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正弦定理
编稿：李霞 审稿：张林娟
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二：正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时
设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：构造直角三角形
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
（2）当为钝角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
法三：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.
法四：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的几个变式，比如： ，,
等等.
要点三：利用正弦定理解三角形
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角.
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：
(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
【高清课堂：正弦定理 例1】
例1．已知在中，，，，求和B.
【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B的值。
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式2】在中，若，则等于 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。故选B.
【变式3】中，，BC＝3，则的周长为（ ）
A． B．C． D．
【答案】由正弦定理得：，
得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．
故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．
例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。
(1)a=7,b=9,A=100 (2) a=10,b=20,A=75
(3)a=10,c=5,C=60 (4) a=2
【思路点拨】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。
【解析】（1）本题无解。
（2）本题无解。
（3）本题有一个解。
利用正弦定理，可得：
（4）本题有两解。
由正弦定理得：
当
综上所述：
【总结升华】
已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a=b
无解
无解
一解
a
bsinA
两解
a=bsinA
一解
A
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