资源描述
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年 级
高一
学 科
数学
版 本
人教实验A版
内容标题
对数运算、对数函数
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
对数运算、对数函数
二. 重点、难点：
1. 对数运算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
2. 对数函数，且
定义域 （）
值域 R
单调性
奇偶性 非奇非偶
过定点 （1，0）
图象 与关于轴对称
【典型例题】
[例1] 求值
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） 。
解：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
[例2] 若满足
，试比较的大小关系。
解：log2〔log (log2x)〕＝0log(log2x)＝1log2x＝x＝＝(215).
同理可得 y＝＝(310) ,z＝＝(56) .
∵310>215>56，由幂函数y＝x在(0，+∞)上递增知，y>x>z.
[例3] 若……，则 。
解：由已知，
∴
∴
[例4] 图中四条对数函数图象，底数为这四个值，则相对应的C1，C2 ，C3 ，C4 的值依次为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
[例5] 求下列函数定义域
（1）
（2）
（3）
解：
（1） ∴ ∴
（2）
（3）
[例6] 求下列函数的增区间
（1）
（2）
解：
（1）
∴ 在（）
（2）
∴ 在
[例7] 研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
解：（1） ∴ ∴ 定义域为R
（2） ∴ 为值域
（3）
∴ 奇函数
（4）时，
∴ 在上
∵ 奇函数 ∴ 为R上
[例8] 已知，且，试比较与的大小关系。
解：
（1）时，
（2）时，
综上所述，
[例9] 函数
（1）若定义域为R，求的取值范围。
（2）若值域为R，求的取值范围。
解：
（1）时，
∴
（2）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 求值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
2. 正实数满足
（1）求证：
（2）比较的大小关系
3. 已知，试用表示
4. ，，，，试比较大小关系。
5. 若，则的大小关系是 。
6. ，试比较与的大小关系。
7. 研究函数（且）的定义域及单调性。
【试题答案】
1.
（1）
（2）原式
（3）
（4）
2.
（1）令
∴
∴ 成立
（2）
∴
3.
4. ∵
∴
5.
∴
6.
7.
（1） ∴ 定义域为
∴
（2） ∴ 定义域为
∴
对数与对数函数测试题1
一、选择题。
1．的值是 （ ）
A． B．1 C． D．2
2．若log2=0，则x、y、z的大小关系是 （ ）
A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
3．已知x=+1,则log4(x3－x－6)等于 （ ）
A. B. C.0 D.
4．已知lg2=a，lg3=b，则等于 （ ）
A． B． C． D．
5．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则的值为 （ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．4或16
6.函数y=的定义域为 （ ）
A．(，＋∞) B．［1，＋∞ C．(，1 D．(－∞，1)
7．已知函数y=log(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a＞1 B．0≤a＜1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1
8.已知f(ex)=x，则f(5)等于 （ ）
A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
9．若的图像是 （ ）
A B C D
10．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设集合等于 （ ）
A． B．
C． D．
12．函数的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题.
13．计算：log2.56.25＋lg＋ln＋=．
14．函数y=log4(x－1)2(x＜1＝的反函数为__________．
15．已知m＞1，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小．
16．函数y=(logx)2－logx2＋5在2≤x≤4时的值域为______．
三、解答题.
17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．
18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R
求实数a的取值范围．
19．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？
20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
21．已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．
22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．
对数与对数函数测试题1
参考答案
一、选择题：ADBCB CDCBA AB
二、填空题：13.，14.y=1－2x(x∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.
三、解答题：
17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2
又a是对数的底数，
∴a＞0且a≠1，∴x＜
由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a＜2
又2－ax在x∈[0，1]是减函数
∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1
∴1＜a＜2
18、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．
当a2－1≠0时，其充要条件是：
解得a＜－1或a＞
又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．
所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞)
19、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，
由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0
即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3
当x=－2时，f(x)min=－3．
20.解法一：作差法
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=||－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x
∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－lg(1－x2)[来源:Zxxk.Com]
由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法二：作商法
=|log(1－x)(1＋x)|
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)
由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0
∴0＜log(1－x)＜log(1－x)(1－x)=1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法三：平方后比较大小
∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]
=loga(1－x2)loga=lg(1－x2)lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg(1－x2)＜0，lg＜0
∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法四：分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)
∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1
∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)
(2)设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴，于是a－＜a－
则loga(a－a)＜loga(a－)
即f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数
(3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay)
∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1)
故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称．
22.
解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积
S=
因为,所以
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