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1、精品名师归纳总结第 1 讲集 合备注：【高三数学一轮复习必备精品 共 42 讲 全部免费欢送下载 】一【课标要求】1. 集合的含义与表示1通过实例，明白集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。2能挑选自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的详细问题，感受集合语言的意义和作用。2. 集合间的基本关系1懂得集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2在详细情境中，明白全集与空集的含义。 3集合的基本运算1懂得两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集。2懂得在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。3能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图
2、示对懂得抽象概念的作用二【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计 算化简的考查，并向无限集进展，考查抽象思维才能，在解决这些问题时，要留意利用几何 的直观性，留意运用Venn 图解题方法的训练，留意利用特别值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道挑选题为主，分值5 分。猜测 2021 年高考将连续表达本章学问的工具作用，多以小题形式显现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。详细题型估量为：1题型是 1 个挑选题或 1 个填空题。2热点是集合的基本概念、运算和工具作用三【要点精讲】 1集合：某些指定的对象集在一起成为集合1集
3、合中的对象称元素，假设a 是集合 A 的元素，记作aA。假设 b 不是集合 A 的元素，记作 bA 。2集合中的元素必需满意：确定性、互异性与无序性。确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个详细对象，就或者是A的元素，或者不是 A 的元素，两种情形必有一种且只有一种成立。互异性： 一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体对象，因此， 同一集合中不应重复显现同一元素。无序性：集合中不同的元素之间没有位置差异，集合不同于元素的排列次序无关。3表示一个集合可用列举法、描述法或图示法。列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括
4、号 内。详细方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值或变化范畴，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特点。留意：列举法与描述法各有优点，应当依据详细问题确定采纳哪种表示法，要留意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采纳列举法。4常用数集及其记法：非负整数集或自然数集，记作 N。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*正整数集，记作 N 或 N+。 整数集，记作 Z。有理数集，记作 Q。 实数集，记作R。2集合的包含关系：1集合 A的任何一个元素都是集合B 的元素，就称 A 是 B 的子集或 B 包含 A，记作 AB或 AB 。集合相等： 构成两个集
5、合的元素完全一样。假设 AB 且 BA，就称 A 等于 B，记作 A=B。 假设 AB且 A B，就称 A是 B 的真子集，记作 AB。n2简洁性质： 1AA。 2A。 3假设 AB， BC，就 AC。 4假设集合 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n是 n 个元素的集合，就集合A 有 2 3全集与补集：个子集其中2 1 个真子集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1包含了我们所要争论的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 S是一个集合， AS，就，CS = x | xS且xA 称 S 中子集 A 的补集
6、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3简洁性质： 1 CS CS = A。 2 C S S=， CS=S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4交集与并集：1一般的， 由属于集合 A且属于集合 B 的元素所组成的集合， 叫做集合 A 与 B 的交集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交集 AB x | xA且xB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2一般的，由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并集。并集 A
7、B x | xA或xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍旧仍是集合，区分交集与并集 的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，经常从这两个字眼动身去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简洁性质：1 A2 AAA, AA, A, ABBBA;BA;3 A4 ABB AAB ;BA; ABABB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 CS A B= CS ACS B， CS AB= CS ACS B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
8、结四【典例解析】 题型 1：集合的概念2021湖南卷理 某班共 30 人，其中 15 人宠爱篮球运动， 10 人宠爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不宠爱，就宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为_12 答案： 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析设两者都宠爱的人数为x 人，就只宠爱篮球的有15x 人，只宠爱乒乓球的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10x 人，由此可得 15x10xx830 ，解得 x3，所以 15x12 ，即 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求人数为 12 人。例 1 20
9、21广 东 卷 理 已知全集 UR ，集合 M x2x12 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N x x2k1,k1,2,的关系的韦恩 Venn图如图 1 所示，就阴影部分所示的集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合的元素共有A. 3C. 1答案个个BB. 2 D.个无穷多个解析由 M x2x12 得1x3 ，就MN1,3 ，有 2 个，选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 2：集合的性质例 2 2021山东卷理 集合 A0,2, a , B1,a2, 假设 AB0,1,2,4,16, 就 a
10、 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为A.0B.1C2答案 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 A0,2, a , B1,a, AB0,1,2,4,16a216 aa44, 应选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【命题立意】 : 此题考查了集合的并集运算, 并用观看法得到相对应的元素, 从而求得答案 ,此题属于简洁题 .随堂练习1.广东的区 2021 年 01 月份期末试题汇编 设全集 U=R， A=x N1 x 10 ， B= x Rx2+ x 6=0 ，就以下图中阴影表示的集合为A 2B 3222C 3，2D 2， 3可编辑资料 -
11、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结22.已知集合 A=y|y-a+a+1y+aa+10,B=y|y-6y+8 0 ，假设 A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，就实数 a 的取值范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 ：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件动身，经过一系列的推理和运算，最终得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情形，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想此题假设直接求解， 情形较复杂，也不简洁得到正确结果，假设我们先考虑其反面，再求其补集，就比较简洁得到正确的解答2解：由题知可解得A=
12、y|ya+1 或 ya, B=y|2y 4, 我们不妨先考虑当A B时a 的范畴如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a由，得a 214a23或a3a24a2+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a3 或 3a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 A B时 a 的范畴为 a3 或 3a2 . 而 AB时 a 的范畴明显是其补集 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而所求范畴为a | a2或3a3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注 ：一般的，我们在解时，假设正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用
13、其补集， 求得其解，这就是“补集思想”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4已知全集 S31,3, x2x2 x，A=1,2x1 假如CS A 0 ，就这样的实数 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是否存在？假设存在，求出x ，假设不存在，说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：CS A 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0S且0A ，即 x3x22 x 0，解得 x0, x1, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123当 x0时， 2x11，为 A 中元素。当 x1时， 2x13S当 x2 时， 2x
14、13S这样的实数x 存在，是 x1 或 x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另法： C S A 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0S且0A ， 3A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x3x22 x 0 且 2 x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 或 x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类争论的过程中“当x0 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x10S且01”不能满意集合中元素的互异性。此题的关键是懂得符号A 。CS A 0是两层
15、含义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式题：已知集合求 q 的值。A m, md , m2d, B m, mq, mq2， 其中m0 , 且AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 Amd1m2dB 可知，mqm，或 2mq2mdmq22dmq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1得 q解 2得 q1 ，11,或q，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于当 q1 时， mmqmq
16、 2与题意不符，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， q1 。2题型 3：集合的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 2021年河南省上蔡一中高三月考 已知函数f xx1的定义域集合是A, 函数x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结gxlg x22 a1) xa 2a 的定义域集合是 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1求集合 A、B2假设 AU B=B,求实数 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1Ax| x1或x2可编辑资料 - - - 欢迎下
17、载精品名师归纳总结B x | xa或xa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由 AU B B 得 AB，因此a1a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 1a1 , 所以实数 a 的取值范畴是1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 62021 宁夏海南卷理 已知集合 A1,3,5,7,9, B0,3,6,9,12, 就 ACN B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1,5,7B.3,5,7C.1,3,9D.1,2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案 A解析易有ACN B1,5,7 ，选 A可编辑资料 - -
18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：该题考察了集合的交、补运算。题型 4：图解法解集合问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 7 2021 年广西北海九中训练已知集合M= x | xyx21 ， N=y |y1，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9432MNAB 3,0, 2,0C3,3D 3,2答案C例 8湖南省长郡中学2021 届高三第六次月考试卷数学理试卷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 全 集R ， 函 数f xlg| x1 |a1 a1 的 定 义 域 为 A ， 集 合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
19、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结B x | cos x1 ，假设 CAB 恰好有 2 个元素，求 a 的取值集合。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： | x1|1a0| x1 |1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1时， 1a0 xa或xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A,a2a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos x1, x2k， x2kkz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 B x | x2k ,kz可
20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a1时， CA a2, a 在此区间上恰有 2 个偶数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10a24a222a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9向 50 名同学调查对A、B 两大事的态度，有如下结果赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成 A的多 3 人，其余的不赞成。另外，对A、B 都不赞成的同学数比对 A、B 都赞成的同学数的三分之一多1 人。问对 A、 B 都赞成的同学和都不赞成的同学各有多少人？可编辑资料 - - - 欢迎下载精
21、品名师归纳总结解：赞成 A 的人数为 503 =30，赞成 B 的人数为U5AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结30+3=33，如上图，记 50 名同学组成的集合为U，赞成件 A 的同学全体为集合A。赞成大事B 的同学全体为集B。30-XX33-X事合X3 +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设对大事 A、B 都赞成的同学人数为x, 就对 A、B 都不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结赞成的同学人数为x +1, 赞成 A而不赞成 B 的人数为 30x，赞成 B 而不赞成 A 的人数为 333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x。依题意
22、 30 x+33 x+ x+不赞成的有 8 人 。x +1=50, 解得 x=21。所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人，都3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实把握。此题主要强化同学的这种才能。解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观的表示出来。此题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪， 不好找线索。画出韦恩图，形象的表示出各数量关系间的联系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 1999 上海， 17设集合 A= x| xa|2 ，B= x| 2x
23、x数 a 的取值范畴。1 1 ，假设 AB，求实2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 | xa|2 ，得 a 2xa+2，所以 A= x| a2xa+2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x1由x2x1，得x3 0，即 2x3，所以 B= x| 2x3 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a由于 AB，所以a22，于是 0a 1。23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：这是一道争论集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解肯定值不等式、分式不等式
24、和不等式组的基本方法。在解题过程中要留意利用不等式的解集在数轴上的表示方法 . 表达了数形结合的思想方法。例 12已知 an 是等差数列， d 为公差且不为 0，a1 和 d 均为实数，它的前 n 项和记作 Sn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设集合 A= an,Sn | n N* , B= x, y| n1 x 2 y2=1, x, y R 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试问以下结论是否正确，假如正确，请赐予证明。假如不正确，请举例说明：1假设以集合A 中的元素作为点的坐标，就这些点都在同一条直线上。2A B 至多有一个元素。可编辑资料 - - - 欢
25、迎下载精品名师归纳总结解：1正确。在等差数列 an 中， Sn=na12an , 就 Snn1 a1+an, 这说明点 an,2Sn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的坐标适合方程 y1 x+a1, 于是点 an,Sn 均在直线 y= 1 x+ 1 a1 上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n2211yxa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2正确。设 x, y A B, 就 x, y 中的坐标 x, y 应是方程组21 x242y 21的解，由方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2程组消去 y 得： 2a1x+a1 = 4* ，
26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*当 a1=0 时，方程 无解，此时 A B=。2y4a122a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*当 a10 时， 方程 只有一个解 x=4a1 2a1, 此时， 方程组也只有一解ya214a11, 故4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上述方程组至多有一解。A B 至多有一个元素。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的学问，属于学问交汇题。变式题：解答下述问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设集合A x | x 22x2m40, B x | x0,， 如AB, 求实数 m的可编辑资料 - - -
27、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴 .分析：关键是精确懂得 AB的详细意义， 第一要从数学意义上说明AB的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结意义，然后才能提出解决问题的详细方法。解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结命题方程x 22x2 m40至少有一个负实数根 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设M m | 关于 x的方程 x 22x2m40两根均为非负实数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42m就 x1x22x1 x22m30302m,2
28、40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M m|2m3设全集U 2 m |0 m | m32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m的取值范畴是UM=m|m-2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二命题方程的小根 x12m30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2m312m31m2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法三 设f xx22 x4, 这是开口向上的抛物线，其对称轴 x10 ，就二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
29、师归纳总结数性质知命题又等价于f 00m2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意，在解法三中， f x 的对称轴的位置起了关键作用，否就解答没有这么简洁。题型 6：课标创新题例 13七名同学排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，就有多少不同的排法？解：设集合 A= 甲站在最左端的位置 ，B= 甲站在最右端的位置 ， C= 乙站在正中间的位置 ， D= 丙站在正中间的位置 ，A就集合 A、B、C、D 的关系如下图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不同的排法有74 A64 A 52640 种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
30、品名师归纳总结657点评：这是一道排列应用问题，假如直接分类、分步解答需要肯定的基本功，简洁错， 假设考虑运用集合思想解答，就比较简洁懂得。上面的例子说明白集合思想的一些应用，在今后的学习中应留意总结集合应用的体会。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五【思维总结】集合学问可以使我们更好的懂得数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去争论和解决数学问题。1. 学习集合的基础才能是精确描述集合中的元素，娴熟运用集合的各种符号，如、 、=、 CS A、，等等。2. 强化对集合与集合关系题目的训练，懂得集合中代表元素的真正意义，留意利用几何直观性争论问题， 留意运
31、用 Venn 图解题方法的训练， 加强两种集合表示方法转换和化简训练。 解决集合有关问题的关键是精确懂得集合所描述的详细内容即读懂问题中的集合以及各个集合之间的关系，经常依据“Venn 图”来加深对集合的懂得，一个集合能化简或求解， 一般应考虑先化简或求解。3. 确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应依据问题所涉及的详细的数学内容来寻求方法。 区分与、与、a 与 a 、与 、1,2与1,2。n AB 时， A有两种情形： A与 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设集合 A 中有 nnN 个元素， 就集合 A的全部不同的子集个数为2 ，
32、全部真子集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的个数是2n 1,全部非空真子集的个数是2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区分集合中元素的形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x | yx 22x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B y | yx 22 x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C x, y | yx 22x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2D x | xx 22x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2E
33、 x, y | yx2x1, xZ , yZ 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, y | yx2x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结G z | yx22 x1, zy 。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空集是指不含任何元素的集合。 0、 和 的区分。 0 与三者间的关系。空集是任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结何集合的子集， 是任何非空集合的真子集。 条件为 AB ，在争论的时候不要遗忘了A的情形。符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的表达点与直线 面的关系 。 符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的表达面与直线 面 的关系。规律是争论思维形式及其规律的一门学科，是人们熟悉和争论问题不行缺少的工具，是为了培育同学的推理技能，进展同学的思维才能可编辑资料 - - - 欢迎下载