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数 学 建 模 论 文
银行贷款问题模型
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指导教师：
2014年 5 月 24 日
目录
摘要----------------------------------------- 2
一、问题叙述------------------------------------- 2
二、问题分析------------------------------------- 2
三、基本假定--------------------------------------5
4、 模型的建立及求解
1、 等额本金还款法
2、 等额本息还款法
5、 模型的进一步分析
6、 模型的评价及推广
7、 参考文献
附：等额本息还款法和等额本金还款法的比较--------------------------------------5
摘要
随着社会的不断发展，人们日益增长的物质需求也不断升高，可是对于大部分人来说，要想完成一些经济活动，需要向银行贷款，目前商业银行已经加大了个人贷款的力度，“门槛”也一降再降，申请个人贷款已经不是件难事。对于贷款，大多数银行主要采用两种还贷方式 ：等额本息还款法和等额本金还款法。若我们根据已知年利率，针对每月还款额和个月限满后的最后一月付款后本利和为零，推导出等额本金还款法和等额本息还款法的还款总额、利息负担总和、月供的公式。
合理假设的前提下，运用等差数列求和设计等额本金还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，通过计算讨论比较偿还贷款本息的多少。
关键词：贷款 利率 还款总额 等额本金还款 等额本息还款
一、问题叙述
某家庭贷款30万元购买一套房子，贷款(年)利率为7%，用15年的时间还清贷款。不同的贷款方案将会产生不同的效益，根据问题的要求，建立相应的数学模型解答出不同情况下每月还款额以及利息、还款的时间。对不同方法进行比较，并选出最优方案。
问题如下：
1. 等额本息还款的方式偿还贷款；
2. 等额本金还款的方式偿还贷款；
3. 首先前5年用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款；
4. 考虑收入增长的情况下，贷款人收入每年增加一次且增加额为Δk的方式偿还贷款。
2、 问题分析
银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。
等额本息还款法：
利息和=本金年利率个月限
月供=本息和/总个月数=本金（1+年利率个月限）/个月限/12个月
等额本金还款法：
利息和=本金（总个月数+1）/2年利率/12个月
月供=固定每个月应还本金+当个月利息=本金/总个月数+（本金-固定每个月应还本金已还个月数）年利率/12个月
以上两类还款法计算公式都为绝对公式，是在利率不变的前提条件下来计算总利息和月供的，所以假设银行在贷款个月利率不变。
由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初个月，剩余本金较多，所以可见，贷款初个月每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。两种贷款的偿还原理就如上所述。上述两个公式是月还款的基本公式.其他公式都可由此导出。
三、基本假设
1、贷款月利率不变(目前个人房贷5-30年的贷款年利率为7%)
i=7%/12=5.83‰ ，每月还息近似用月利率按月计算计算，不到5年的也近似用该利率计算。
2、假设贷款人5年后有现金净现值（时间因素）
3、贷款人有足够能力支付每月房贷
4、贷款人每月消费十分理智
5、贷款人没有其他获取钱的渠道，不足的款项只能从银行合法获得
6、贷款人的目标是在保证基本生活前提的条件下，努力偿还贷款。
四、模型的建立及求解
模型一：等额本金还款法
设：贷款本金为 A元
平均每月应还本金B元
还款额为 x 元
贷款年利率为r
贷款月利率为 α
贷款个月为 m
还款月数为 n
设第n个月应付的金额为( i = 1.2.3…. m ) (单位：元)
因此，第一个月应付的金额为 ：
第二个月应付的金额为 ：
……
那么，第n个月应付的金额为 ：
累计应付的还款总额为 ：
利息负担总和为 ：
将每个月还款制成表格如下：
年份
月数
月利率(‰)
年利率(%)
每月应还利息
月还款总额
1
12
5.83
7
1642.116667
3308.783333
2
24
5.83
7
1525.516667
3192.183333
3
36
5.83
7
1408.916667
3075.583333
4
48
5.83
7
1292.316667
2958.983333
5
60
5.83
7
1175.716667
2842.383333
6
72
5.83
7
1059.116667
2725.783333
7
84
5.83
7
942.5166667
2609.183333
8
96
5.83
7
825.9166667
2492.583333
9
108
5.83
7
709.3166667
2375.983333
10
120
5.83
7
592.7166667
2259.383333
11
132
5.83
7
476.1166667
2142.783333
12
144
5.83
7
359.5166667
2026.183333
13
156
5.83
7
242.9166667
1909.583333
14
168
5.83
7
126.3166667
1792.983333
15
180
5.83
7
9.716666667
1676.383333
支付利息：Y=（n+1）aα/2=158284.5（元）
还款总额：M=（n+1）aα/2+a=458284.5（元）
若用C++语言编写，其主程序如下：
#include
#include
void main()
{double x,s=0,d;
int i=1;
do {
x=(300000-300000*（i-1）/180)*0.0051+300000/180;
printf("第%d个月还款总额：%6.2f\n",i,x);
s=s+x;i++;;
}
while(i<=180);
printf("还款总额：%7.2f%\n总利息：%7.2f\n",s,d); }
模型二:等额本息还款法
设：贷款本金为 A元
平均每月应还本金B元
还款额为 x 元
贷款年利率为r
贷款月利率为 α
贷款个月为 m
还款月数为 n
设：
（i=1…n）是在第1个月还款前还欠银行的金额
(i=1…n) 是在第2个月还钱后欠银行的金额.
则有：
第1个月还款前欠银行的金额：
第1个月还款后欠银行的金额：
……
第i个月还款前欠银行的金额：
第i个月还款后欠银行的金额：
……
第n个月还款前欠银行的金额：
第n个月还款后欠银行的金额：
因为第n个月还款后，欠银行的金额就还清. 也就是说：
，
即：
解方程得：
年份
月数
月利率(‰)
年利率(%)
月还款总额
1
12
5.83
7
25957.47063
2
24
5.83
7
13431.22973
3
36
5.83
7
9262.580411
4
48
5.83
7
7183.316672
5
60
5.83
7
5939.793416
6
72
5.83
7
5114.125739
7
84
5.83
7
4527.217406
8
96
5.83
7
4089.517979
9
108
5.83
7
3751.275198
10
120
5.1
7
4018.466582
11
132
5.83
7
3264.601217
12
144
5.83
7
3084.503643
13
156
5.83
7
2933.572279
14
168
5.83
7
2805.541076
15
180
5.83
7
2695.813968
模型三：首先用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款；
首先前5年贷款人用等额本息还款法，而后资金较有增长改用等额本金还款的方式偿还剩余的10年贷款。在以上两种模型的基础上，推导此模型。
运用EXCEL计算5年等额本息还款法的月还款总额和累计还款总额
月数
月利率(‰)
年利率(%)
月还款总额
累计还款总额
1
5.83
7
25957.47063
25957.47
2
5.83
7
13431.22973
39388.70036
3
5.83
7
9262.580411
48651.28077
4
5.83
7
7183.316672
55834.59744
5
5.83
7
5939.793416
61774.39086
6
5.83
7
5114.125739
66888.5166
7
5.83
7
4527.217406
71415.734
8
5.83
7
4089.517979
75505.25198
9
5.83
7
3751.275198
79256.52718
10
5.1
7
4018.466582
83274.99376
11
5.83
7
3264.601217
86539.59498
12
5.83
7
3084.503643
89624.09862
13
5.83
7
2933.572279
92557.6709
14
5.83
7
2805.541076
95363.21198
15
5.83
7
2695.813968
98059.02595
16
5.83
7
2696.813968
100755.8399
……
……
……
……
……
58
5.83
7
2738.813968
214925.0266
59
5.83
7
2739.813968
217664.8405
60
5.83
7
2740.813968
220405.6545
由此表可知，经5年的等额本息还款，贷款人已经偿还欠款220405.6545元，还有300000-220405.6545=79594.3455元未偿还，剩余的这部分贷款采用等额本金还款方式偿还。
月数
月利率(‰)
年利率(%)
每月应还利息
月还款总额
1
5.83
7
464.0350343
1127.321234
2
5.83
7
460.1680756
1123.454276
3
5.83
7
456.301117
1119.587317
4
5.83
7
452.4341584
1115.720358
5
5.83
7
448.5671998
1111.8534
6
5.83
7
444.7002412
1107.986441
7
5.83
7
440.8332826
1104.119483
8
5.83
7
436.9663239
1100.252524
9
5.83
7
433.0993653
1096.385565
10
5.83
7
429.2324067
1092.518607
11
5.83
7
425.3654481
1088.651648
12
5.83
7
421.4984895
1084.784689
13
5.83
7
417.6315308
1080.917731
14
5.83
7
413.7645722
1077.050772
15
5.83
7
409.8976136
1073.183814
16
5.83
7
406.030655
1069.316855
……
……
……
……
……
119
5.83
7
7.733917238
671.0201172
120
5.83
7
3.866958619
667.1531586
后10年用等额本金还款的方式偿还剩余贷款，总还款数额为107668.4636元，
故前5年用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款总计还款数额为107668.4636+220405.6545=328074.1181元
模型四:考虑收入增长的情况下，贷款人收入每年增加一次且增加额为Δk的方式偿还贷款。
同模型三一样，贷款人先期资金较贫乏，采用等额本息还款方式，在考虑收入增长的情况下，假设收入平均每年只增长一次，第k年增长额为Δk.
设：贷款本金为 A元
每月月收入为Y元
每月平均消费为C元
贷款月利率为 α
还款月数为 n
第i年末工资增加额度
第i年每月需要还款的钱数（即月供）
每i年的补偿额（在A中提取一部分钱用于补偿某几个月的收入，使每个月月还款数趋于相同）
银行按等额本息贷款的公式由模型2推导可知：
整理以上公式的还款月数为：
则其有关约束条件为
第一年月供为=Y-C+
第二年月供为=(Y+)+-C+
第三年月供为=（Y+)+-C+
…………
第n年月供为=（Y+）+-C+
又有
综合以上各式
…………
假设n=5，即第5年月供时。
将以上式子简化为如下矩阵有：
其中，第1、2、3、4列分别为、、、所取到的值，第5列为的值，第6、7、8、9列分别是、、、所取到的值。
在此模型中，此时未知量为和，合理赋值=1000元时，运用C语言编程
#include
#include
void main()
{double i=0.00583,
Y=8000,A=300000;}
n=log(x/(x-A*i))/(log(1+i));
X1=Y-C+B1；
X2=(Y+K1)-C+B2；
X3=(Y+K1+K2)-C+B3；
X4=(Y+K1+K2+K3)-C+B4；
X5=(Y+K1+K2+K3+K4)-C+B5；
X1=X2=X3=X4=X5；
12*（B1+B2+B3+B4）+(n-48)*B5=A;
printf(“x1=%8f A=%8f n=%8f);
5、 模型的进一步分析
如何选择适合自己的方式，并且需要考虑下面几个方面：
①要考虑现有经济实力。
借款人在完成购房首个月付款后，如果还剩有一定积蓄，且在一段时个月内没有合适的投向、用途或投资理财能力欠强，那么专家提议可选择“本金法”。充足的积蓄既可以自如应付还款前个月较大的压力，又可降低借款的利息支出，好处看得见。对于一些临近退休收入递减的中老年职工家庭，这是一个不错的选择。
②要把握未来收入预个月。
长个月稳定的职业是保障稳定收入的基础，由于“本息法”前个月还款压力较小，更适合于就业时间短、收入处于上升个月的年轻人。而且，由于每个月还款金额是固定的，在借款人家庭收入相对固定的情况下，一般不会感到太大的压力。
③要合理设定还款个月限。
借款个月限长意味着还款总额高，但月还数额小又降低还款压力。对青年家庭来说，未来的岁月里需要花费的还很多，尽可能延长借款个月也许是不错的选择。对于年长者来说，在能承受的前提下，尽可能压缩借款个月，以免退休时收入骤减、债个月还遥遥无个月而影响晚年生活质量。
不同的还款方式，只是为满足不同收入、不同年龄、不同消费观念人们的不同需要或消费偏好而设定。从静态看，三种还款方式存在着利息差，但从动态看，在考虑时间因素情况下，三种还款方式完全不存在差异！正因为忽略了资金的时间价值因素，很多借款人误以为自己选择等额本息还款法多付了利息。但是，不管采取哪种贷款还款方式，银行都没有做吃亏的买卖；客户也不存在节省利息支出的实惠。
六、模型的评价及推广
一个好的模型不能由于初始的数据的微小误差而导致结果的较大改变。我们对最少还款在一定条件下做了随机的微小波动，分别对模型1、模型2加以检验，从检验的结果可以得出两个模型的稳定性比较好。
（一）模型的优缺点与改进方向
1、模型的优点：
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。
（3）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。
2、模型缺点：
（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。
（2）利率的精确度不同可能造成一定误差
（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来
3、模型的改进
（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素
（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响
（3）对利率有更准确的计算方法
（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平
（二）模型推广
根据前面模型所建立的还款系统，可以很好的解决人们的房屋贷款问题。在建模过程中，简化了很多因素，因而与实际问题有所偏差，因此，要想建立更好的还款方案，可以对一个实际的房屋贷款方案进行计算机模拟，将得到的实际数据输入计算机程序，便可以得出更优的还款方案。
七、参考文献
[1] 吴建国，数学建模案里例精编，北京：中国水利水电出版社,2006
[2] 李尚志，数学建模竞赛教程，南京：江苏教育出版社，1996
[3] 冯伟，黄力伟，王勤，尹成义，数学建模原理与案例：科学出版
[4] 朱道元，数学建模案例精选，北京：科学出版社 ，2003
[5] 周开利，邓春晖，MATLAB基础及其应用教程：北京大学出版社，2007
[6] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，1993
[7] 冬雪，关于贷款偿还方式的数学模型，
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d6f573a0100r9c4.html ，2013.6.2
附件：
等额本息还款法和等额本金还款法的比较
1、等额还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
由于每月的还款额相等，因此，在贷款初个月每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后个月因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。
这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择！
2、等额本金还款法，即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额。
由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月递减，因此，等额本金还款法在贷款初个月月还款额大，此后逐月递减（月递减额＝月还本金月利率）。例如同样是借30万元、15年个月的公积金贷款，等额本息还款法的月还款额为2866.956115元，而等额本金还款法的首月还款额为3666.666467元（以后每月递减11.1111元）,比前者高出799.710352元。由于后者提前归还了部分贷款本金 ，较前者实际上是减少占用和缩短占用了银行的钱，当然贷款利息总的计算下来就少一些（15年下来共计为35052.1186元），而并不是借款人得到了什么额外实惠！
此种还款方式，适合生活负担会越来越重（养老、看病、孩子读书等）或预计收入会逐步减少的人使用。
可见，等额本金还款方式，不是节省利息的选择。如果真正有什么节省利息的良方，那就是应当学会理智消费，根据自己的经济实力，量体裁衣、量入为出，尽量少贷款、贷短款，才是唯一可行的方法。
两种还贷方式比较
1、计算方法不同。
等额本息还款法。即借款人每月以相等的金额偿还贷款本息。
等额本金还款法。即借款人每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减，
2、两种方法支付的利息总额不一样。在相同贷款金额、利率和贷款年限的条件下，“本金还款法”的利息总额要少于“本息还款法”；
3、还款前几年的利息、本金比例不一样。“本息还款法”前几年还款总额中利息占的比例较大(有时高达90%左右)，“本金还款法”的本金平摊到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高时也就各占50%左右。
4、还款前后个月的压力不一样。因为“本息还款法”每月的还款金额数是一样的，所以在收支和物价基本不变的情况下，每次的还款压力是一样的；“本金还款法”每次还款的本金一样，但利息是由多到少、依次递减，同等情况下，后个月的压力要比前个月轻得多。
等额本息还款法：本金逐月递增，利息逐月递减，月还款数不变。
即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
等额本金还款法：本金保持相同，利息逐月递减，月还款数递减。适合于有计划提前还贷。
即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额。
按照整个还款个月计算，等额本息还款法支付的利息多于等额本金还款法。
两种还款方式中，等额本金还款法每个月归还本金的数额是相等的，而等额本息还款法每个月归还的本息之和的数额是相等的，但是银行都是按当年实际占用银行贷款额和规定的利率计算应收取的利息。
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