小学数学30种典型应用题及例题完美版.doc

-/ 小学数学30种典型应用题及例题完美版 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。 应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。 这本资料主要研究以下30类典型应用题： 1 归一问题 11 行船问题 21 方阵问题 2 归总问题 12 列车问题 22 商品利润问题 3 和差问题 13 时钟问题 23 存款利率问题 4 和倍问题 14 盈亏问题 24 溶液浓度问题 5 差倍问题 15 工程问题 25 构图布数问题 6 倍比问题 16 正反比例问题 26 幻方问题 7 相遇问题 17 按比例分配 27 抽屉原则问题 8 追及问题 18 百分数问题 28 公约公倍问题 9 植树问题 19 “牛吃草”问题 29 最值问题 10 年龄问题 20 鸡兔同笼问题 30 列方程问题 1 归一问题 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 总量份数＝1份数量 1份数量所占份数＝所求几份的数量 另一总量（总量份数）＝所求份数 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.65＝0.12（元） （2）买16支铅笔需要多少钱？0.1216＝1.92（元） 列成综合算式 0.6516＝0.1216＝1.92（元） 答：需要1.92元。 例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？ 解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 9033＝10（公顷） （2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 1056＝300（公顷） 列成综合算式 903356＝1030＝300（公顷） 答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 10054＝5（吨） （2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 57＝35（吨） （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 10535＝3（次） 列成综合算式 105（100547）＝3（次） 答：需要运3次。 2 归总问题 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 1份数量份数＝总量 总量1份数量＝份数 总量另一份数＝另一每份数量 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 解 （1）这批布总共有多少米？ 3.2791＝2531.2（米） （2）现在可以做多少套？ 2531.22.8＝904（套） 列成综合算式 3.27912.8＝904（套） 答：现在可以做904套。 例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？ 解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 2412＝288（页） （2）小明几天可以读完《红岩》？ 28836＝8（天） 列成综合算式 241236＝8（天） 答：小明8天可以读完《红岩》。 例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 5030＝1500（千克） （2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500（50＋10）＝25（天） 列成综合算式 5030（50＋10）＝150060＝25（天） 答：这批蔬菜可以吃25天。 3 和差问题 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 大数＝（和＋差） 2 小数＝（和－差） 2 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解 甲班人数＝（98＋6）2＝52（人） 乙班人数＝（98－6）2＝46（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。 例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。 解 长＝（18＋2）2＝10（厘米） 宽＝（18－2）2＝8（厘米） 长方形的面积 ＝108＝80（平方厘米） 答：长方形的面积为80平方厘米。 例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量＝（22＋2）2＝12（千克） 丙袋化肥重量＝（22－2）2＝10（千克） 乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克） 答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？ 解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（142＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋142＋3）2＝64（筐） 乙车筐数＝97－64＝33（筐） 答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。 4 和倍问题 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 总和 （几倍＋1）＝较小的数 总和 － 较小的数 ＝ 较大的数 较小的数 几倍 ＝ 较大的数 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？ 248（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？ 623＝186（棵） 答：杏树有62棵，桃树有186棵。 例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？ 解 （1）西库存粮数＝480（1.4＋1）＝200（吨） （2）东库存粮数＝480－200＝280（吨） 答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。 例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？ 解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （52＋32）（2＋1）＝28（辆） 所求天数为 （52－28）（28－24）＝6（天） 答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。 例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。 因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍； 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍； 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么， 甲数＝（170＋4－6）（1＋2＋3）＝28 乙数＝282－4＝52 丙数＝283＋6＝90 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。 5 差倍问题 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 两个数的差（几倍－1）＝较小的数 较小的数几倍＝较大的数 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？ 124（3－1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？ 623＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。 例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解 （1）儿子年龄＝27（4－1）＝9（岁） （2）爸爸年龄＝94＝36（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。 例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此 上月盈利＝（30－12）（2－1）＝18（万元） 本月盈利＝18＋30＝48（万元） 答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。 例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此 剩下的小麦数量＝（138－94）（3－1）＝22（吨） 运出的小麦数量＝94－22＝72（吨） 运粮的天数＝729＝8（天） 答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。 6 倍比问题 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 总量一个数量＝倍数 另一个数量倍数＝另一总量 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700100＝37（倍） （2）可以榨油多少千克？ 4037＝1480（千克） 列成综合算式 40（3700100）＝1480（千克） 答：可以榨油1480千克。 例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？ 解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000300＝160（倍） （2）共植树多少棵？ 400160＝64000（棵） 列成综合算式 400（48000300）＝64000（棵） 答：全县48000名师生共植树64000棵。 例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？ 解 （1）800亩是4亩的几倍？ 8004＝200（倍） （2）800亩收入多少元？ 11111200＝2222200（元） （3）16000亩是800亩的几倍？ 16000800＝20（倍） （4）16000亩收入多少元？ 222220020＝44444000（元） 答：全乡800亩果园共收入2222200元， 全县16000亩果园共收入44444000元。 7 相遇问题 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 相遇时间＝总路程（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）相遇时间 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 解 392（28＋21）＝8（小时） 答：经过8小时两船相遇。 例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为4002 相遇时间＝（4002）（5＋3）＝100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。 例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此， 相遇时间＝（32）（15－13）＝3（小时） 两地距离＝（15＋13）3＝84（千米） 答：两地距离是84千米。 8 追及问题 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 追及时间＝追及路程（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）追及时间 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 7512＝900（千米） （2）好马几天追上劣马？ 900（120－75）＝20（天） 列成综合算式 7512（120－75）＝90045＝20（天） 答：好马20天能追上劣马。 例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40（500200）］秒，所以小亮的速度是 （500－200）［40（500200）］ ＝300100＝3（米） 答：小亮的速度是每秒3米。 例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间＝［10（22－6）＋60］（30－10） ＝22020＝11（小时） 答：解放军在11小时后可以追上敌人。 例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为 162（48－40）＝4（小时） 所以两站间的距离为 （48＋40）4＝352（千米） 列成综合算式 （48＋40）［162（48－40）］ ＝884 ＝352（千米） 答：甲乙两站的距离是352千米。 例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？ 解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（1802）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米， 那么，二人从家出走到相遇所用时间为 1802（90－60）＝12（分钟） 家离学校的距离为 9012－180＝900（米） 答：家离学校有900米远。 例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。 所以 步行1千米所用时间为 1［9－（10－5）］ ＝0.25（小时） ＝15（分钟） 跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟） 跑步速度为每小时 111／60＝5.5（千米） 答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。 9 植树问题 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 线形植树 棵数＝距离棵距＋1 环形植树 棵数＝距离棵距 方形植树 棵数＝距离棵距－4 三角形植树 棵数＝距离棵距－3 面积植树 棵数＝面积（棵距行距） 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 1362＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽69棵垂柳。 例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解 4004＝100（棵） 答：一共能栽100棵白杨树。 例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 解 22048－4＝110－4＝106（个） 答：一共可以安装106个照明灯。 例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？ 解 96（0.60.4）＝960.24＝400（块） 答：至少需要400块地板砖。 例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 50050＋1＝11（个） （2）桥的两边有多少个电杆？ 112＝22（个） （3）大桥两边可安装多少盏路灯？222＝44（盏） 答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。 10 年龄问题 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 355＝7（倍） （35+1）（5+1）＝6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。 例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30（4－1）－7＝3（年） 列成综合算式 （37－7）（4－1）－7＝3（年） 答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。 例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？ 解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（32）岁， 今年二人的年龄和为 49＋32＝55（岁） 把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 55（4＋1）＝11（岁） 今年父亲年龄为 114＝44（岁） 答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。 例4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 解 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。 表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差， 因此二人年龄差为 （61－4）3＝19（岁） 甲今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁） 乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁） 答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。 11 行船问题 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 （顺水速度＋逆水速度）2＝船速 （顺水速度－逆水速度）2＝水速 顺水速＝船速2－逆水速＝逆水速＋水速2 逆水速＝船速2－顺水速＝顺水速－水速2 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？ 解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时 3208－15＝25（千米） 船的逆水速为 25－15＝10（千米） 船逆水行这段路程的时间为 32010＝32（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用32小时。 例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？ 解由题意得 甲船速＋水速＝36010＝36 甲船速－水速＝36018＝20 可见 （36－20）相当于水速的2倍， 所以， 水速为每小时 （36－20）2＝8（千米） 又因为， 乙船速－水速＝36015， 所以， 乙船速为 36015＋8＝32（千米） 乙船顺水速为 32＋8＝40（千米） 所以， 乙船顺水航行360千米需要 36040＝9（小时） 答：乙船返回原地需要9小时。 例3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？ 解 这道题可以按照流水问题来解答。 （1）两城相距多少千米？ （576－24）3＝1656（千米） （2）顺风飞回需要多少小时？ 1656（576＋24）＝2.76（小时） 列成综合算式 ［（576－24）3］（576＋24） ＝2.76（小时） 答：飞机顺风飞回需要2.76小时。 12 列车问题 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）车速 火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离） （甲车速－乙车速） 火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离） （甲车速＋乙车速） 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？ 解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车3分钟行多少米？ 9003＝2700（米） （2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米） 列成综合算式 9003－2400＝300（米） 答：这列火车长300米。 例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 解 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为 8125－200＝800（米） 答：大桥的长度是800米。 例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？ 解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为 （225＋140）（22－17）＝73（秒） 答：需要73秒。 例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？ 解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。 150（22＋3）＝6（秒） 答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。 例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？ 解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒 （2000－1250）（88－58）＝25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（2558）米， 因此，车长为 2558－1250＝200（米） 答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。 13 时钟问题 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为 20（1－1/12）≈ 22（分） 答：再经过22分钟时针正好与分针重合。 例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （54－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（54＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （54－15）（1－1/12）≈ 6（分） （54＋15）（1－1/12）≈ 38（分） 答：4点06分及4点38分时两针成直角。 例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？ 解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 （56）（1－1/12）≈ 33（分） 答：6点33分的时候分针与时针重合。 14 盈亏问题 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 1)一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）分配差 2)如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数＝（大盈－小盈）分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）分配差 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）分配差”的数量关系： （1）有小朋友多少人？ （11＋1）（4－3）＝12（人） （2）有多少个苹果？ 312＋11＝47（个） 答：有小朋友12人，有47个苹果。 例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？ 解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）分配差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 （2608－3004）（300－260）＝22（天） 这条路全长为 300（22＋4）＝7800（米） 答：这条路全长7800米。 例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？ 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 （1）有多少车？ （30－0）（45－40）＝6（辆） （2）有多少人？ 406＋30＝270（人） 答：有6 辆车，有270人。 15 工程问题 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量＝工作效率工作时间 工作时间＝工作量工作效率 工作时间＝总工作量（甲工作效率＋乙工作效率） 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式： 1（1/10＋1/15）＝11/6＝6（天） 答：两队合做需要6天完成。 例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？ 解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以 （1）每小时甲比乙多做多少零件？ 24［1（1/6＋1/8）］＝7（个） （2）这批零件共有多少个？ 7（1/6－1/8）＝168（个） 答：这批零件共有168个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7 所以，这批零件共有 241/7＝168（个） 例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？ 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 6012＝5 6010＝6 6015＝4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （60－52）（6＋4）＝5（小时） 答：还需要5小时才能完成。 例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？ 解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（145），2个进水管15小时注水量为（1215），从而可知 每小时的排水量为 （1215－145）（15－5）＝1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 145－15＝15 又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 12， 所以，2小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？ （15＋12）（12） ＝8.5≈9（个） 答：至少需要9个进水管。 16 正反比例问题 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？ 解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300（4－3）12＝3600（米） 答： 这条公路总长3600米。 例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？ 解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X 28X＝914 X＝91428 X＝13 答：91分钟可以做13道应用题。 例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？ 解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝2415 X＝10 答：10天就可以看完。 例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。 解 由面积宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此， A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16 解这两个比例，得 A＝45 B＝20 所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋