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1、红星中学 张雷过过 O外一点作外一点作 O的切线的切线OPABO作法作法:1.连接连接OP.2.以以OP为直径作圆为直径作圆,设设此圆交此圆交 O于点于点A、B.3.连接连接PA、PB.则直线则直线PA、PB为所求为所求.一、一、切线长定义切线长定义 从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点间的线段长叫做间的线段长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长.OPAB切线切线与与切线长切线长的区的区别与联系：别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间
2、的线段的长。间的线段的长。 若从若从OO外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切点，切点分别是分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论结论？并证明你所发现的结论. .APO。BPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点, , OAPA OAPA，OBPB , OBPB , 即即OAP=OBP=90. OA=OB，OP=OP, RtRtAPOAPORtRtBPOBPO ( (HLHL) ) PA = PB , APO=BPO.试用文字语言试
3、用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点作圆的两条切线，从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角切线的夹角. 二、切线长定理二、切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于
4、圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，、从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。四个四个APO。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点, , PA = PB , APO=BPO. PABPAB是等腰三角形，是等腰三角
5、形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线, , OP垂直平分垂直平分AB.APO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你你又能得出什么新的结论又能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点, , PA = PB , APO=BPO. 又又PC=PC.PC=PC. PCA PCB , AC=BC.AC=BC.C例例1.PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C.BAPOCED（1）写出图中所有
6、的垂直关系）写出图中所有的垂直关系.OAPA，OB PB，AB OP .（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形.ABP , AOB .（5）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径OA.（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角.OAC=OBC=APC=BPC.。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点.（2）连结两切点）连结两切点;（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点;反思：反思：在解决有关圆的在解决有关圆的切线长问题时，往往需切线长问题
7、时，往往需要我们构建基本图形要我们构建基本图形.例例2、 已知四边形已知四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA分别与分别与 O相切于相切于E、F、G、H.求证：求证：AB+CD=AD+BC。 DABCOGHEF证明证明:AB、BC、CD、DA都与都与 O相切相切,E、F、G、H是切点是切点.AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.即即 AB+CD=AD+BC.结论结论:圆外切四边形的对边和相等圆外切四边形的对边和相等. 例例3.如图所示如图所示PA、PB分别切圆分别切圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的的切线分别相交于切线分别相交于C
8、、D， 已知已知PA=7cm.(1)求求PCD的周长的周长(2) 如果如果P=46,求求COD的度数的度数.C OPBDAE解解:(1)连接连接OA、OB、OE,PA、PB分别是分别是 O的切线的切线,A、B、E为切点为切点.PCD的周长的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB =PA+PB=7+7=14(cm) .DA=DE,CB=CE,DC=DE+CE=DA+CB.OAPA,OBPB,OEDC.C OPBDAE(2)PA、PB分别是分别是 O的切线的切线,DA=DE,ADO=EDO. 在四边形在四边形APBO中中,AOB=180P=134DA、DE 为为 O的切线的切线,PAO=P
9、BO=90.又又DO=DO，AOD EOD，AOD=EOD.同理同理 BOC=EOC.DOC =DOE+COE=.671342121AOB思考：当切点思考：当切点F在弧在弧AB上运动时，问上运动时，问PED的周长、的周长、DOE的度数是否发生变化，请说的度数是否发生变化，请说明理由。明理由。FOEDPBA知识拓展知识拓展 已知：如图已知：如图,PA、PB是是 O的切线，切点分别的切线，切点分别是是A、B，Q为为 O上一点，过上一点，过Q点作点作 O的切线，的切线，交交PA、PB于于E、F点，已知点，已知PA=12cm，P=70,求：求：PEF的周长和的周长和EOF的大小。的大小。EAQPFBO1.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小小 结：结：EAPO。BCDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.切线长定理的应用切线长定理的应用.