关组表示其余向量的线性组合。
解：，A为阶梯形矩阵，∴，最大无关组为
解：
∴，，最大无关组为
二、设向量组的秩为2，求a，b.
解：
∵， ∴阶梯形矩阵有且仅有2个非零行， ∴ a = 2，b = 5
三、已知向量组的秩为r，证明中任意r个线性无关的向量都是一个最大无关组。
分析：最大无关组及秩的定义：
的秩为r 中有r个向量线性无关，而任意r+1个向量都线性相关；
是向量组的最大无关组
线性无关，而中任意r +1个向量都线性相关。
证明：设是向量组中任意r个线性无关的向量，
∵向量组的秩为r， ∴由秩的定义，中任意r+1个向量都线性相关。
∴由最大无关组的定义，是的最大无关组。
四、设向量组；
向量组。
试证明：向量组A与向量组B等价。
分析：线性无关向量组的秩等于它的向量个数。
两个向量线性无关当且仅当这两个向量的分量对应成比例。
定理1（书P58） 向量β可由向量组线性表示
定理2 向量组可由向量组线性表示
推论 向量组与向量组等价
证明：∵向量组的对应分量不成比例，∴线性无关，
同理，线性无关，
∵
∴，向量组A与向量组B等价。
五、设线性无关.是一组n维向量，已知n维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。
分析：（书P56例2）n维单位坐标向量组线性无关，
中每个向量都能由线性表示。
（书P58）线性无关.
线性相关.(m为向量组向量的个数
定理3推论（书P60） 等价的向量组秩相等。
向量组等价的定义：两个n维向量组A：； B：
若A中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。
若向量组A可由向量组B线性表示，且向量组B也可以由向量组A线性表示，
则称向量组A与B等价。
证明：∵是一组n维向量，
∴由（书P56）例2知，能由线性表示，
∵能由线性表示，
∴由向量组等价的定义知，与等价，
∵线性无关，即。
∴，即线性无关。
第三章验收测试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
1.已知为3维向量，且线性无关，则向量组的秩为 _3 _。
分析：（书P56例2）的秩为n，中任意n+1个n维向量都是线性相关的，
中任意n个线性无关的向量组都是的最大无关组。
解：∵为3维向量， ∴线性相关。
∵线性无关， ∴由最大无关组及秩的定义，向量组的秩为3
2.设是n维向量组，则向量组线性 相 关。
解：∵存在一组不全为0的数1,1,1使得
∴由线性相关定义，线性相关。
3.若向量组线性无关，则向量组为线性 无 关。
分析：定理8（书P64） 设向量组线性无关，则向量组线性无关
其中，
解：令，∵，∴线性无关。
4．若向量组的秩为r( r < s )，则其中任意r +1个向量线性 相 关。
5.设 ，
则当 - 5/13 时线性相关。
解：∵线性相关
∴时， ， 线性相关
6. 1 。
解：∵， ∴
7.向量组的一个极大无关组是 。
解：∵
∴为一个极大无关组。
8.若向量组A可由向量组B线性表示，设向量组A的秩为r，向量组B的秩为s，则r ≤ s .
分析：定理3（书P59）设向量组可由向量组线性表示，
则有
二、（每小题15分，共30分） 求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
(1) ，，；
解：∵
∴ ， ， 最大无关组为
(2) ,,.
解：
∴，，最大无关组为
三、（15分）向量组线性无关，问常数m,n满足什么条件时，
向量组线性无关。
解：令，则
∵时，向量组线性无关。 ∴。
四、（15分）设为任意维向量，,证明向量组线性相关.
证明：∵存在一组不全为0的数1,-1,1,-1使得
()
∴由线性相关定义，线性相关。
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