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1、精品名师归纳总结考试成果分布的数学模型吴潇辉摘要 ：一门课程考完之后我们在分析成果的时候会发觉，一个班的成果依据我们的体会往往是分布在 0 ，100 之间的任意一段可设以 10 分为一段，并且考得特殊低的很少，例如： 0 分、10 分，考得特殊高的也很少，例如： 100 分，但大多数人考的不是特殊高也不是特殊低，例如： 7090 之间。现在，我们要建立一个数学模型来争论分数的分布情形。我们主要通过运用概率论中随机变量的概率分布规律的争论， 运用 MATLAB软件对题目中的数据进行拟合的方法，并且把两种结果进行比较，最终得出同学成果的分布听从三大随机变量概率分布中的正态分布。关键词 ： 数据拟合
2、概率分布函数概率密度函数MATLABMATHMATIC一、问题的提出：1高校生学完一门课程，要进行考试，考试之后就有了成果。通过这个成果可以说明同学的学习情形也可以说明老师出题的合理性。有人说一个班级的老师成果应对从正态分布可，那么，这种说法是否正确了？例如下面的表格给出了某班某门课的考试成果：序号1234567891011成果8185914662875173766271序号1213141516171819202122成果9286848189857887818366序号2324252627282930313233成果6987848267786455973474序号343536373839404
3、1成果4489827881817324下面我们要解决的问题是：1、通过上面的表格分析这个班的成果是否听从正态分布。2、结合表格中的成果给出成果听从正态分布的判别方法和标准，以说明成果分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结布的合理性。二、模型假设：1、次门课程出题的难易程度相对于同学的学习程度来说适中，也就是说这次成果具有合理性，可以把它当作衡量其他出题是否合理的标准。2、为了下面分析的便利我们姑且认为成果的分布具有连续性。三符号说明y : 在某一段分数上的人数。N :班级总人数。p : 在某一段分数上的人数所占的比例。p A : 试验结果 A 的概率。F x : 概率分布函数。p
4、x : 概率密度函数。,: 常数。2四、模型建立与求解：从上面的表格中我们可以看出： 成果分布在 7090 分之间的人数最多， 在 0 50 分以及 90100 分的人数很少， 50 69 分之间的人数也比较少。因此我们可以近似认为同学成果与分布在某一段成果的人数之间关系可近似用下面的草图来表示：由于 pyy ，也就是说对上面图中全部的纵坐标同除以41，因此应当不N41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转变图形的外形，所以每一段分数上分布概率与分数段之间的关系如下图：分数为随机变量，右上图可以观看出，分布在 7089 分断的概率最大，同时我们可以粗略的运算出：这个班这门课程的平均
5、成果大约为： 74.4 分，它也就在这段分数中。下面我们来说明成果大致听从正态分布：1、 随机变量的概率分布有三大分布，即：二项分布、泊松分布和正态分布， 二项分布和泊松分布是用来争论离散型随机变量，而我们在假设的时候已经把分数的分布近似的认为是连续型随机变量。2、 二项分布和泊松分布是建立在 n 重贝努里试验的基础之上的， 贝努里试验只3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有两个试验结果 A 及 A ，并且P Ap, P A1pq 其中 0p1 ，而成果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的显现不行能只显现两种结果，它不行能听从二项分布和泊松分布。3、 理论说明，一个
6、变量假如收到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是正态随机变量。我们现在争论的成果正好满意这一点，影响成果的因素许多，例如：出题的难易、同学学习的程度、平常成果的影响、同学的临场发挥、老师改试卷时的误差等等。并且这些因素也是相互独立的，它们之间并不从在特殊关系。综合所述，成果的分布应当听从正态分布。以下给出一个判别成果听从正态分布的方法和标准： 第一对给出的数据进行分析：分数人数人数/总人数分数人数人数 /总人数0-50051-5526-100056-6000把 0100 每隔 5 分，分为 20 段，进行统计，统计出分数分布在每一段上的人数和在每一段上的人数所占的比例。如下表：
7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11-150061-65316-200066-70321-25171-75426-300076-80431-35181-851236-400086-90641-45191-95246-50196-1001对分析得出的数据做出如以下图：4从图中可以看出这些点近似听从正态分布的图像， 现在再利用 matlab 软件对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这些数据进行拟合。 正态分布函数为 Fxy1x e 22022dy ，假设 yFx ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而某一段
8、分数分布的概率为P x1xx2Fx2F x10.5*x1e 2ex1 52，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而每一段的概率可依据上面的表格得出， 所以可用 matlab 软件来拟合一个正态分xx 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结布概率密度函数， 假设正态分布函数为y0.5*e 2e2，可用表格中数据拟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合可得出：80,79 ，见附录 1：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根 据 这 两 个 值 ， 我 们 就 可 得 出 正 态 分 布 概 率 密 度 函 数 x 80 2可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结p x1* e2*792*79 2，所以现在做出它的图像进行分析便可判定成果是否服可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从正态分布。图像如下：为了便于分析成果的分布情形， 我们可做出以下两个区间的图像， 由于成果虽然只在 0,100 这个区间上，但概率密度函数区间太小看出成果分布的整体趋势，所以可对称的放在区间，但这不影响在0,100 这个区间上的分布情形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x802可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结plot2*79* Exp2*79 2, x,160, 240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
10、归纳总结5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x802可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结plot2*79* Exp2*79 2, x,160,320可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从以上两个图也可以看出假如只取0,100 ，不行能精确分析成果分布图，所以以上两种取法是合理的。 从图中可得出成果分布符合正态分布密度函数图像的一般规律，概率密度图像是关于x80对称的，且在这一点处概率密度取得最大值，这是正态分布的一大重要性质，由此可得出成果分布听从正态分布。6对这些数据进行分析并进行拟合， 然后对密度函数图像分析， 这就为分析成果听从正态分布找到了一种
11、方法。 而拟合出的密度函数图像与正态分布图像比照，就是说明成果听从正态分布的最好凭证。 也就是说正态分布图像就是一个判定成果听从正态分布的一个比较好的标准。五模型说明分数本不是连续性的，但可以把它认为是连续性的，这为问题的分析供应了便利。先是对成果分布从适用范畴作了分析， 它是听从正态分布。 是对问题的一个定性分析。 接着又依据所给数据进行详细分析， 运用了拟合的方法， 对成果的分布进行了定量的分析， 对图的比照这是本模型的最大特点， 因此， 这个成果分布图可以作为检验老师出题的水平和同学学习的程度的一个标准。六模型推广本模型仍可适用于其它方面，如对不同年龄人的腰围， 金属切削过程的产品结果等
12、一维正态分布， 仍可以推广到多维正态分布的验证， 这为各种工作的指导起了很重要的作用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结附录 1：function yhat=volumbeta,x;yhat=0.5*2.7.beta2-x./2.0.5*beta1-2.7.beta2-x-5./2.0.5*beta1;x=0:5:95;y=0 0 0 0 0.0243902 0.0243902 0 0 0.0243902 0.0243902 0.0487805 0 0.0731707 0.0721707 0.097beta0=0.1 81;beta,r,J=nlinfitx,y,volum,beta0; betax=0:5:95;y=0 0 0 0 0.0243902 0 0.0243902 0 0.0243902 0.0243902 0.0487805 0 0.0731707 0.0721707 0.097beta0=1 81; beta,r,J=nlinfitx,y,volum,beta0;YY,delta=nlpredcivolum,x,beta,r ,J;plotx,y,k+,x,YY,r7可编辑资料 - - - 欢迎下载