微积分在物理学上的应用.doc

.* 微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。 在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=I0sinωt的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B=μ0i2πx 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 dϕm=BdS=μ0i2πxldx 线圈围成的面上通过的磁通量为 ϕm=dϕm=μ0il2πlnba 线圈中的感应电动势为 ε=-dϕmdt=-μ0I0lω2πlnbacosωt 在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有dϕm，但他们的物理含义却是不一样的，前者的dϕm表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的dϕm表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。 3 微元的选取以及微积分解决物理问题时的一般步骤 3.1 微元的选取 在使用微积分去解决物理问题时，微元的选取是非常重要的，有的时候在微元的选择上并不是仅仅只有一个，因此，选取一个合适的微元对我们解决问题会有很大帮助。 我们通常在微元的选取方面有以下几点注意，第一，在我们选取微元时，要保证我们们所选择的微元能够让我们可以将原本的问题近似处理的比较简单，以使我们能够更加便利且清晰的区解决物理问题；第二，我们要使我们选择的微元尽可能地大，这样在我们去积分时可以更为方便，如果微分过细，那么我们的过程会更精准，可是相对的，我们在积分时面临的过程也会更加繁琐，因此我们要处理好微分和积分之间的运算；第三，能用一元微元去解决问题时尽量使用一元微元，因为重积分使用起来要比一元积分麻烦的很多。 选取微元要遵循以下几个原则：1.可加性原则，由于在题目中我们所选取的微元要可以叠加演算，因此，选取的微元要具备可加性；2.有序性原则，为了保证我们所选取的微元能够在叠加区域可以不遗漏，不重复的叠加，我们就需要注意按照量的某种序来选取微元；3.平权型原则，叠加演算实际上就是一种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”而言，叠加演算，也就是求定积分是十分复杂的，但如果“权函数”具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等），原本复杂的题目就会化成简单的形式更有利于我们去解决问题。 例：求半径为R的均匀带电半球面在点O的电场强度，设球面上电荷面密度σ>0. 解法一：如图，在球面上任取面元dS，将其上的电荷为一点电荷dq，则有 dq=σdS=σ(Rdθ)(Rsinθ)dφ =σ2R2sinθdθdφ 则该点电荷元在点O产生的场强 dE=dq/(4πε0R2)=σsinθdθdφ/(4πε0) 根据对称性，即得出点O场强E0沿Z轴正方向，大小为 E=∫∫dEcosθ=σ/(4ε0) 解法二：如图，沿着与Z轴的垂直方向把半球面分割成许多不同半径的带电圆环，任取一圆环，其上的电荷在点O产生的场强 dE=dqz/[4πε0(z2+r2)32] =(σ/2ε0)sinθcosθdθ 方向沿OZ轴正方向，点O场强 E=∫dE=σ/(4ε0) 由例子可知选取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含义也是不一样的，然而微元的选取并不影响结果，因此我们要正确理解其含义，才能更好地从物理概念，物理实质上去把握微积分。 3.2 微积分解决物理问题时的一般步骤 1.根据题意分析，选取一个具有广泛意义的微元，对微元进行分析，若是题目简单且物理含义比较明显，且遵从题意，可直接进行积分。 2.若是题目较复杂，根据题意，对于一个暂态过程写出一个平衡等式，然后对两边微分，在得到一个微元结果后，对这个分式进行积分操作。 以上步骤都是在遵从题意的基础下进行，进行微分分析的结果一般是一个微分方程，在求解时要注意初始条件，在积分时，更要注意取上下限时，要满足边界条件。 例：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多长时间？ 解：如图建立坐标系，在没有摩擦力的情况下，当桶内水位高度为h-x时，水从小孔中单位时间内流过单位截面积的流量为v=2g(h-x)，其中g为重力加速度 设积分变量x,其变化区间为[0，h] 任取[x,x+Δx]∈[0,h]，当桶中液体下降Δx时，所需要的时间用dt表示，根据水的流量体积相等得πR2dx=vπr2dt 所以dt=R2/[r22g(h-x)]dx,x∈[0,h] 流完一桶水所需的时间 tf=0hR2r22g(h-x)dx 但因为被积函数是[0，h]上的无界函数，所以 tf =limμ→h-0μR2r22g(h-x)dx =2hg(Rr)2 由此题可看出，在我们通常使用微积分解决物理问题时，建立坐标系是很好的一个方法，可以有助于我们更好地去解决问题。 4 微积分在物理学各领域的应用 4.1 微积分在质点力学的应用 微积分在力学中的使用是非常普遍的，要用好微积分去解决问题，首先要在思想上认识到物体在运动过程中，反应其运动特征的物理量是随着时间的变化而变化的。运用微积分可以得出质点的运动方程以及他的运动状态。就比如说当我们对函数中的t进行求一阶导数时，我们就可以得到该函数所表示的质点的加速度函数。而我们可以将微积分在质点运动时的问题可以分成以下几类： 1. 在已知道运动方程的前提下求其中的加速度和速度 ； 2. 在已知质点的加速度，以及该质点的初始速度的前提下，求该质点的运动方程。 例1：一人站在岸上，用一条绳子拉船使其向岸边靠拢，如图所示，若人以恒定速率v0收绳，求船的速度。 解： 如图所示，设设船与轮子的距离为l,船的瞬时位移为x，由图可知 x2=l2-h2 那么船的瞬时速度为 v=dxdy=dl2-h2dt=ddldtl2-h2 根据题意可知 v0=-dldt 所以 v=-ll2-h2v0 在解决此类问题时，我们要善于从几何关系中找到质点的运动方程，而在一般情况下运动方程往往是t的隐函数形式。因此，将方程中的t进行一阶及二阶求导，就可以得出瞬时速度和瞬时加速度随着一些空间变量的变化规律。 例2：如图，质量M=2.0kg的木箱，悬挂在一轻弹簧下，弹簧静伸长x0=0.01m，一质量m=2.0kg的橡皮泥距箱子底板h=0.30m处自由落下，黏在箱子底部后，同箱子一起向下运动，求箱子下降的最大距离。 解：球落到箱子底部时的速度为 v0=2gh 设当橡皮泥与箱子一起运动时的速度为v, 则 mv0=(M+m)v 所以 v=mM+mv0 根据动量定理知 （Mg+mg-kx）dt=d[(m+M)v] 得出 (Mg+mg-kx)dx=(M+m)vdv 上式积分后得 x0x0+x1(Mg+mg-kx)dx=v0M+mvdv 化简整理后 12（M+m）v2+12kx02=-(M+m)gx1+k(x1+x0)2 整理之后得出 x=0.03m 例3：质量为m的质点在力的作用下做平面曲线运动，其运动方程为r=Acosωti+Bsinωtj，式中,A,B,ω都是正的恒量，则力在t1=0到t2=∏2ω这段时间内做的功是多少？ 解：在这段时间内质点动能的增量为 ΔEk=12mv22-12mv12 =12m(vx22+vy22)t2=π2ω-12m(vx12+vy12)t1=0 =12m[(Adcosωtdt)2+(Bdsinωtdt)2]t2=π2ω -12m[(Adcosωtdt)2+ (Bdsinωtdt)2]t1=0 =12mω2(A2-B2) 由动能定理知，功W等于动能增量ΔEk，所以 W=12mω2(A2-B2) 4.2 微积分在刚体的定轴转动中的应用 刚体的定轴转动的一些基本公式： 运动方程：θ=θ（t）（表示角位置随时间t的变化关系） 角速度：ω=dθdt 角加速度：β=dωdt=d2θdt2 例1：一长为l,质量为m的均匀直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕与杆垂直的水平光滑固定轴O在直面内转动，轴到杆中心C的距离OC=14.开始杆与水平方向成θ0角，且处于静止状态，如图所示，求杆释放后，转到竖直位置时的角速度及质心C的速度和加速度。 解：应用积分转动定律，当杆转动到如图（1）的位置时 有 M合=Iβ 其中M合=mgl4cosθ+2mg34lcosθ-mgl4cosθ =32mglcosθ (1) I为各物体对轴O的转动惯量之和，即 I=[112ml2+ml4)2+2m(34l)2+m(l4)2 =43ml2 结合上述式子 M合=Idωdt=Idθdθdωdt=Idθdθdtdω=Iωdωdθ 即 -θ0π232mglcosθdθ=0ωd(12∙43ml2ω2) 得到 ω=32gl(1+sinθ0) 质心速度为 vc=l4ω=38lg⁡(1+sinθ0) 质心加速度为 ac=ω2l4=916g(1+sinθ0) 在熟练掌握定理的同时运用微积分来解答此类问题是对我们是十分有帮助的，因此在解题过程中我们要把两者结合好，才更有利于我们解决此类问题。 例2：如图所示，一半径为r的空心管放在竖直的平面内，管内有一链条，它的线密度为ρ。开始时，链条的两端分别与管口A和B重合，受到干扰后，链条的一端由管口滑下，求图示位置链条的速度。 解：如图所示（2）所示 取管内链条上的一小质元dm=ρrdβ,其重力对点O力矩为 dM1=ρrdβgcosβr 则管内部分链条的重力对O力矩为 M1=dM1=0π-θ[ρrdβgcosβ]r=r2ρgsinθ (2) 而管外链条下垂部分重力对O力矩为 M2=θrρgr=θr2ρg 则瞬时和力矩为 M=M1+ M2 根据角动量定理得到 M=dLdt 所以 Mdθ=Iωdω 即 M1+M2dθ=Iωdω 对其进行积分，得到 M1+M2dθ=Iωdω 0θ0[(r2ρgsinθ)+θr2ρg]dθ=0ω(πrρ)r2ωdω 解得 v=rgπ(θ02-2cosθ0+2 当我们遇到这样的题目，要善于在题目中间找到等价关系，灵活的运用微积分和定理之间的关系更有利于我们去解决问题。该题利用角动量定理，再对其进行积分，以此求出速度v。 4.3 微积分在静电场方面的应用 设真空中的电荷为q，P点位于空间一点，r为从q到P点的矢径。P点的电场强度为 E=Fq0=14πε0qr2r0 由叠加原理，点电荷系在空间P点处的电场强度 E=E1=14πε0q1r12r0 由定积分的定义，连续带电体在空间P点处的电场强度 E=dE=dq4πε0r0 设真空中的电荷为q，P点位于空间一点，r为从q到P点的矢径。P点的电势为 VP=P∞E∙dl=q4πε0r 由叠加原理，点电荷系在空间P点处的电势 VP=14πε0q1r1 由定积分的定义，连续带电体在空间P点处的电势 VP=P∞E∙dl 例1：在一半径为R的非导体细圆环上，电荷的线密度λ=λ0cosφ，式中λ0为正的常数，如图所示，φ为方位角，求环心处的场强和电势。 解：在圆环上取一线元dl，其上电荷可视为点电荷，在圆心O处产生的场强大小为 dE0=λdl4πε0R2=λ0cosφRdφ4πε0R2 =λ0cosφdφ4πε0R 其方向如图（3）所示 又 dE0=dExi+dEyj =dEcos(φ+π)i+dEsin(φ+π)j =-dEcosφi-dEsinφj 所以 E0=-dEcosφi-dEsinφj =-λ0cosφ2dφ4πε0Ri-λ0cosφsinφdφ4πε0R (3) =-λ04ε0Ri 圆心0处的电势为 V0=dV0=02πλdl4πε0R=02πλ0cosφdφ4πε0R=0 例2:如图所示，一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ0，在其轴线上有一点电荷q0>0，距盘中心为x，求二者的相互作用能。 解：在盘上取一半径为r，宽为dr的环带，此环带电荷在点电荷处产生的电势 dVP=σ2πrdr4πε0(x2+R2)12 则盘上所有电荷在点P产生的电势 VP=dVP=0Rσ2πrdr4πε0(x2+R2)12=σ2ε0（x2+R2-x） 因此，得二者之间的相互作用能为 U=q0VP=q0σ2ε0(x2+R2-x)