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第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.
证：由，知，，当时，有
取，有，，设时（此时）有
由数列极限的定义得 .
2. 试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
证：
而
于是，
即
由数列极限的定义得
考察数列 ，知不存在，而，，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) =0； (2) =0.
证：（1）因为
而且 ，，
所以由夹逼定理，得
.
（2）因为，而且，
所以，由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
(1) xn=，n=1,2,…；
(2) x1=,xn+1＝,n=1,2,….
证：（1）略。
（2）因为，不妨设，则
故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，
又 ，而,，
所以 即 ，
即数列是单调递增数列。
综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
证：先证充分性：即证若，则.
由及知：
,当时，有，
当时，有。
取，则当或时，有，
而或就是，
于是，当时，有，
所以 .
再证必要性：即若，则,
由知，，当时，有，
由就是 或，于是，当或时，有.
所以
综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和；
(2) 设f(x)= ，问常数a为何值时，f(x)存在.
解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.
当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.
（2）若存在，则，
由（1）知 ，
所以，当时，存在。
3. 利用极限的几何意义说明sinx不存在.
解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。
习题2-3
1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。
例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。
2. 判断下列命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；
(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；
(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；
(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；
(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但xsinx≠∞；
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；
(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.
解：（1）错误，如第1题例1；
（2）正确，见教材2.3定理3；
（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；
（4）正确，见教材2.3定理2；
（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；
（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；
（7）正确，见教材2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-； (4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
(5) f(x)= sinx,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞.
解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。
（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；
当时，是无穷小量。
（3）从的图可以看出，，
所以，当时，是无穷大量；
当时，是无穷小量。
（4），
当时，是无穷小量。
（5）当时，是无穷小量，是有界函数，
是无穷小量。
（6）当时，是无穷小量，是有界变量，
是无穷小量。
习题2-4
1.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)g(x)］, ［f(x)g(x)］是否存在，为什么?
解：若f(x)存在，g(x)不存在，则
（1）［f(x)g(x)］不存在。因为若［f(x)g(x)］存在，则由或以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。
（2）［f(x)g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)g(x)］=存在。
又如：，，则，不存在，而
［f(x)g(x)］不存在。
2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).
证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有
令，则当时，有
从而，由的任意性推出即
.
3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则
=A,
其中A=max{a1,a2,…，am}.
证：因为，即
而，，由夹逼定理得
.
4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x2=,…，xn+1=（n=1,2,…），则xn存在，并求该极限.
证：因为有
今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。
又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。
设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.
5. 求下列极限：
(1) ； (2) ；
(3) ; (4) ；
(5) .
解：（1）原式=；
（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；
（3）
而，
；
（4）；
（5）.
6. 求下列极限：
(1) ； (2) ；
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ；
(9) ； (10) ；
(11) .
解：
（2）
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）
；
（9）
；
（10）
（11）当时，是无穷小量，是有界函数，
它们之积是无穷小量，即。
习题2-5
求下列极限(其中a＞0,a≠1为常数）：
1. ; 2. ; 3. xcotx;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12.;
13. ; 14. ; .
解：1. ；
2.
；
3. ；
4.
；
5.
；
6. ；
7.
8.令，则，当时，，
.
9.
（利用了第8题结论）；
10.
；
11.
；
12.
；
13.令，则，当，，
；
14.令，则，当，，
.
习题2-6
1. 证明： 若当x→x0时，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，则当x→x０时，(x)～β(x)的充要条件是＝０.
证：先证充分性.
若＝０，则＝0,
即，即.
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即 .
3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
证: ∵当x→0时, f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)
∴
于是:
∴当x→0时, ,
∵
而当x→0时, ,
由前面所证的结论知, ,
所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.
4. 利用等价无穷小量求下列极限：
(1) (b≠0)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) (a≠b)；
(7) ； (8) 设＝100,求f(x).
解
(8)由,及知必有,
即 ,
所以 .
习题2-7
１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
(1) f(x)= (2) f(x)＝
解: (1)
∴ f(x)在x=0处右连续,
又
∴ f(x)在x=1处连续.
又
∴ f(x)在x=2处连续.
又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f(x)在[0,2]上连续.图形如下:
图2-1
(2)
∴ f(x)在x=1处连续.
又
故
∴ f(x)在x=-1处间断, x=-1是跳跃间断点.
又f(x)在显然连续.
综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:
图2-2
2. 说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?
略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.
解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ； (2) f(x)＝；
(3) f(x)= ； (4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
∴ x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.
(2)由sinx=0得,k为整数.
∴ x=0是跳跃间断点.
(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.
∴ x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.
(5) 在x=0无定义
故x=0是f(x)的可去间断点.
5.适当选择a值，使函数f(x)= 在点x=0处连续.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.
解:
所以, f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.
7. 求下列极限：
(1) ； (2) ；
(3) ln(x-1); (4) arcsin；
(5) (lnx)x.
解:
习题2-8
1. 证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.
证: 令,则在[1,2]上连续,
且 ,
由零点存在定理知至少存在一点使得.
即 ,
即方程至少有一个介于1和2之间的根.
2. 证明方程ln（１＋ex）-2x=0至少有一个小于1的正根.
证: 令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,
且
由零点存在定理知至少存在一点使得.
即方程至少有一个小于1的正根.
3※. 设f(x)∈C（-∞，+∞），且f(x)=A, f(x)=B, AB＜0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x0∈（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０.
证: 由AB<0知A与B异号,不防设A>0,B<0
由,及函数极限的保号性知,,使当,有
,使当时,有.
现取,则,
,则,且,
由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,
即至少存在一点使.
4.设多项式Pn(x)＝xn+a1+…+an.，利用第3题证明： 当n为奇数时，方程Pn(x)=0至少有一实根.
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
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