小学奥数思维训练-几何图形剪拼通常版.doc

.\ 2014年四年级数学思维训练：几何图形剪拼 1．如图，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的） 2．观察图，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形．能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？ 3．如图，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞．现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？ 4．请把图中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形． 5．请把图沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”． 6．如图，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来． 7．图1是由五个相同大小的小正方形拼成的，图2是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的．请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形． 8．如图，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形． （1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？ （2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？ 9．如图，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下： （1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ （2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ 10．如图是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？ 11．请在图中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的） 12．把图沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法． 13．将图分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法． 14．一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的纸条，请画图说明． 15．将图分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D． 16．将边长分别是3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形．（先在左下图画出切割示意图，后在右下图画出新拼成的正方形示意图．） 17．请将图剪成三块，再拼成一个正方形． 18．将图分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图． 19．如图中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形． 20．有一张长方形纸片，按图所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法． 21．把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法． 22．用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法． 23．将图沿格线分割成大小、形状完全相同的四个部分，你能想出几种方法？（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的） 24．如图，长方形的长和宽分别是25厘米和16厘米．请把这个长方形剪成两块，再拼成一个正方形． 25．如图1是一块2549（单位：厘米）的长方形纸片，现在要沿虚线将它分成三块，再拼成图2的边长为35厘米的正方形纸片．请用实线标明剪切和拼接的方法，在这里，虚线划分成的小长方形的大小均为57 （单位：厘米）． 26．将图沿格线分割成七个形状不同的长方形（包含正方形），请在图中用实线标出分割线． 27．如图是由5个小正方形组成的一个“十字架”．请将它剪成若干块，然后拼成一个大正方形． 28．如图，一个大长方形左上角缺少一个23的小长方形．请把这个图形分成三部分，再拼成一个正方形． 29．有一个大正方形，现在要把它分割为12个小正方形，那么： （1）要形成2种面积不同的小正方形，可以如何分割？ （2）要形成3种面积不同的小正方形，可以如何分割？ （3）要形成4种面积不同的小正方形，可以如何分割？ 30．请画出一个三角形，并把它分成大小形状都完全相同的4个小三角形．如果要分为完全相同的16个小三角形，该如何画？ .\ 参考答案 1．比较常见的方法： 【解析】 试题分析：前三种是比较常见的方法，又因为正方形是中心对称图形，根据中心对称的性质，正方形一定被经过中心的直线平分据此解答即可． 解：比较常见的方法： 因为只是要求分成形状、大小都相同的四个部分，没要求具体什么图形， 所以只要这两条直线过正方形中心且相互垂直即可，因而有无数种剪法： 点评：本题考查了中心对称及正方形的性质，解决此类问题，要充分考虑题意的要求． 2．根据分析画图如下： 【解析】 试题分析：不论把六边形平均分成几部分，六边形的六条边必须在分成的每一部分的外沿，其他边不可能在六边形的外边，只能处在六边形的内部，从这个角度来计算，分成的每一部分保留的六边形原来边的条数是： 图（2），分成6个形状、大小都相同的正三角形，含有原来边的条数是：66=1条，相当于1条边的长度，所以连接它的中心O，和六个顶点，即可符合要求； 图（3）分成3个形状、大小都相同的四边形，含有原来边的条数是：63=2条，相当于2条边的长度，这就有两种可能，一是：相邻的两条边的长度，二是：相邻的3条边，其中两条边的长度各取一半，所以只有前者才可满足条件． 图（4）把正六边形ABCDEF分成3个形状、大小都相同的五边形，含有原来边的条数是：63=2条，相当于2条边的长度，这就有两种可能，一是：相邻的两条边的长度，二是：相邻的3条边，其中两条边的长度各取一半，所以只有后者才可满足条件． 解：根据分析画图如下： 点评：本题要从平均分成的每一部分图形的特征和规律入手，找到每一部分图形保留原有的边的长度． 3．如图所示： 【解析】 试题分析：这两个图形都是中心对称图形，找出两个图形的对称中心，过这两个中心做直线，即可把纸片分成面积相等的两部分． 解：如图所示： 点评：解答本题需结合图形，利用中心对称图形的性质即可解决问题． 4．把图分成四个大小相等、形状相同的图形如下图： 【解析】 试题分析：（1）第一个图共12个小方格，要分成四个大小相等，形状相同的图形，每个图形应由124=3个小方格组成；通过观察，画图即可； （2）第二个图共12个三角形，要分成四个大小相等，形状相同的图形，每个图形应由124=3个三角形组成；进而分析画出即可； 解：把图分成四个大小相等、形状相同的图形如下图： 点评：此题应结合题意，根据各图的特点，进行分析，然后试画，进而得出问题答案． 5．答案如图， 【解析】 试题分析：本题需要认真的观察，共有12个小正方形，说明4个一组，根据图形的特点，分成正规的小正方形是不可能的，因此只能分成不规则的图形，方案如下． 解：答案如图， 点评：本题应结合题意进行分析，分析过程中最好通过实践操作得出问题答案，并进行验证． 6．12个，如图所示： 【解析】 试题分析：观察图形，先把六角形的外部的六个角分割出6个与小三角形完全相同的三角形，则内部是一个正六边形，再把正六边形的六个顶点分别与正六边形的中心连接起来，又可以分割成6个与小三角形完全相同的三角形，所以拼成这个六角形，一共要6+6=12个小三角形，据此即可解答． 解：根据题干分析可得，拼成这个六角形，一共要6+6=12个小三角形， 故答案为：12． 点评：根据六角形的特点，先把这个图形进行分割，即可解答问题． 7．如图所示：红线为切割线： （1） （2） 【解析】 试题分析：（1）因为给出的是五个正方形拼成的图形，所以要将图形切分成四块形状、大小都一样的图形，也就是必须把这5个正方形平均分成四份，所以要把其中的正方形切割完成，如下图． （2）设正方形的面积为2，则△BEC的面积为1，根据题意，分成的每一个直角梯形的面积为，然后找出正方形的中心O，过中心O分别作OF∥AD交AB于点F、作OG∥CD交BE于点H，交BC边于点G，连接OD、HE，即可作出． 解：如图所示：红线为切割线： （1） （2） 点评：（1）解答本题的关键是如何将五个正方形平均分成四份，由此根据图形的特点进行分割． （2）本题主要考查了复杂作图，根据面积确定出从正方形的中心入手求解是解题的关键，难度中等，但不容易考虑． 8．（1） （2） 【解析】 试题分析：（1）将大正方形方的边长平均分成3等份，则可将大正方形分割为9个相等的小正方形，其中4个相邻的组成1个，其余5个小的各成1个． （2）将大正方形方的边长平均分成4等份，分成3个22，4个11即可． 解：（1） （2） 点评：此题考查了学生实际操作以及空间想象能力． 9．：如图所示： （1） （2） 【解析】 试题分析：（1）分别剪开这两个正方形的对角线，各分成两个直角三角形，把这两个三角形拼成一个大三角形，这样就把四个小直角三角形拼成了两个大直角三角形，再拼成正方形即可． （2）沿对角线切开，分成四个三角形，把四个三角形拼成一个菱形，找出菱形各边中点，连结即可． 解：如图所示： （1） （2） 点评：此题考查了图形的拆拼，正确分析图形，做题时最好是先结合实物进行分割，进行观察，然后选出最佳答案． 10．如图： 【解析】 试题分析：因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以根据给出的图的特点，进行如下切割和重新拼组为正方形如下． 解：如图： 点评：本题主要考查了学生的拼组的能力，要根据给出的图形的特点和正方形的特点解答． 11．作图如下 【解析】 试题分析：因为共有16个方格，分成形状、大小都相同的四个部分，那么每个部分就有4个方格，根据原图形状，可分成4个“L”形的图形，解决问题． 解：作图如下 点评：仔细观察图形，根据图形特点，结合“如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的”即可作出图形． 12． 【解析】 试题分析：因为共有24个三角形，沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，每部分包括6个三角形，由此进行划分即可． 解： 点评：此题考查了图形的拆拼，明确每部分包括6个三角形，是解答此题的关键． 13． 【解析】 试题分析：将图分割成形状、大小完全相同的四块，即每个图形的面积占整个图形面积的，结合图形，进行分割即可． 解： 点评：本题要抓住“把该图形要分割成四个大小相等、形状相同的图形，”这条信息，从中得出每个图形要占整个图形面积的是顺利分割的突破口． 14．最多能剪出12个这样的长方形． 【解析】 试题分析：根据题干中图形的剪切方法可得：在正方形的每条边长上，可以剪出一个长边4厘米，剩下的3厘米可以截成3条1厘米的宽边，如此一共可以剪出3+3+3+3=12个出4厘米、宽1厘米的小长方形，据此即可解答问题． 解：根据题干分析可得，最多能裁出3+3+3+3=12个这样的长方形： 答：最多能剪出12个这样的长方形． 点评：此题利用画图的方法解答更简单、直观，此题也可以利用面积公式解答：77（41）≈12（个）． 15．根据分析，分割如下： 【解析】 试题分析：因为每一块中都要带有A、B、C、D各一个．根据A、B、C、D的位置特点，先把A、B、C、D划分出四个部分，再根据A、B、C、D的位置特点将中图形划分出四个完全相同的四个图形即可． 解：根据分析，分割如下： 点评：此题主要考查图形的划分，要结合A、B、C、D的位置特征进行划分． 16．如下图所示，即可将这两个正方形拼组成一个边长为5厘米的大正方形： 【解析】 试题分析：大正方形不动，把小正方形切割成宽为1厘米的三部分，即可拼组成一个边长为5厘米的正方形． 解：如下图所示，即可将这两个正方形拼组成一个边长为5厘米的大正方形： 点评：抓住正方形的特点进行讨论拼组． 17． 【解析】 试题分析：依据图示可得：原图中可分为上面边长为3的正方形，以及下面边长为4的正方形，若想把原图分成三块再拼成正方形，拼成正方形的边长一定不能是两个正方形的边长，且一定大于4，故此只能把原图中边长是7的边分开，据此即可解答． 解： 点评：本题比较抽象，也比较难以找出突破口，分图时不要仅仅局限于原图的边长，要根据具体情况进行重组． 18．拼成的正方形的边长为6，画图分割如下： 【解析】 试题分析：我们不难技术处题中图形的面积为36，因为36=66，所以拼成的正方形的边长为6，由此画出正方形的拼接图． 解：23+6（2+1+1）+23 =6+24+6 =36 因为36=66，所以拼成的正方形的边长为6，画图分割如下： 点评：此题考查了图形的切拼，通过分析、计算得出拼成的正方形的边长为6，是解答此题的关键． 19．如图分割即可： 【解析】 试题分析：长和宽分别为9厘米和4厘米的长方形，它的面积为36平方厘米，剪拼后的正方形的面积也应该是36平方厘米，它的边长为6厘米；由此把长方形的面积平均分成36份，然后分成2部分，并且使两部分的形状一样即可． 解：94=36（平方厘米）， 因为66=36， 所以剪拼后的正方形的面积也应该是36平方厘米，它的边长为6厘米； 如图分割即可： 点评：此题考查了图形的切拼，明确剪拼后的正方形的面积是36平方厘米，它的边长为6厘米，是解答此题的关键． 20．拼成的正方形的边长为12，拼接如下： 【解析】 试题分析：因为长方形的面积=长宽，由此即可求出长方形的面积，为：（12+4）9=144，因为：1212=144，所以拼成的正方形的边长为12，由此根据给出的图形，把三块进行拼接即可． 解：（12+4）9=144，因为：1212=144，所以拼成的正方形的边长为12， 拼接如下： 点评：此题考查了图形的切拼，明确拼成是正方形的边长是12，是解答此题的关键． 21．由以上分析，周长最小的拼法如图所示：周长为： 38厘米． 【解析】 试题分析：可以拼成3种，其周长分别是：38cm，50cm，62cm．周长最小的拼法是：3个长方形横着拼接成12厘米乘3厘米的长方形，剩下的4个长方形竖着拼成12厘米乘4厘米的长方形再把这两个长方形拼成12厘米乘7厘米的长方形．这个长方形的周长是38厘米． 解：由以上分析，周长最小的拼法如图所示： 周长为：（43+3+4）2=192=38（厘米）． 点评：此题属于图形的切拼问题，考查学生的空间想象力，通过画图，解决问题． 22．由以上分析，拼法如下： 【解析】 试题分析：根据题意，要求用的纸片最少，应尽量用边长最大的，但通过操作，如果用边长4的，但用的边长1的会更多．因此应用：一张边长为3的，三张边长为2的，四张边长为1的，这样用的张数最少． 解：由以上分析，拼法如下：共用了8张纸片． 一张边长为3的，三张边长为2的，四张边长为1的，共用了8张纸片． 点评：此题既要抓住拼成的正方形边长为5，还要考虑“最少”． 23．如图所示： 【解析】 试题分析：通过观察，图中一共32个小正方形，平均分成四个部分，每个部分就要有8个小正方形，根据要求，作出图形即可． 解：如图所示： 点评：此题考查了学生想象、思维以及实际操作能力． 24．如图所示： 【解析】 试题分析：因为长方形面积为2516=400（平方厘米），拼成的正方形的面积也应是400平方厘米，因此正方形的边长应为20厘米，如下图所示． 解：如图所示： 点评：根据长方形和正方形面积相等进行剪拼． 25．由以上分析，图示如下： 【解析】 试题分析：把长方形纸片右边2列5行剪去，再把剪下的部分2列2行（即a），补在右下角（即a）；然后再在剪下的剩余部分中剪掉b和c，补在如图所示图2的b和c部分；最后把剩下的d和c剪开，补在图二d和c部分即可． 解：由以上分析，图示如下： 点评：此题属于实际操作题，运用实物实际操作一下，问题不难解决． 26．①是1个正方形；②4个；③2个；④3个；⑤5个；⑥6个；⑦4个． 【解析】 试题分析：大正方形中共有25个小正方形，要求分割成七个形状不同的长方形（包含正方形），那么先从分成的正方形的个数入手：1+2+3+4+5+6=21，还剩4个，拼成一个正方形即可． 解：①是1个正方形；②4个；③2个；④3个；⑤5个；⑥6个；⑦4个． 点评：此题考查学生综合分析以及进行实际操作的能力． 27．由分析可知，答案如图， 【解析】 试题分析：首先沿着其中两个方格的对角线分割成两部分： ； 拼成如图： 再沿图分割： 对应把①②放到④③的位置即可． 解：由分析可知，答案如图， 点评：本题主要考查图形的分割与拼凑，注意第一次分割拼凑后第二次分割． 28．由分析可得： 效果图： 【解析】 试题分析：由题意，一个大长方形左上角缺少一个23的小长方形，则这个图形的面积是75﹣23=29，把这个图形分成三部分，再拼成一个正方形，则正方形的面积就是29，因为55=25，可知正方形的边长大于5，由于29=25+4，所以可想法剪下两个直角边为5、2的直角三角形来拼组，其斜边就是正方形的边长；据此解答即可． 解：由分析可得： 效果图： 点评：解答此题关键是明确正方形的面积是29，29=25+4，进而得出剪切小直角三角形拼组． 29．（1）要形成2种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为66，则分成8个22，4个11； （2）要形成3种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为66，则分成1个44，3个22，8个11； （3）要形成4种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为77，则分成1个44，2个33，2个22，7个11． 【解析】 试题分析：根据分成正方形面积的三种情况，假设大正方形面积为66或77，很容易解决问题． 解：（1）要形成2种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为66，则分成8个22，4个11； （2）要形成3种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为66，则分成1个44，3个22，8个11； （3）要形成4种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为77，则分成1个44，2个33，2个22，7个11． 点评：此题考查了学生实际操作以及空间想象力，此题有多种答案． 30．由以上分析可得： 【解析】 试题分析：先画出一个三角形，然后找出每边的中点，两两连接这3个中点，就把三角形分割成4个，同理，继续找出四个三角形的中点，连接就可以了． 解：由以上分析可得： 点评：此题解答的关键在于找出三角形的中点，两两连接这3个中点，进行分割．