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绝密★启用前
广东省2019届高三六校第一次联考试题
理科数学
命题学校:深圳实验学校
本试卷共6页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选项出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上;如需要改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则∁
A. B. C. D.
2.若复数满足,则的共轭复数的虚部为
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和.若,,则
A. B. C. D.
4.在区间上随机取两个实数,记向量,,则的
概率为
A. B. C. D.
5.已知直线的倾斜角为,直线与双曲线()的左、右两支分别交
于、两点,且、都垂直于轴(其中、分别为双曲线的左、右焦点),则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6.在△中,为的中点,点满足,则
A. B.
C. D.
7.某几何体的三视图如右图所示,数量单位为,它的体积是
A. B.
C. D.
8.已知是函数的最大值,
若存在实数使得对任意实数总有成立,则的最小值为
A. B. C. D.
9.定义在上的函数满足及,且在上有,
则
A. B. C. D.
10.抛物线上有一动弦,中点为,且弦的长度为,则点的纵坐标的最小值为
A. B. C. D.
11.已知三棱锥中,,,,,且二面角
的大小为,则三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
12.已知数列满足.设,为数列的前项和.若(常数),,则的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若满足约束条件 则的最大值为 .
14.若,则的展开式中常数项为 .
15.已知点及圆,一光线从点出发,经轴上一点反射后与圆相切于点,则的值为 .
16.已知函数满足,则的单调递减区间是
.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
在△中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角;
(2)若,,求△的面积.
18.(12分)
如图甲,设正方形的边长为3,点、分别在、上,且满足,.如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使得点在平面上的射影恰好在上.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
19.(12分)
某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
出厂续驶里程(公里)
补贴(万元/辆)
3
4
4.5
2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程,得到频率分布直方图如上图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:
(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;
(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得如下的频数分布表:
辆数
天数
20
30
40
10
(同一组数据用该区间的中点值作代表)
2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台; 交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案:
方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;
方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.(日利润日收入日维护费用).
20.(12分)
已知圆与定点,动圆过点且与圆相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)若过定点的直线交轨迹于不同的两点、,求弦长的最大值.
21.(12分)
已知函数.
(1)求函数在上的值域;
(2)若,恒成立,求实数的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4 ― 4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,将曲线向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)已知点在第一象限,四边形是曲线的内接矩形,求内接矩形周长的最大值,并求周长最大时点的坐标.
23.[选修4 ― 5:不等式选讲](10分)
已知,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,且当时,恒成立,求的取值范围.
2019届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案
一、选择题
1.A 2.C3.D4.B 5.D 6.A7.C 8.B 9.D10.A11.D 12.C
二、填空题
13. 14. 15. 16.(注意:写闭区间也给分)
三、解答题
17.解析:(1)因为,由余弦定理,得
,所以 …………………………………………………… 2分
,由正弦定理,得
, …………………………… 4分
又,,所以
,, …………………………………………………… 5分
所以 . …………………………………………………… 6分
(2)由,,得,, …………………… 7分
所以, ……… 8分
由正弦定理,得
, …………………………………………………… 10分
所以△的面积为. …………………………… 12分
18.解析:(1)在图甲中,易知,从而在图乙中有,
平面,平面,
平面. …………………………………………………… 4分
(2)法一:(传统几何法)略解如下:
过点作于,连接,
易证(略),即为所求二面角的平面角,
易求得:,,
,
在中,. …………………………………………………… 12分
法二:(向量法)
如图,在图乙中作,垂足为,
连接,由于平面,则,
平面,则,图甲中有,
又,则、、三点共线.
设的中点为,则,可证,
,则,
又由,得,,
于是, ,
在中, , ……………………………………………… 8分
作交于点,则.
以点为原点,分别以、、所在直线为、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,
则, , , ,
则, ,是平面的一个法向量,
易求得平面的一个法向量, ………………………………………… 10分
设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,
,
所以,平面与平面所成二面角的余弦值为.……………………………… 12分
19.解析:(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:
补贴(万元/辆)
3
4
4.5
概 率
0.2
0.5
0.3
…………………………………………………… 3分
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元).
…………………………………………………… 4分
(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:
辆 数
6000
7000
8000
9000
概 率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
(辆); …………………………………………………… 6分
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6000
6600
概 率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元);…………………………… 8分
若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆); …………………………………………………… 10分
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6000
7000
7600
概 率
0.2
0.3
0.5
于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元).……………… 12分
20.解析:(1)设圆的半径为,题意可知,点满足:
,,
所以,, …………………………………………………… 3分
由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆,且
进而,故轨迹方程为:. …………………………………………… 5分
(2)当直线斜率不存在时,,或,,
此时弦长. …………………………………………… 6分
当直线斜率存在时,设的方程为:,
由 消去得:,
由△ 得,
设、,可得:
,, …………………………………………………… 7分
,………9分
令,则,
,,
当时,此时,. ………………………………………… 11分
综上,弦长的最大值为. …………………………………………………… 12分
21.解析:(1)易知,………………………………………… 1分
在上单调递减,, ………………………………………… 3分
时,, ………………………………………… 4分
在上的值域为. ………………………………………… 5分
(2)令,
则,…………………… 6分
①若,则由(1)可知,,在上单调递增,
,与题设矛盾,不符合要求; ……………… 7分
②若,则由(1)可知,,在上单调递减,
,符合要求; ………………………………… 8分
③若,则,使得,
且在上单调递增,在上单调递减,
,………………………………………… 9分
,
.
由题:,即,,
即. ………………………………………… 10分
且由(1)可知在上单调递减,
. ………………………………………… 11分
综上,. ………………………………………… 12分
22.解析:(1)的普通方程为,………………………………… 2分
经过变换后的方程为 ,此即为曲线的普通方程,…………………………… 4分
曲线的参数方程为(为参数). …………………………………………5分
(2)设四边形的周长为,设点,
,……………………… 6分
且,, ………………………………………………… 7分
,
. ………………………………………… 9分
且当时,取最大值,此时,
所以,,,此时. …………… 10分
23.解析:(1)当时,不等式即为, ……………1分
①当时,不等式化为,解得; ……………2分
②当时,不等式化为,解得; …………3分
③当时,不等式化为,无解; ……………………4分
综上,不等式的解集为. ……………………………………5分
(2)当时,, ……………………………………………6分
即为, …………………………………………………… 7分
而,所以在上恒成立,
即,所以,只需 …………………………………………………… 8分
,解得, …………………………………………………… 9分
所以的取值范围为. ……………………………………………………10分
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