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平面解析几何
1、 直线的倾斜角与斜率
1、 直线的倾斜角与斜率
（1） 倾斜角的范围
（2） 经过两点的直线的斜率公式是
（3） 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率存在，设为，则
注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。
2、 直线的方程
1、 直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
斜截式
k为斜率，b是直线在y轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线
一般式
A，B，C为系数
无限制，可表示任何位置的直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2） 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算
（二）直线的斜率及应用
利用斜率证明三点共线的方法：
已知若，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
直线的参数方程
〖例1〗已知直线的斜率k=-cos (∈R).求直线的倾斜角的取值范围。
思路解析：cos的范围斜率k的范围tan的范围倾斜角的取值范围。
〖例2〗设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：
思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
〖例3〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。
（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；
（2）∠MPN是直角。
思路解析：∠MOP=∠OPNOM//PN，∠MPN是直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意
〖例4〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
思路解析：对截距是否为0分类讨论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。
（二）用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线，，则
（1）
（2）
（3）与重合且(或)或记为（
（4）
〖例5〗已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）⊥时，求的值。
思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
〖例6〗已知点P（2，-1）。
（1）求过P点且与原点距离为2的直线的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
思路解析：设出直线方程由点到直线距离求参数判断何时取得最大值并求之。
(三）轴对称
①点关于直线的对称
若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组
可得到点关于对称的点的坐标（其中）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
〖例7〗求直线关于直线对称的直线的方程。
思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。
练习题
1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
2．圆的圆心到直线的距离 。
3．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴上，直线过圆C所截得的弦长为，则过圆心有与直线垂直的直线的方程为
4．倾斜角为45，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且，则直线l的方程为（ ）
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
6．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，则直线通过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
8．若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A. B.
C. D. ，，
9．函数图像上的点到直线距离的最小值是 _
10． 若直线与垂直，则的值是 ．
11． 一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．
12.写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．
13.三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．
14.已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行
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