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高等数学（二）重点知识及解析
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数)：
（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数：(〉0,
（4）对数函数：(〉0,
（5）三角函数：，，，
（6）反三角函数：，，，
二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如：是由，这两个个简单函数复合而成.
例如：是由，和这三个简单函数复合而成.
该部分是后面求导的关键！
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即。
注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即。
（2）该方法的使用前提是当的时候，而时则不能用此方法。
例1：，，，，
例2：
例3： （非特殊角的三角函数值不用计算出来）
2、未定式极限的运算法
（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。
例1：计算. ………未定式，提取公因式
解：原式=
例2：计算. ………未定式，提取公因式
解：原式===
（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
例1：计算 ………未定式，分子分母同时除以n
解：原式 ………无穷大倒数是无穷小
例2：计算. ………未定式，分子分母同除以
解：原式== ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2
3、利用等价无穷小的代换求极限
（1）定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果=1，称与是等价无穷小，记作～.
（2）定理：设、、、均为无穷小，又～，～，且存在
则= 或
（3）常用的等价无穷小代换：当时， ～, ～
例1：当时，～2，～
例2：极限=== ………用2等价代换
例3：极限== ………用等价代换
Ⅱ、一元函数的微分学
一、导数的表示符号
（1）函数在点处的导数记作：
， 或
（2）函数在区间（a,b）内的导数记作：
， 或
二、求导公式（必须熟记）
（1） （C为常数） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
例：1、= 2、 3、=
4、 5、 6、
三、导数的四则运算
运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）
（1）
（2） 特别地（为常数）
（3）
例1：已知函数，求.
解：===
例2：已知函数，求和.
解：===
所以= （注意：lne=1,ln1=0）
例3：已知函数，求.
解：===
四、复合函数的求导
1、方 法 一：
例如求复合函数的导数.
（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.
如由和这两个简单函数复合而成
（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.
即=，=2
（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.
∴=2=2
2、方 法 二（直接求导法）：
复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.
例1：设函数，求.
解：====
例2：设函数，求.
解：===
注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。
五、高阶导数
1、二阶导数记作：， 或
我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.
2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导
（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导
例1：已知，求.
解：∵=，∴=
例2：已知，求.
解：∵==，∴=2=4
即=
六、微分的求法：
（1）求出函数的导数.
（2）再乘以即可.即.
例1：已知，求.
解：∵====
∴=
例2：设函数，求.
解：∵==
∴=
Ⅲ、二元函数的微分学
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作。
例如：二元函数通常记作：，
二、二元函数的偏导数
1、偏导数的表示方法：
（1）设二元函数，则函数在区域D内对和对的偏导数记为：
，， ； ，，
（2）设二元函数，则函数在点处对和对的偏导数记为：
，， ； ，，；
2、偏导数的求法
（1）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.
（2）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.
如果要求函数在点处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将和代入即可.
例1：已知函数，求和.
解：=，=
例2：已知函数， 求和.
解：=，=
三、全微分
1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数和. （2）、然后代入上述公式即可.
例1：设函数，求.
解：∵=，=
∴
例2：设函数，求.
解：∵=， = ∴
四、二阶偏导的表示方法和求法：
（1）=== ……两次都对求偏导
（2）=== ……先对求偏导，再对求偏导
（3）==== ……先对求偏导，再对求偏导
（4）=== ……两次都对求偏导
可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.
例1：设函数，求，，和.
解：∵=， =
得=，=，=，=
例2：设函数，求，.
解：∵= 得=，=
Ⅳ、一元函数的积分学
一、原函数的定义：设是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点，
都有 ，则称是在区间I上的一个原函数.
例1：，因此是的一个原函数，是的导数.
由于，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.
例2：设的一个原函数为，求.
解：因为是的一个原函数，即=，所以===.
得== （注：）
二、不定积分
（一）、定义：我们把的所有原函数称为在区间I上的不定积分，记作： （其中）
注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！
（二）、不定积分的性质
〈1〉
〈2〉 （其中为常数）
（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）
〈1〉 〈2〉 （k为常数）
〈3〉 〈4〉
〈5〉 〈6〉
〈7〉 〈8〉
〈9〉
例1：
例2：（利用换元法，设）
又如：
（四）、不定积分的计算
1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。
例1：===
例2：
2、凑微分法
（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法。
（2）凑微分法解法步骤
〈1〉凑微分 〈2〉换 元 〈3〉直接积分法 〈4〉反换元
例1：求不定积分
解：原式== ……（1.凑微分）将凑成
= ……（2.换 元）将换元成
= ……（3.直接积分法）求出的不定积分
= ……（4.反换元）再用反换元
例2：求不定积分
解：原式= ……（1.凑微分）将凑成
= ……（2.换 元）将换元成
= ……（3.直接积分法）求出的不定积分
= ……（4.反换元）再用反换元
例3：求不定积分
解：原式= ……（1.凑微分）将凑成
= ……（2.换 元）将换元成
= ……（3.直接积分法）求出的不定积分
= ……（4.反换元）再用反换元
注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而直接进行积分。
例4：== （将凑成）
例5：== （将凑成）
3、分部积分法
三、定积分
（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式
A= （A为曲边梯形的面积）
其中为被积函数，为积分区间，为积分下限，为积分上限。
用定积分所要注意的事项：
1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导，导数值必为零。
例： ，
2、当a=b时，=0
因定积分上限b＞a，当b＜a时，=
例：，
（二）、定积分的计算
1、变上限积分的计算
（1）定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限的函数，
记作
（2）变上限积分的导数： ……将代入到即可
例1：设，则.
例2：
2、牛顿—莱布尼茨公式
（1）公式：如果是连续函数在上的一个原函数，则有
==
（2）由公式可知：连续函数在上定积分，就是的一个原函数在上的增量（上限值减下限值）。而连续函数的不定积分，就是的全体原函数（原函数后面加常数C）。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。
例1：求定积分
解：原式===
例2：求定积分 （将凑成）
解：原式====
例3：求定积分 （将凑成）
解：原式=====
注意：用凑微分法计算定积分时，在换元时，由于引入了新的变量，故原变量的积分限要更换成新变量的积分限;如不想更换积分限，可省略换元步骤。
3、分部积分法
附表：几个特殊角的三角函数值
角 度
三 角
-
不存在
不存在
不存在
不存在
不存在
不存在
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