数学建模零件的参数设计.doc

.- 零件的参数设计 摘要 本文主要论述了关于零件参数设计的问题，运用到有关概率论与数理统计的方法以及用泰勒公式将问题简单化，最终构造了一个求设计零件所需费用最低的优化模型，运用MATLAB软件进行数值计算。 已知粒子分离器的参数y由零件参数决定，参数的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们的思路是假定随机变量y属于正态分布，经过一定的转化，找到y的均方差与，而均方差与零件参数的标定值与容差有关，得出二者的联系，从而可用零件参数的标定值与容差表示，进而得出y的分布函数，积分后就可得到完整的非线性规划方程表达。问题就成功的转化为了非线性规划问题。 求解的时候分两步走：1.预先给定容差等级组合，在在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值，使y为=1.5。2.在第一步的基础上采用穷举法遍历所有108种容差等级组合，找出最小费用。 最终计算出来的标定值为 ={0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625}, 等级为： 一台粒子分离器的总费用为：421.7878元。与原结果比较，总费用由3074.8元降低到421.7878元，降幅为2653.02元，比较明显。 最后我们对所建模型进行了分析，讨论了他的优缺点，并对模型进行了推广。 关键字：零件参数 方差 非线性规划 1.问题提出 1.1问题背景 当今社会发展日新月异，市场需求不断变化，而且要求是越来越高，各种各样的新产品层出不穷，竞争的压力越来越大，对人才的需求也越来越大。无论设计什么样的产品，作为产品的研发设计人员，时刻要保持强烈的创新愿望和冲动，充分考虑到所设计产品的各项指标，尤其要着重考虑产品的各个组装零件，分析它们的参数指标，再通过加强学习和锻炼，提高创造力，设计开发出符合现代设计需要的、具有竞争实力的优良产品，且能实现最大的经济效益，才能使自己在诺大的社会上立于不败之地。 1.2问题重述 现有如下一个关于产品零件参数设计的问题：一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差，进行成批生产产品时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的范围。题中将零件参数设为随机变量，则标定值及为期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 要求：通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,...,x7）决定，经验公式为： y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9,000元。 零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为1%，Ｂ等为5%，Ｃ等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）： 标定值容许范围 Ｃ等 Ｂ等 Ａ等 x1 [0.075,0.125] ／ 25 ／ x2 [0.225,0.375] 20 50 ／ x3 [0.075,0.125] 20 50 200 x4 [0.075,0.125] 50 100 500 x5 [1.125,1.875] 50 ／ ／ x6 [12,20] 10 25 100 x7 [0.5625,0.935] ／ 25 100 现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。 请综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？ 1.3研究意义 随着科学技术的发展，产品零件设计理论和方法也迅速地发展，同时伴随着对零件参数精度设计的要求不断提高，要求发挥设计者的创造力，运用更先进的科学技术手段，并依托现代设计理论和方法的指导，通过对零件参数的合理研究，设计出更有生命力，更强大的产品，使设计的产品在经济市场中占有一席之地，不轻易的被市场淘汰，且能实现最大的经济效益，创造更多的财富。 2.问题的分析 本题要求通过给出的具体问题进行零件参数设计，也就是确定零件的标定值和容差，从而给出一般零件参数设计的方法。参数设计是产品设计的核心，就是要优化零件参数，寻求参数标定值和容差的最佳组合，总的来说，该题是一个在一定约束条件下的优化问题，目标是求出最低的生产费用，并相应的给出生产费用的组合形式。生产费用包含两方面，一是质量损失费用，二是零件成本费用。要想求出，就必须要求出一批产品的次品率和废品率。考虑到将各零件的参数设为随机变量，服从N（）的正态分布，故假设也服从正态分布。由正态分布的特性：当各变量服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。可将借助泰勒公式线性化，可知此时就服从正态分布了，找出其分布函数，则可求得其在不同取值范围内的概率。最后把问题转化为零件的标定值和容差关于总目标函数的最优解问题上. 在分析零件的成本和产品的质量损失时不难发现，质量损失对费用的影响远远大于零件的成本对费用的影响，所以要求设计零件参数时首先考虑提高产品质量以此来减少费用。 3.模型的假设 假设一：在生产过程中除了质量损失外，无其它形式的损失。 假设二：各零件的参数均视为随机变量，且服从独立的正态分布。 假设三：标志产品性能的某个参数仅由零件参数的标定值和容差决定，不考虑其它因素。 假设四：在大批量的生产中，整批零件（1000个）都处于都处于同一等级。 假设五：构成产品的各零件互不影响，即是相互独立的。 假设六：在质量损失计算模型中，将所有的函数都视为可导的。 4.符号说明 ：第个零件参数的标定值（=1，2……，7） ：第个零件实际值与标定值的偏差 ：第个零件的容差 ：第个零件的方差 ：标定值的下、上限 :产品参数的实际值 ：产品参数的目标值 ：产品参数的均值 ：产品参数的实际值与平均值的偏差 ：产品参数的方差 ：一批产品中正品的概率 ：一批产品中次品的概率 ：一批产品中废品的概率 W：一批产品的总费用 ：第个零件中对应容差等级为的成本（） 5.模型的建立与求解 5.1模型的建立 由题意，将零件参数的容差设计的越大，成本虽然降低了，但同时偏离程度就会变大，造成质量损失也变大，在此情况下，要求我们求出各最优解，使总费用最低。我们列出总费用的数学模型表达式： W= 查表即可求得，但要表示出，必须知道的值，下面我们对经验公式做一定的转化以求得各概率。 泰勒公式：对于正整数n，若函数在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取是一定点，则对任意成立下式： + 将经验公式用泰勒公式在处展开并略去二次以上的高次项。 设，则 将标定值代入经验公式得： 。 又由已知条件，将零件参数看做是服从正态分布的随机变量，所以加工误差也服从正态分布，即有 间相互独立。 由正态分布的性质可知： ∴ 由误差传递公式得： = 由题中已知，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍，得。由容差与标定值的比值为容差等级，得。根据上述得： 的分布密度函数为： 由此得出以下结论： （1） 在区间的概率即产品为正品的概率为 。 （2）偏离的概率，即产品为次品的概率为 （3）偏离的概率，即产品为废品的概率为 综合考虑偏离造成的损失以及零件的成本，得出最优零件参数模型，如下 s.t. 5.2模型的求解 先对原方案分析，计算结果如下： 正品率 次品率 废品率 成本费 质损费 总费用 0.1260 0.6239 0.2501 200 2874.8 3074.8 原方案次品率和废品率过高，=1.7256，偏离目标值=1.5很远，导致质损费过大。 我们所得的结果： 零件种类 1 2 3 4 5 6 7 零件参数 0.075 0.375 0.125 0.12 1.2919 15.9904 0.5625 容差等级 B B B C C B B 正品率 次品率 废品率 成本费 损失费 总费用 0.8533 0.1476 0 275 146.7878 421.7878 产品参数均值=1.5 产品参数方差=0.0689 单个产品降低了2653.02元。 6.模型的评价与推广 优点：（1）本文模型的建立与求解运用到数理统计的知识，精确度较高，相关性较强，结果较为合理可靠。 (2)虽然题中关于实际参数标定值的选取是离散的，但我们充分利用了计算机的数值计算能力，数据具有一定的说服力。 缺点：（1）该模型对于质量损失的计算，虽说将所有函数都看做是连续函数，但对每个零件来说过于理想化，其中还是会产生一定的误差。 （2）模型忽略了小概率发生的可能性，虽然根据原则可将误差控制在99.73%，但仍有一定误差。 推广：该模型给出了一个重要的产品设计与管理方法，对于像我国这样一个发展中国家来说，希望大规模的在各行各业的产品参数设计中使用，以此来降低成本和损失，获取最大的利润。 参考文献： 【1】 李换琴，朱旭，《MATLAB软件与基础数学实验》，西安交通大学出版社，2015 【2】 李炳杰，《数学建模教程》，陕西师范大学出版社，2012 【3】 上海交通大学数学系，《概率论与数理统计》，科学出版社，2007 【4】 张德丰，《MATLAB数学实验与建模》，清华大学出版社，2014