数学分析中的化归法.doc

.* 数学分析中的化归法 目 录 摘要 1 Abstract 1 1. 绪论 2 1.1 化归法的背景 2 2. 详谈化归法 3 2.1 化归法的分类 3 2.2 常见的化归方法及化归思想 3 2.2.1 化归的方法..............................................................3 2.2.2 化归的思想..............................................................4 2.3 化归法的原则 5 2.3.1 化归的方向与一般模式....................................................5 2.3.2 化归法的原则............................................................5 3. 数学分析中的化归..................................................................6 3.1 化归思想在数学分析中的显化 6 3.2化归法在数学分析解题中的体现 12 3.2.1 在极限中的体现.........................................................12 3.2.2 在微分中的体现.........................................................15 3.2.3 在积分中的体现... .....................................................16 3.2.4 在级数中的体现.........................................................22 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 24 4.小结 25 参考文献 26 致谢 27 .* 数学分析中的化归法 摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用 中图分类号：O1-0 The reduction method of mathematical analysis Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction. Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method 1 绪 论 数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。在学术界有一个这样的故事，也许这个故事更能体现化归的思维特点。有人提出了这样的一个问题：“假设在你的面前有水龙头、火柴、煤气灶、和水壶，你想烧一些水，应该怎么做呢？”对此，有人这样回答：“把水壶里灌上水，点燃煤气灶，然后把水壶放在煤气灶上。”提问者对这一回答给予肯定。接着，提问者又问到：“假如现在水壶里盛满了水，其他的条件都没有变化，又该如何做呢？” 此时被提问者会很有自信的回答道：“直接点燃煤气灶，然后再把水壶放在煤气灶上即可。”这个答案会使人比较容易接受，但提问者指出：“这个答案不能使我感到满意，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会把水壶里的水倒掉并说我已经把这个问题转化为第一个已经解决的问题了。”在这个故事中也包含着这样一层意思：即化归法是数学家们所常用的一种方法。化归法是数学研究中的一种重要的技能和方法，它就是把有待解决和未解决的问题通过各种转化、归结到一类已经解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解的方法。目前，随着数学科学发展至今，化归法逐渐走向成熟，渗入到数学的各个领域中，化归法也有着广泛的应用。本篇论文将主要阐述化归法在数学分析中的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 1.1 化归法的背景 对化归法的研究有着漫长的经历，这要从费尔玛大定理的证明谈起。1637年费尔玛留下了著名的费尔玛猜想，在此后的几百年时间里，众多著名的数学家对此进行了漫长的证明求解过程，主要分为三次重大的突破；第一次重大突破是1857年，德国数学接库麦尔引入分圆数和理想数，开创了分圆数和理想数的数学分支；第二次重大突破是1983年，德国29岁的青年数学家G.法尔廷斯利用法国数学家A.格罗腾迪克建立的概型理论证明了莫德尔猜想，还解决了泰特猜想和沙发列维奇猜想；第三次重大突破是费尔玛大定理的完全获证，即1993年英国青年数学家A.怀尔斯通过证明谷山-韦恩-志村猜想而获得费尔玛大定理的全证；从上面的论述可以看出，费尔玛大定理的完全获证，是数学家们前赴后继，艰苦卓绝地运用了各种转化方法和转化思想才得到的，而这种转化的方法就是化归法在数学研究中的具体运用。 2 详谈化归法 化归思想是数学中最重要、最基本的一种思想方法，是数学思想方法的灵魂。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的意思；具体来说就是将实际中解决问题的一些复杂的方法转化为简单方法，是将我们有待解决或未能解决的问题通过各种转化，最终变成我们容易解决和已经的问题和方法，从而达到证明和求解的目的。在学习中化归思想无处不在，它是分析问题和解决问题的有效途径。 2.1 化归法的分类 1.按照化归方法应用范围来分，可以分为外部的化归方法和内部的化归方法。外部的化归方法是指把实际的问题转化为数学中的问题；内部的化归方法则是指将某一类数学问题转化为另外一类数学问题。 2.按照化归方法解决问题性质来分，可以分为计算中的化归方法和论证中的化归方法以及建立新的学科体系中的化归方法等等。 3.按照化归方法应用广度来分，可以分为多维的化归方法和二维的化归方法以及广义的化归方法。多维的化归方法是指跨越多种数学分支，广泛的适用于各种学科系统的化归方法，例如变量代换法、坐标变换法、参数变换法、映射法、待定系数法、分解与组合法、反证法都属于多维的化归方法；二维的化归方法是指联接两个不同的数学分支的化归方法，例如解析法、坐标法、代数法等；广义的化归方法是指超出数学范围的化归方法，例如数学模型方法、反证法等。 2.2常见的化归方法及化归思想 1. 化归的方法 化归的方法也就是规范化的手段、措施以及技术。化归方法包含三个基本要素：化归的对象、目标、途径。化归的对象就是把什么问题进行化归，化归的目标就是把问题化归到何处去，化归的途径就是如何对问题进行化归（也就是化归的方法）。例如在求解有理函数的积分时一般的方法是先化为部分的分式求解。在这里被积的有理函数就是化归的对象，部分的分式就是化归的目标，而把有理函数表示成部分分式之和时所用的待定系数法就是化归的方法。在化归的三个要素中，化归途径是实现化归的关键，这是很显然的。 常见的化归方法主要有分割法、求变法、映射法、极端化法。 分割法就是把一个要解决的问题分割为若干个有逻辑关系、较简单、较熟悉的小问题，然后对这些小问题进行逐一求解的方法。 求变法是化归方法的重要方法之一，包括恒等变形法、放缩变形法、参数变形法、换元变形法。恒等变形法是把一个解析式变换成另一个与它恒等的式子，通过求得恒等式子的解来得到原问题的解的方法；放缩变形法是指在解决某些数学题时，例如在不等式的证明中，往往会通过放大或缩小的形式从而达到化归目的的方法；参数变形法是指利用参数和题中各个量之间的联系，因而通过讨论参数的变化来求得原问题的解的方法；换元变形法是指通过把题目中某些量用另一个形式相对简单的量来代替，使之更容易发现关系，是一种用处十分广泛的方法。 映射法也就是关系映射反演方法，简称RMI方法。所谓映射就是在两个数学集合的元素之间去建立某种对应关系。使用映射法解题的过程是：首先通过映射把原来的问题转化为问题1，然后求得问题1的解，再通过逆映射去求原问题的解。 极端化法在解决某些数学问题时可以以极端的情况去考察，从而获得更好的启示以得到新的容易解决的问题，再通过一定的教学手段得到原问题的解的方法。极端化的情况往往是多种形式的，并不存在于原问题中，需要充分发挥个人的数学想象力从而把它构造来。 2. 化归的思想 化归思想是指在分析处理问题时，把需要解决或者难以解决的问题，通过各种转化使之化为已经解决或者比较容易解决的问题，从而得到原问题的解的一种思维方法。化归思想是解决数学问题的基本思想，而解题的过程实际上就是转化的过程，化归思想的实质就是一种转化的思想。常见的化归转化思想有等价转化的思想、反证法的转化思想、数形结合的转化思想、函数与方程的转化思想、换元的转化思想、一般与特殊的转化思想等。另外，多元向一元的转化、高次向低次的转化、高维向低维的转化等都是转化思想的体现。 总的来说化归的思想具有多样性和灵活性的特点，并没有统一的模式可以遵循。在解题时，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，来寻找利于问题解决的转化途径和方法，因此要学习和熟悉化归的转化思想，有意识的运用化归转化的方法，灵活解决有关的数学问题。 2.3 化归法的原则 1. 化归的方向与一般模式 问题是数学的心脏，数学问题的解决是数学教学中一个重要的组成部分，几乎所有数学问题的解决均离不开化归，只是运用的化归形式不同而已。化归的方向就是把未知的化为已知的、困难的化为容易的、繁琐的化为简洁的、暗处的化为明处的。 尽管化归的方法有很多，但是所有利用化归方法解决问题的过程，都可以简单的概括为：将所要解决的问题先通过某种方式转化为一个已经解决或较容易解决的问题1，然后通过对问题1的解决来得到原问题的解答，这就是化归的一般模式，其模式的图形如下： 还原 解答1 解答 问题 问题1 化归 化归 2. 化归法的原则 为了有效的实施化归与转化，就必须遵循相应的原则，不能随心所欲，盲目的进行。一般来说，化归过程应该遵循以下一些基本原则： 1）熟悉化原则：将原问题中的陌生的内容和形式转化为较熟悉的内容和形式，使之符合人们的思维习惯，以便于用已有的知识和经验使原问题获得解决。 2）简单化原则：将复杂的问题化归为相对简单的问题，把复杂的形式转化为较简单的形式，从而让问题变得更加容易解决，使问题的空间形式和数量关系更加明朗和具体。以便于更加容易的找到问题的突破口。 3）和谐化原则：和谐化是数学的内在美的重要内容之一。因此，我们在解题的过程中，可以根据数学问题的条件、结论以及表现形式将其变成更加符合数学内部结构固有的和谐统一的特点，这样有利于使推演运用某种符合人们思维规律的数学方法。 4）直观化原则：在解决问题的过程中，把抽象的、含糊的、深奥的的问题转化为比较直观的、具体的、浅显的问题,以便于使题中的数量关系更容易把握，问题更容易解决。 5)正难则反的原则：在研究问题的过程中，当问题从正面不知从何着手，可以从问题的反面考虑，探究问题的反面；当问题直接解决遇到困难可以考虑间接解决；当问题顺着推导觉得困难可以考虑逆着推导。不能前进时则考虑后退，也就是转变思维的角度从问题的对立面来进行思考、探求，从而使问题得到解决。 3 数学分析中的化归 数学的发展过程是在社会实践中不断的提出问题和不断的解决问题的过程，数学解题是数学研究以及数学教学的重要的组成部分，化归法是数学问题解决中的一种重要的方法，它渗透到数学的各个领域中，具有极其广泛的应用，用化归的思想来解决数学问题具有重要的价值。 3.1化归思想在数学分析中的显化 数学分析是一门内容复杂、具有严谨而系统的理论体系的课程，主要研究的是极限、导数、积分、级数等内容。当我们仔细分析这门课程的知识结构和内容的相互关系时，容易发现，数学分析课程中蕴含着丰富的化归思想，在数学分析中有很多的具体的问题都渗透着化归这思想，下面做一些简单的总结： 一、在变元个数上的化归 极限最先是在一元函数和数列上定义的（数列也一样是只有一个变量），然后在多元函数中定义，而多元函数求极限是可以通过坐标变换的形式转化为一元函数求极限的，把多重的极限化为累次极限的过程也就是将多元函数求极限化归为一元函数求极限的过程。导数的概念首先也是在一元函数中定义的，然后再定义多元函数求偏导、求微分，在解决问题的过程中多元函数求偏导就是将其中一个变元看成变量，而其它的变元暂时先看成常量，再对变量求导数，可以看出多元函数求导的所有问题都可以化归为一元函数的求导问题。在积分中，首先是在一元函数上定义了不定积分和定积分，而后在多元函数中定义了重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分，在解决积分问题的时候，在求累次积分的题时，是先求一个变量的定积分，再依次下去求剩余变量的定积分，其实就是把累次积分转化为求定积分，就是把多元函数求积分转化为求一元函数定积分的过程，而求重积分、曲线积分、曲面积分则是通过变量替换等方式化成累次积分，实际上就是转化成了求一元函数定积分的过程。 二、导数在阶数上的化归 导数概念首先是定义一阶导数，然后在一阶导数的基础上定义了高阶导数，求高阶导数的过程就是一阶一阶的求一阶导数的过程，也就是把求高阶导数的计算问题化归为求一阶导数的计算问题。公式充分体现了化高阶为低阶的化归思想。许多高阶导数的应用中都能在一阶阶导数中找到其“影子”，例如泰勒公式： ，泰勒公式就是高阶导数的一个应用，而将泰勒公式化归为一阶导数就是微分中值定理，微分中值定理是帮我们讨论怎么由导数的已知性质来推断出函数具有的性质，把高阶导数中的泰勒公式化归为微分中值定理，理解起来就容易多了；函数的增减性和凸凹性也包含了高阶导数化归为一阶导数的应用。 三、微分和积分观点之间的互相化归 微分和积分都是数学分析中的主要内容，积分可以看成是微分的逆运算。原则上来说，微分中的计算在积分中都有着相应的逆运算，例如 与 与 与 等公式都是成对的出现的，由于在数学分析中的这一性质，使得对积分中公式定理的证明都可以转化为基于微分中相应的公式的证明，如积分中分部积分法的公式就是通过两个函数的乘积的导数的公式来证明的，因此只要掌握微分中的公式及证明就能记住相应的积分中的公式，并可以证明其正确性。 四、在讨论对象上的化归 在数学分析中我们首先讨论了六种基本的初等函数，这六种函数分别是： 常量函数 是常数)； 幂函数 为实数); 指数函数 ； 对数函数 ； 三角函数 ，，，； 反三角函数 ，，，. 以上的六种基本初等函数都具有非常好的分析性质，数学分析中的一般理论讨论的都是一般函数，但是具体的问题都是以上六种基本初等函数或者是它们的复合函数，也就是说， 数学分析中的一般函数都是可以化归为基本初等函数的，如: ①泰勒公式是用幂函数来逼近或表示一般函数，也就是说一般函数可以通过泰勒公式用恒等变形的方法化归为幂函数，例如: 证明 证明如下：设 则 代入泰勒公式： ， 在时的形式，即带有皮亚诺余项的麦克劳林公式 从而 证毕。 ②傅里叶级数是用三角函数来逼近或表示一般函数的，也就是一般函数可以通过傅里叶级数用恒等变形的方法化归为三角函数，例如： 求函数的傅里叶级数展开式. 解:函数及其周期延拓之后的图像如下图所示： 0 -3 -2 - 2 3 O O O O 显然是可以展开成为傅里叶级数的，其中 . 当时， 因此在开区间上 在时，上式右边收敛于 于是，在上的傅里叶级数的图像如下图所示： 0 -3 -2 - 2 3 o o o O O O O 从以上能够看出在数学分析中可以用基本初等函数来表示或逼近一般函数；分段函数虽然不是初等函数，但是分段函数在不同的定义域上大多是以基本初等函数出现的，如著名的符号函数和狄利克雷函数.当然，若我们从复变函数的观点看，以上六种基本初等函数都可以看成是一种函数，因此数学分析中的函数都可以化归为一种函数。 五、在一些著名公式中的化归 数学分析中有许多著名的公式、定理都是可是推广和拓展的，因此也都可以化归。在微分学中我们所熟悉拉格朗日中值定理和柯西中值定理就是通过构造辅助函数的方法转化为罗尔中值定理证明的，这三个中值定理的内容如下： 罗尔中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且则在内至少存在一点，使得 拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 柯西中值定理：若函数和在闭区间上都连续，在开区间内都可导，且和不同时为零，则存在使得 ① 用罗尔中值定理来证明拉格朗日中值定理 显然从罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的内容可以看出当拉格朗日中值定理 时，拉格朗日中值定理的结论即为罗尔中值定理的结论，这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。证明方法如下： 构造辅助函数那么显然有，且在上也满足罗尔中值定理的另外两个条件，所以 ，即证毕； ② 用罗尔中值定理来证明柯西中值定理，证明方法如下： 构造辅助函数 显然有，且在上满足罗尔中值定理的条件，所以 ，由于（否则由上式可得 ），所以上式变形即为证毕。 在积分学中有几个著名的公式都体现着化归的等价转化思想，如下： 格林公式：（这里为区域的边界曲线）给 出了二元函数在平面区域上的二重积分与其“原函数”在平面区域的边界曲线上的第二型曲线积分之间的联系。 高斯公式： （这里空间区域由封闭曲面围成）给出了三元函数在空间区域上的三重积分与其“原函数”在围成空间区域的封闭曲面上的第二型曲面积分之间的联系。 斯托克斯公式： （这里的光滑曲线是光滑曲面的边界）给出了三元函数在空间曲面上的第二型曲面积分与“原函数”在围成曲面的边界光滑曲线上的第二型曲线积分之间的联系。 我们知道，牛顿—莱布尼兹公式给出了定积分与“原函数”在闭区间的端点上值的关系。可见，从“原函数”与“边界”的这个意义来看，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，都是可以化为牛顿—莱布尼兹公式的，也就是格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都能够在牛顿—莱布尼兹公式中找到自己的影子，这是数学思想上非常有意思的化归。 化归在数学分析中的显化，有化归在基本概念中的显化，化归在基本理论中的显化。例如，函数的连续性、导数、积分、无穷大（小）量、反常积分和级数的收敛，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的定义等都是归结成为极限的方式来定义的；海涅定理揭示了函数极限与数列极限之间的关系，其意义是可以将数列极限的问题转化为函数极限的问题来处理，例如在求解数列的不定式极限时，可以将其转化为求解函数的不定式极限，从而运用洛必达法则求出极限，也可以将函数极限的问题转化为数列极限的问题来处理，通过数列极限的性质得到并证明函数极限的性质；微分中值定理揭示了函数及其导数之间的关系，其意义是可以讲函数问题转化为其导数的问题来研究，例如用导数来研究函数的单调性、凹凸性、最值、极值等问题；在积分中，二重积分、三重积分、第一、二型曲线积分、第一、二型曲面积分、无穷积分、瑕积分都可以转化为定积分来求解，求解定积分和不定积分的换元法和分部积分法都含有化归的思想。总之，数学分析这门课程到处都体现着化归这一思想。 3.2化归方法在数学分析解题中的体现 1.在极限中的体现 我们知道极限包括函数极限和数列极限，而在函数极限中有两个重要的极限： （等价于），因此在解有很多函数极限计算的题目只要将其转化为两个重要极限的形式就很容易得出结果，例如 ①， ② 在函数极限中还有一种是关于不定式的极限的问题，不定式的极限形式主要是： 以及等类型，其中是两大基本的类型，而其他的形式都可以通过取对数或者恒等变形的方法化为或型，从而应用洛比达法则来求解，而其中类型的题目求极限时可以转化为求第二个重要极限的类型。例如 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 在上述解题过程中中我们通过化简、取对数等方法来实现恒等变形将其他的不定式极限都化归为型和型，从而应用我们所熟悉的洛比达法则解题。 在求数列极限的问题时，可以通过海涅定理将数列极限转化为函数极限，在判断函数极限的敛散性时也可以将函数极限转化为数列极限，这体现了一般与特殊之间的转化，从而解决数列极限及函数极限敛散性的问题；而夹逼定理可以将原式放缩变形然后再求解。例如 ① ②证明极限不存在 证：设 则显然有， 所以极限不存在。 ③求 解：由于 并且 所以由夹逼定理可得 在解题时会遇到从表面上看比较复杂的题目，这时候我们可以通过换元变形的方法将其转化为较简单的问题，使的我们更容易解决问题。例如求极限. 解：令，则 在求解某些二元函数的极限计算问题的时候，可以经过一些适当的变换如：,可以使得二元函数在某一点处的极限转化为一元函数在该点处的极限，则可以用一元函数求极限的方法来求二元函数在该点处的极限了，例如： 已知：求 解：对二元函数的自变量作如下的极坐标变换.则对 等价于对任意的都会有.由于 因此，对于任意的只需要取当时，则不管取什么值都有，也就是. 在二元函数的极限中含有一种我们熟悉的累次极限，而累次极限的求法是先对其中一个变量求极限，然后再对另一个变量求极限，因此我们可以看出求累次极限的实质也就是可以转化求一元函 数的极限，例如：求函数在点处的累次极限。 解： 2.在微分中的体现 在一元函数求导中，要掌握基本初等函数求导的公式以及求导的四则运算就可以了，由函数导数的定义，对于函数导数的研究都可以化归为函数极限的问题的研究。例如，求在处的导数，可以有两种方法： ① ② 二阶导数是在一阶导数的基础上定义的，因此求二阶导数就可以化为求一阶导数，一般的函数的阶导数在其导数的基础上定义的，因而求高阶导数都可以转化为求一阶导数。例如， 已知，求 一元函数的导数是等于一元函数的微分与其自变量微分的商，即，因此求一元函数的微分只要求一元函数的导数再乘以就可以了，所以求一元函数的微分可以化归为求一元函数的导数。例如，已知求 解： 所以 由多元函数的偏导数的定义，函数对哪个自变量求偏导数是先将其他的自变量都看成常数，从而使多元函数变成一元函数，因此求多元函数的偏导数可以化归为求一元函数的导数；所以像高阶偏导数，以及全微分其实都是可以转化为求一元函数的导数的问题。例如： 已知， 求 解： 3.在积分中的体现 (1)积分学中的运算最基本的当然是不定积分的运算，而不定积分中的计算最根本的是基于基本的积分公式，如 ，， ，， ，等等。 如在以下例题中就体现了不定积分运算基本公式的应用 ① ② ③ 积分运算中常用的方法有第一换元法，第二换元法，牛顿—莱布尼茨公式，分部积分法等，这些方法的依据都是积分中的公式，积分时通过这些方法将被积函数化归与某一积分公式相一致的形式，通过这一积分公式求出原函数。在积分还有一种通过变量代换的形式将不能直接用不定积分基 本公式计算的转化为能用基本公式计算的形式，也就是把未知的化为已知的。 例如：求不定积分 解：令，则 牛顿—莱布尼茨公式：（在这里是的原函数，也就是 ），不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且从理论上把定积分的计算和不定积分联系了起来。从化归法的角度看，其框图如下： 定积分问题 定积分问题 得 解 求原函数 牛顿—莱布尼茨 牛顿—莱布尼茨 因此不定积分的运算方法掌握了，则定积分的计算方法也就掌握了。 例如：求定积分 解： 令则 从而原式 ⑵定积分概念产生的背景是“分割、近似求和、取极限”，而第一型曲线积分、第二型曲线积分、重积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念都是用“分割、近似求和、取极限”定义的。因而在解题时这些类型的积分都是可以转化的，下面用一些具体的例题来说明它们之间的转化过程。 一、第一型曲线积分，第二型曲线积分转化为定积分： ①计算第一型曲线积分：设是从原点到的一段曲线（如下图），求第一型曲线积分 解：由公式 所以 ②计算第二型曲线积分：是螺旋线： 从到上的一段， 解： 二、重积分与累次积分之间的转化： ①计算其中为圆域， 解：通过极坐标变换 ②计算，其中为由平面与所围的区域，如下图： 2 4 O 解：在平面上的投影区域型 是型区域，这里， 所以有 三、重积分、曲线积分、曲面积分之间的转化 ①用格林公式把第二型曲线积分转化为二重积分： 计算其中为曲线，与直线所围成的区域的正向边界（如下图）： O 解：由题意 由格林公式 ②用高斯公式把第二型曲面积分转化为三重积分： 计算其中是边长为的正立方体表面并取外侧为正方向 解：由题意得 所以由高斯公式得： ③用斯托克斯公式把第二型曲线积分转化为第二型曲面积分： 计算，其中平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正方向（如下图）： 解：由题意得 所以由斯托克斯公式得： 以上各种积分之间的化都是用等价转化的思想将未知的内容化为已知的内容。. ⑶在广义积分中有两种类型： 第一种类型是无穷积分，有3种形式： 以及其中（为常数），可以看出无穷积分的敛散性通过恒等变形的方法能够化归为前两种形式的无穷积分。而对于无穷积分，只要通过换元变形的方法，令,则有，，因此得到，从而无穷积分与通过变形的方法都可以转化为形式的无穷积分。 第二种类型是瑕积分，其中设左端点为瑕点，对于瑕积分，只要通过参数变形的方法，令，则有，所以瑕积分，也可以化为形如的无穷积分。通过以上求变法的化归可知要求广义积分的敛散性及性质，只需讨论无穷积分的敛散性及性质即可。 例如：判断无穷积分是否收敛 解： 令，则由得 4.在级数中的体现 ⑴求级数的和：可利用数项级数与函数项级数之间特殊与一般的关系，将无法直接求和的数项级数问题转化为求幂级数和函数的问题，然后用熟悉的逐项求导，求积分的方法解决问题； 例如：求 解：设，则有，而， 在内收敛，所以， ，从而 ⑵求幂级数的和函数 在求幂级数的和函数中，在函数项级数一致收敛的情况下，对函数项级数进行逐项求导或积分，使其形成一个已知或容易求和的函数项级数再求和，最后再反过来求一次积分或导数，就可得到原级数的和函数，这就是用了化归法中的RMI方法。 例如：求幂级数的和函数 解：设则 所以 其的思路框图为： 映射 映射 原 像 映 像 逆映射 逆映射 (3)把数列问题化归为级数问题 数列的敛散性实质上是和级数的敛散性互相等价的，事实上，设，则数列的收敛等价于级数的收敛，当两者都收敛时有。因此，判断数列的敛散性与求的问题可转化为的敛散性与求的问题，级数收敛的必要条件是 例如，求证： 证明：设， 则有 收敛 由以上的介绍，在数学分析中主要常用的化归方法是求变法中的恒等变形法、换元变形法、参数变形法和放缩变形法，以及关系映射反演法（简称法），主要的化归思想有一般与特殊的转化、等价转化的思想、换元的转化思想、多元向一元的转化的思想和高阶向低阶的转化思想，而这些思想和方法的最终目的都是把复杂的化为简单的，未知的化为已知的。 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 由以上可以看出化归的思想和方法在数学分析这么课程中的应用和体现，虽然教材中并没有明确指出其思想和方法，但是化归的思想和方法却是贯穿在整个教材中。那么如何在数学分析的学习中发现化归呢？ 一、深入理解教材内容，进行化归方法的训练 教学的目的主要是使学生正确的理解和掌握教材的内容。因此，在学习的过程中，我们要深入的钻研教材，准确的去理解教材中的每一个概念、命题、法则、原理、公式和规律；而数学的思想是数学教材体系中的灵魂，数学思想支配着整个数学教材，使数学教材中的概念、命题及问题的解决相互联系、相互支持，从而形成了一个完整的联合体系。因此，在教学的过程中，教师应该根据教材的内容，将隐含的信息显现出来，从而把握化归的方法，利用循序渐进的教学原则，结合教材中不同阶段的知识，总结知识之间的联系，有意识的进行化归思想的孕育和渗透，进行化归方法的训练。 二、倡导过程教学、展现数学数学方法 数学教育的最终目的是全面培养学生的数学素质，而培养学生的数学能力是提高学生数学素质的根本途径。因此，在教学的过程中我们要改变重视结果、重视分数的教学方式，建立起重视知识的发生、重视学习方法的培养、重视学习能力的培养的过程，并且以数学的学科体系为背景，整体设计教学的过程，利用启发式的教学模式，引导学生积极地参与到课堂教学中去，充分地发挥学生在学习中的主体地位，是得学生积极主动的学习。教师则应该充分地发挥在教学中的主导作用，根据教材中的内容，将数学的思想方法通过教学的过程展现给学生，让学生自己去不断的体会、领悟、挖掘和深化。从而启发学生运用化归的思想将新的知识转化到原有的认知结构中去，既可以提高学生的思维水平，又能够加快学生的解题速度，从而使得学生逐步形成化归的意识。 三、加强其他数学思想的渗透，促进化归意识的形成 目前，数学教师的重要任务是培养学生学习数学的能力，数学的学习能力直接影响着各种数学方法在数学教学过程中的渗。因此，在教学的过程中，应该重