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第三章 刚体的转动
3-1 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即，式中为比例常数。初始角速度为，求：
（1）飞轮角速度随时间变化的关系；
（2）角速度由减为所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。
解：（1）由，
分离变量 ，并由初始条件；
等式两边积分
（2）当角速度由减为时
由，
分离变量 ，并由初始条件，；等式两边积分
代入，得飞轮转过的角度
飞轮转过的转数
3-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为，法向加速度为，试证明，为任意时间内转过的角度。
解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为，则该点的
法向加速度为
切向加速度为
又，且
3-3 一根质量为，长为的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为，求杆转动时受摩擦力矩的大小。
解：设杆的线密度为。在杆上取一线元距转轴为，质量为。该线元在转动时受桌面摩擦力为
摩擦力方向与垂直，故线元受摩擦力矩的大小为
杆转动时受摩擦力矩的大小为
又
3-4 如图所示，一长为，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为和的小球，杆可绕通过其中心且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转
动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，释放后，杆绕轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩与系统的角加速度大小。
解：两小球对水平转轴的转动惯量为
题3-4图
当杆转到水平位置时，小球和直杆所受合外
力矩为
题3-4图
由刚体的转动定律
3-5 如图所示，一轻绳绕于半径
的飞轮边缘，现以恒力
拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。
已知飞轮的转动惯量为，飞轮
与轴承之间的摩擦不计。
题3-5图
（1） 求飞轮的角加速度；
（2） 求绳子拉下时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；
（3） 这动能和拉力所做的功是否相等？为什么？
（4） 如以重量的物体挂在绳端，如图示，飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下时飞轮获得的动能。这动能和重力对物体所做的功是否相等？为什么？
解：恒力作用于飞轮的力矩
（1）由刚体转动第二定律，飞轮
的角加速度
（2）绳子拉下时，飞轮转过的角度
题3-5图 题3-5图
设经过的时间为，则
飞轮的角速度
飞轮获得的动能
（3）拉力所做的功为
与飞轮获得的动能相等
（4）若在绳端挂重量的物体
则有 解得
绳子拉下时，飞轮的角速度为，由，
飞轮获得动能
重力对物体所做的功
物体所获动能
重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。
3-6 如图所示，两物体的质量分别为和，滑轮转动惯量为，半径为，则
（1） 若与桌面间滑动摩擦系数为，求
系统的加速度及绳中张力（设绳不可伸长，
绳与滑轮间无相对滑动）；
（2） 如与桌面为光滑接触，求系统的加
速度与绳中张力；
（3） 若滑轮的质量不计则结果又如何？ 题3-6图
解：（1）若与桌面滑动摩擦系数为，则有如下方程组
解得
（2）若与桌面光滑接触，则有
解得
（3）若再忽略滑轮质量
解得
3-7 如图所示，轻弹簧、定滑轮和物
体系统。已知弹簧倔强系数，定
滑轮转动惯量，半径，
开始物体静止，弹簧无伸长，求当质量为
的物体落下时它的速度大小。
题3-7图
解：设物体下落了时，其速度为，由机械能守恒定律
又 故有
代入 ，，，，
得
3-8 如图所示，一质量为的物体
与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可
以忽略，它与滑轮之间无滑动。假设定滑
轮质量为，半径为，转动惯量为，
滑轮轴光滑。求该物体由静止开始下落过
程中下落速度与时间的关系。
题3-8图
解：方法一：由牛顿第二定律及刚体
的转动定律得
得
故物体的下落速度为 题3-8图
方法二：由机械能守恒定律
其中
解得
3-9 水分子的形状如图所示。从光谱分析知水分子对轴的转动惯量是
，对轴的转动惯量是。试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离和夹角。假设各原子都可当质点处理。
解：水分子中两个氢分子对轴和轴的转动惯量分别为、 题3-9图
①
②
已知氢原子质量
①、②两式相除，得
把值代入①式得
3-10 如图所示，从一个半径为的均匀薄板上挖去一个直径为的圆板。所形成的圆洞中心在距原薄板中心处。所剩薄板的质量为。求此时薄板对于通过圆中心而与板面垂直的轴的转动惯量。
解：设均匀薄板被挖去圆板后的转动惯量为，挖去圆板前的转动惯量为，被挖去的圆板对转轴的转动惯量为，则有
被挖去的圆板对通过自己圆心并垂直于板面的转轴的转动惯量为
，由平行轴定理
题3-10图
又
故
薄板对通过圆中心的垂直轴的转动惯量
3-11 如图所示，一根质量均匀的
铁丝，质量为，长为，在其中心处
弯成角，放在平面内。
（1） 求对轴和轴的转动惯量；
（2） 如果，（1）中结果如何？ 题3-11图
解：（1）
在距点为 处取线元，距轴为。线元质量为，对轴的转动惯量为
铁丝对轴的转动惯量
同理 ，
（2）若
3-12 长为，质量为的匀质棒，垂直悬挂在转轴点上，用的水平力撞击棒的下端，该力作用的时间为，求：
（1） 棒所获得的动量矩；
（2） 棒的端点上升的距离。
解：棒对转轴的转动惯量为
（1）在打击瞬间，重力对转轴不产生力矩，由
角动量定理，棒所获得的动量矩
题3-12图
（2）撞击后，棒转动到最高位置时角速度为零，以棒和地球为研究对象，此过程中机械能守恒。设棒的中心上升的距离为。
其中代入上式
棒的端点上升的距离
3-13 如图所示，一根质量为，长为的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置。一质量为的小球，以速
度垂直落到棒的端点。设小球与棒作弹性碰撞。
求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。
解：棒的转动惯量为
题3-13图
设碰撞后小球的速度为，棒的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞过程角动量守恒，则有
①
又因小球与棒作弹性碰撞，机械能守恒
②
把代入①②两式解得
3-14 如图所示，一长，质量为的均匀细木棒，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止，今有一质量的子弹以的速率水平射入棒中，射入点在轴下处。求：
（1）子弹停在棒中时棒的角速度；
（2）棒的最大偏转角。
解：（1）子弹对转轴的转动惯量为
细木棒的转动惯量
题3-14图
子弹射入棒前对转轴的角速度为，射入后与棒一起转动的角速度为。射入木棒前后，子弹与木棒的角动量守恒
（2）设棒的最大偏转角为，棒的中心和子弹上升的高度分别为、。由机械能守恒定律
解得
3-15 如图所示，质量为，长为的均匀细杆可绕过端点的固定水平轴
转动。杆从水平位置由静止开始下摆，杆摆
至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球
相碰。小球看作质点，质量也为，设碰撞
是弹性的，忽略轴上摩擦，求碰后小球获得
的速度。
题3-15图
解：细杆的转动惯量为
杆摆在竖直位置时，质心下降了，由机械能守恒定律
题3-15图
设碰撞后小球的速度为，杆的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞过程角动量守恒，则有
①
由于是弹性碰撞，机械能守恒
②
把和 代入①②两式得
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