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空间几何体的三视图
[学习目标] 1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型.
知识点一 投影的概念及分类
1.投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
2.投影的分类
3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
知识点二 三视图的概念及特征
1.定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影.
2.基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.
思考 画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？
答 是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直.
题型一 中心投影与平行投影
例1 下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确.
跟踪训练1 已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC( )
A.全等 B.相似
C.不相似 D.以上都不对
答案 B
解析 本题主要考查对中心投影的理解.根据题意画出图形，如图所示.
由图易得＝＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.
题型二 画空间几何体的三视图
例2 如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.
解 三视图分别如图所示.
跟踪训练2 螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图.
解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).
三视图如图所示.
题型三 由三视图还原空间几何体
例3 根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图.
(1)
(2)
解 (1)此几何体上面可以为圆柱，下面可以为圆台，所以实物草图可以如图.
(2)此几何体上面可以为圆锥，下面可以为圆柱，所以实物草图可以如图.
反思与感悟 由三视图还原空间几何体的步骤：
跟踪训练3 已知如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.
解 由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如图：
数形结合思想
例4 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为a的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和b的线段，求a2＋b2的值.
分析 本题考查某几何体的一条棱长和它在三视图中的投影长的关系，这种关系比较抽象，不易理解，我们可以结合长方体的体对角线在三个面上的投影来理解这个问题.
解 如图所示，设长方体的长、宽、高分别为m，n，k，体对角线长为，体对角线在三个相邻面上的投影长分别为a，，b.
则由题意，得＝，
＝，解得m＝1或m＝－1(舍去)，
则
所以(a2－1)＋(b2－1)＝6，即a2＋b2＝8.
解后反思 本题主要是根据题意利用数形结合思想构造一个长方体，通过长方体把a，b集中在方程中求解.
画出所给几何体的三视图
例5 画出如图所示物体的三视图.
分析 首先正视图与侧视图的高要相等，其次侧视图的宽与俯视图的宽一致.
解 该几何体的三视图如图所示：
解后反思 本例的侧视图中有一条看不到的棱，在绘图时应用虚线，常见错误是将此虚线误绘成实线，这一点在绘制三视图时尤其要重视.
1.一条直线在平面上的平行投影是( )
A.直线 B.点
C.射线 D.直线、射线或点
2.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )
A.圆柱 B.三棱柱 C.圆锥 D.球体
3.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
4.如图所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为( )
A.8 B.4 C.2 D.16
5.有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________.
一、选择题
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台
2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
5.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B.1 C. D.
6.一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A.1 B. C. D.2
二、填空题
8.如图所示，桌面上放着一个半球，则它的三视图中，与其他两个视图不同的是______(填“正视图”“侧视图”或“俯视图”).
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.
10.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(或图形)的4个顶点，这些几何体(或图形)是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形； ②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
11.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于________.
三、解答题
12.如图是一个几何体的正视图和俯视图.
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积.
13.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
当堂检测答案
1.答案 D
解析 当直线与投影线平行时，投影是一个点；当直线与投影线垂直时，投影是一条直线；当直线与投影线相交，但不垂直时，投影是一条射线.
2.答案 C
解析 由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥.
3.答案 D
解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.
4.答案 A
解析 由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为2，所以侧视图的面积为42＝8.故选A.
5.答案 2,4
解析 由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为2＝4.
课时精练答案
一、选择题
1.答案 D
解析 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.
由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.
2.答案 A
解析 由三视图知识，知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.
3.答案 C
解析 正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.
4.答案 D
解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.
5.答案 D
解析 正方体的侧视图面积为，正视图和侧视图完全相同，所以面积也为.
6.答案 B
解析 几何体俯视图的轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C，D不正确；几何体的最上面的棱与正视图方向垂直，所以A不正确.
7.答案 C
解析 由三视图可知，该几何体是由一个正方体切掉部分后留下的一个四棱锥.如图所示，所以最长的棱长为＝.
二、填空题
8.答案 俯视图
解析 该半球的正视图与侧视图均为半圆，而俯视图是一个圆，所以俯视图与其他两个视图不同.
9.答案 1
解析 依题意得三棱锥P－ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.
10.答案 ①③④⑤
解析 由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体.故①可能，如图，由图可知，②不可能，③④⑤都有可能.
11.答案 2
解析 由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图、俯视图的内切圆最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆，所以最大球的半径为正视图中直角三角形的内切圆的半径r.
由题意，得8－r＋6－r＝.解得r＝2.
三、解答题
12.解 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体可以是一个正六棱锥.(2)该几何体的侧视图如图所示：
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，则AD＝a.所以该平面图形(侧视图)的面积为aa＝a2.
13.解 (1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来.
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.
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