心理统计学精髓学习知识重点.doc

.- 第一节 正态分布 1 正态分布的特点 首先，钟形对称分布 其次，的概率是95%；的概率是99%；将称为决策水平0.05上的小概率事件，将称为决策水平0.01上的小概率事件。其中，X是总体中的随机抽取的一个数值；μ为总体平均值， 第三，曲线两端无限靠近横轴。 2 应用 （1）某学校三年级学生的平均智商是100，其标准差为15.那么，从中随机抽取一个学生，其智商大于等于130的概率是多少？其智商小于等于85的概率是多少？ （2）某企业生产的产品重量均值为100，标准差为15。质检人员从市场上随机抽取一件，发现其重量为115，仅从质量上看，如何用统计学视角来判断此产品是否属于这一企业（决策水平为0.05）。 （3）在上题中，如果质检人员从市场上发现一个产品的重量为140，那么，仅从质量上判断，此产品是否属于这一企业（决策水平为0.01）。 3 数据处理一 让学生报告自己的身高、体重以及自己的肥胖感知（我认为自己很肥胖）、以及自己的性别。数据处理任务包括：报告三个变量的茎叶图，并大致判断其分布形态；报告三个变量的平均值、中数以及中位数、标准差。 第二节 标准正态分布 将总体的平均值记为μ，标准差记为σ，将其中的数据或个案记为X。那么，使用公式，就可以将正态分布转化为标准正态分布。 标准正态分布是正态分布的一个特例，因此，第一节的内容皆可以标准正态分布进行直译。 思考题：标准正态分布的标准差是多少？其平均值又是多少？ 对于标准正态分布而言，为决策水平0.05上的小概率事件，将为决策水平0.01上的小概率事件 思考题：某地三年级学生的身高是一个总体，并且是正态分布，均值为160厘米，标准差为5厘米。研究者随机抽取一个学生，其身高为170厘米。那么，此生在标准正态分布中的身高数值应该为多少？这次抽到他是一个小概率事件吗？为什么？ 练习：将“数据处理一”中三个变量转化为标准正态分布，并报告其茎叶图。 第三节 样本均值的分布 1 存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值μ与标准差σ已知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本，当每一个样本容量大于30时，样本均值的分布就是正态分布。 2将样本平均值记为，标准差记为S，容量记为n，则此分布的标准误。 3 样本均值分布的特点： 首先，是正态分布， 第二，此分布的理论均值等于总体均值μ。 第三，其标准误 第四， 的概率是95%；将称为决策水平为0.05上的小概率事件；的概率是99%。将的事件称为决策水平为0.01上的小概率事件； 第五，用公式 将其标准化，则得到标准正态分布。那么，，为决策水平0.05上的小概率事件，将为决策水平0.01上的小概率事件。 第四节 统计检验的逻辑 如果一个样本是从某一总体中随机抽样得来的，那么，这一个样本必定能够代表这一总体的特征，其含义有三。其一，两者的分布形态是一致的；其二，两者的方差是一致的；其三，两者的平均值是一致的。“一致”的统计含义是，在0.05或者0.01的决策水平上，是没有差异的。 当然，随机样本不能百分百地代表总体的特征，当这样的样本不能代表总体特征时，就说是小概率事件发生了。 在科学研究中，总体往往是一个理论上的或者特定的描述，包括其分布形态、平均值以及其标准差。而样本往往来自于现实的抽取中，通过比较三个方面，就可以决断这个样本是不是属于这个理论或者特定的总体。 比如，某地区90年代的14岁儿童的平均身高为μ厘米，标准差为σ厘米，并且为正态分布。现在来考察这一地区14儿童的身高是否与90年代同龄儿童的身高是否一致。 在统计学上，只能这样做：从现在的14岁儿童中，随机进行抽样，比如，抽取n个儿童构成一个样本，其平均值为 ,标准差为S。 由于是真正的随机抽样，那么，决策者会检验三个方面。第一，看此样本的分布是否与（90年代的那个）特定总体的分布形态有一致性，如果两者分布形态一致，即样本也是正态分布，那么第二，看此样本的方差是否与特定总体的方差具有一致性，如果两者方差一致，那么第三，看此样本的平均值是否与特定总体的均值具有一致性，如果一致，则可以认为此样本依然属于那个特定的总体，或者说，如今此地区14岁儿童的身高依然与90年代一样。 在上述中，“一致”是指在0.05或者0.01的水平上进行判断，即没有发生小概率事件。如果小概率事件发生，则说明“不一致”，或者说“具有显著性差异”。 关于分布形态一致性检验与方差一致性检验在后面再学习。这里，我们先认为此样本分布形态和方差皆与那个特定总体的一致，那么，就只剩下检验样本均值是否与那个特定总体的一致。 统计学上的检验过程表述如下。 H0：此样本是从90年代的总体中随机抽取的，那么,就有 计算过程：因为所以只需要证明是否成立，即是否成立。如果成立，则认为H0是正确的；反之，如果，则说明小概率事件发生了；一次随机抽样，就发生了小概率事件，那么我宁愿在0.05的水平上相信H0是不正确的，也就是说，此样本不是从90年代的那个样本中随机抽取的，或者说，这个样本不属于这个特定的总体。 在上面的逻辑过程中，H0的表述非常重要，因为，只有先假定此样本是能够代表这个特定总体，才能套用公式，这是为什么？这是因为，从任何非常数总体中，随机抽取无数个容量相等的大样本（通常指容量大于等于30），那么样本的均值（无数个）形成正态分布（其理论均值=，标准误）；那么，的概率是95%，也即，的概率是95%。反之就是0.05水平上的小概率事件发生了。因此，理解H0与否，关系着统计检验的理解与否。 练习：从“数据处理一”中随机生产一个样本，并且报告此样本均值的标准分数。看全班同学抽取到的平均值有几个是小概率事件。 第四节 t分布 存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值μ已知，但其标准差σ未知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本，样本均值的分布就是t分布。 t分布的特点如下表述。 首先，t分布为对称分布，并且左右对称 其次，t分布是一簇曲线，并且每个df（即自由度，df=n-1）皆有自己的分布形态。df越大，t分布越接近正态分布。 第三，在此情况下，样本均值分布的标准误。，其理论均值等于总体均值。 第四，的概率是95% ，而则为0.05水平上的小概率事件。的概率是99% ，而则为0.01水平上的小概率事件。 t检验练习 某心理量表的常模均值是14分。100名被试经过测试发现平均分为16.4（标准差为1.44）。请检验以上样本是否与量表的常模均值有显著差异（假设有关的分布是正态分布）。 决策过程 首先，提出虚无假设：如果此样本是从（均值为14的）特定总体中随机抽取的，那么，在0.05的决策水平上，应该有 。 第三步，计算。=14，。。查表，发现当df=100-1=99时，因此，， 可见，在0.05的水平上，是不成立的，这样，小概率事件发生了。决策结果是，此样本（均值为16.4）不是从（均值为14的）特定总体中随机抽取也来的，而是从另一个均值显著大于14的总体中随机抽取出来的。进一步推断，这100名学生代表着一个智商远远大于14的总体。 第五节 独立样本t检验 存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值μ与标准差σ皆未知。用（放回式）随机抽样，得到两个独立的样本，它们的平均值分别为与，标准差分别为与，样本容量分别为与 的分布为t分布，自由度df=-1; 的分布为t分布，自由度df=-1; 当与 皆较大时，两个样本皆可以较好地代表这个总体，这意味着，两个样本的方差一致（或同质），两个样本的平均值一致，即 与在统计学上是相等的。 两个样本均值之差（ -）也是t分布，与相关的结论表述如下： 首先，均值之差的分布具有自由度df==+-2 其次，均值之差分布的标准误为，其中， 第三．的概率是95%，的概率是5%，称为0.05水平上的小概率事件。．的概率是99%，的概率是1%，称为0.01水平上的小概率事件。 练习： 决策过程如下表述。 首先，如果这两个样本为同一总体中随机得来的独立样本，那么，两个样本的方差应该一致或者同质。关于样本方差同质性检验以后再学。现在我们暂且认为两个样本方差同质。 其次，提出虚无假设：如果这两个样本为同一总体中随机得来的独立样本，那么，在0.01的决策水平上，就应该有 计算过程。， 可见是不成立的，，小概率事件发生了。一次实验或抽样就发生了小概率事件，因此，我们宁可相信，两个样本并不是来自同一个总体，双性化学生（总体）的均值要显著高于非双性化学生（总体）的均值。 练习：在“数据处理一”中，有三个变量的数据。请比较男性与女性在三个变量上是否有显著的差异。要求写出假设，并且解释处理结果的关键数据。 第五节 独立样本t检验中的方差齐性检验 首先介绍F分布。 从一个正态总体中，随机抽取两个样本，它们的方差分别为与 ，是F分布。的概率是95%，此时，就认为两个样本方差同质（或者相齐、一致）；，就认为在0.05的水平上，两者方差不相齐，或者说它们来自不同的总体。在0.01水平上的情形类推。 练习： 下面是决策过程。 首先，提出虚无假设:如果两个样本是随机来自于同一个总体，那么，就应该有。 计算过程。。 查表，在分子的情况下，。所以，在0.01的决策水平上， 是成立的，因此接受。所以，在0.01的决策水平上，两个样本各自代表的总体具有一致的方差。 练习：在“数据处理一”中，有三个变量的数据。请比较男性与女性在三个变量上的方差是否具有一致性。要求写出假设，并且解释关键结果的含义。 第六节 相关样本t检验 从某一人群中随机抽取一个样本（容量为n），然后测量其打字水平，对这一样本培训一段时间，再次测量其打字水平。计算出每个被试前后测量的差异D,根据D的情况来判断培训是否有效。 以上情况应该用相关样本t检验。 检验过程： 首先，确保差异数据D是正态分布（如果不符合正态分布，则用非参数检验）。 其次，提出虚无假设：当培训没有效果时，D便是一个随机样本，它来自均值为0、自由度为n-1的t分布，这样，在0.01的决策水平上，应该有,其中，， 最后，根据计算结果进行决策。如果小概率事件发生，就拒绝虚无假设，做出与虚无假设相反的结论。 实验：产生“数据处理二”。 第七节 方差分析 1 独立样本方差分析 从一个正态总体中，随机抽取K个样本，如果这K个样本皆能很好地代表同一个总体，那么，必定有（1）K个方差一致（2）K个样本分布一致，皆为正态分布；（3）K个样本均值一致，此时，在0.05的决策水平上，必有， 其中， 2 重复测量的样本方差分析 从某一人群中随机抽取一个样本（容量为n），然后测量其打字水平，对这一样本培训一个月，再次测量其打字水平，再培训一个月，再次测量其打字水平。考察打字训练有没有效果。 思路如下表述。 首先，确保每次测量后的数据皆为正态分布；其次，其次，确保每次测量后的数据样本方差一致。第三，提出虚无假设：当培训没有效果时，在0.01决策水平上，应该有（其中，）第三，计算，如果小概率事件发生，则说明三次测量结果代表的是三个不同的总体，即培训是有显著效果的。