资源描述
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玄武区2013~2014学年第一学期期末试卷
九年级数学
（考试时间120分钟，满分120分）
题 号
1－6
7－16
17－20
21－22
23－24
25－26
27
总分
得 分
复查人
一、 选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 已知函数，则自变量的取值范围是 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
3．对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，通过计算，他们成绩的平均数相等，方差，，下列说法正确的是 （ ▲ ）
．甲短跑成绩比乙好 ．乙短跑成绩比甲好
．甲比乙短跑成绩稳定 ．乙比甲短跑成绩稳定
4．在平面直角坐标系中，将函数y=2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位得到图象的函数关系式是 （ ▲ ）
A．y=2(x－1)2－5 B. y=2(x－1)2+5 C. y=2(x+1)2－5 D. y=2(x+1)2+5
5．根据下列表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+ bx + c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+ bx + c = 0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的范围是 ( ▲ ) . A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
6．如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为（秒），＝PC2，则关于的函数图象大致为 （ ▲ ）
(第6题)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．样本数据3，6，，4，2，则这个样本的极差是 ▲ ．
8．在同一坐标系中，二次函数和的图象都具有的特征是 ▲ （只写一条）．
9．圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，其侧面积为 ▲ cm2．
10．如图，⊙O中，∠AOB＝110，点C、D是 上任两点，则∠C＋∠D的度数是__▲___．
11．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AB=26，OM=5，则CD的长为____▲___．
(第11题)
(第10题)
12．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一圆的半径为 ▲ ．
13．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围
是 ▲ ．
14．如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心的上，若OA=1，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为 ▲ ．
15．如果抛物线与抛物线关于轴对称，则= ▲ ，= ▲
16．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=10，设弧CD、弧CE的长分别为、，线段ED的长为，则的值为 ▲ ．
（第16题）
(第14题)
三、 解答题（本大题共11小题，共88分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：
18．（本题6分）化简： （≥0，≥0）
19．（本大题共2小题，每小题5分，共10分）解下列一元二次方程：
（1） （2）
20．（本题8分）已知二次函数．
（1）证明：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与轴交于点(0，5)，求出顶点坐标，并画出该函数图象．
（第20题）
21．（本题8分）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
（第21题）
22．（本题8分）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍．
(1)若设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为，
则甲店三月份的销售额为 ▲ 万元，乙店三月份的销售额为 ▲ 万元．（用含的代数式表示）
(2)甲店、乙店这两个月销售额的月平均增长率各是多少？
23. （本题9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝∠CAD＝30.
A
D
C
(第23题)
B
O
（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径.
24．（本题9分）某批发商以每件50元的价格购进400件T恤．若以单价70元销售，预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量，降价销售，经过市场调查，单价每降低0.5元，可多售出5件，但最低单价不低于购进的价格；第一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第一个月单价降低x元．
（1）根据题意，完成下表：
每件T恤的利润（元）
销售量（件）
第一个月
清仓时
（2）T恤的销售单价定为多少元时，该批发商可获得最大利润？最大利润为多少？
25．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，点O是边AD上的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF.
(1) 当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2） 若矩形ABCD的周长为20，四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在，请求出最大值；
如果不存在，请说明理由．
（3）若AB=，BC=, 当、满足什么条件时，四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）
（第25题）
26.（本题8分）阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30，BC=6，AC=5，在△ABC
图2
内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
图1
图3
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ▲ ；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
① 如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
② 若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
27. （本题8分）
（1）如图1，OC平分∠AOB,点P在OC上，若⊙P与OA相切，那么⊙P与OB位置关系是 ▲ ．
（2）如图2，⊙O的半径为2，∠AOB=120，
①若点P是⊙O上的一个动点，当PA=PB时，是否存在⊙Q，同时与射线PA、PB相切且与⊙O相切，如果存在，求出⊙Q的半径； 如果不存在，请说明理由．
②若点P在BO的延长线上，且满足PA⊥PB，是否存在⊙Q，同时与射线PA、PB相切且与⊙O相切，如果存在，请直接写出⊙Q的半径； 如果不存在，请说明理由．
图2
图1
九年级数学评分标准
二、 选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
C
B
C
C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7、 12、 或
8、 对称轴是y轴所在直线、顶点（0,0）等(答案不唯一) 13、 且
9、 14、
10、 15、
11、 16、
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17、解 原式= …………………………………………………………4＇
= ………………………………………………………………………6＇
18、解 原式= ………………………………………………………………………4＇
………………………………………………………………………6＇
19、（1）解： ……………………………………………………………………2＇
…………………………………………………………………………3＇
…………………………………………………………………………4＇
……………………………………………………………5＇
用公式法参照给分
（2）解：
…………………………………………………………………2＇
或 ………………………………………………………………4＇
∴x1= ，x2= ……………………………………………………………………5＇
用公式法参照给分
20、证明：（1）令，
= ……………………………………………………1＇
= …………………………………………………2＇
∵（m－1）2≥0
∴（m－1）2+8＞0 …………………………………………………………3＇
∴b2－4ac＞0
∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点…………………………4＇
（2）把，代入
∴……………………………………………………5＇
∴=
顶点坐标：（，） …………………6＇
图象正确…………… ……………… …………………………………………8＇
21、解：（1） ∵在梯形中，，
∴…………………………………………………………………1＇
∵
∴……………………………………………………………2＇
∴……………………………………………………………3＇
∴，即………………………………………………4＇
∵
∴四边形是平行四边形 ……………………………………………5＇
（2）∵，，，
∴
∴………………………………………………………6＇
∴…………………………………………………………………7＇
∴平行四边形是矩形 ……………………………………………………8＇
22、（1）……………………………………………………………………………1＇
……………………………………………………………………………2＇
（2）－=10 …………………………………………………………5＇
解得 x1＝60%，x2＝－1（舍去）． ……………………………………………………7＇
2x＝120%
答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．……………………8＇
A
D
C
(第23题)
B
O
23、解： （1）解：AD是⊙O的切线. ……………………1＇
理由如下：连接OA. ……………………………………2＇
∵∠B＝30，∴∠O＝60.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝60.
∵∠CAD＝30，
∴∠OAD＝90(或OA垂直AD). …………………………4＇
又∴点A在⊙O 上，（或AD经过半径OA的外端点A）…………………………5＇
∴AD是⊙O的切线. ……………6＇
（2）解：∵∠OAC＝∠O ＝60，
∴∠OCA＝60.
∴△AOC是等边三角形. …………………………………7＇
∵OD⊥AB，
∴OD垂直平分AB.
∴AC＝BC＝5. …………………8＇
∴OA＝5.即⊙O的半径为5. ……………………………9＇
24、（1）解：
每件T恤的利润（元）
销售量（件）
第一个月
清仓时
（不化简也可）……………4＇
（2） 设批发商可获得利润元 ……………………………………………………………5＇
…………………………………………6＇
…………………………………………7＇
售价50－5=45
…………………………………………8＇
答：T恤的销售单价定为45元时该批发商可获得最大利润，最大利润为2250元 …………9＇
25、解（1）当点E运动到BC的中点时，四边形AEDF是菱形 ………………………1＇
（2）存在
∵点O是AD的中点
∴AO=DO
∵OE=OF
∴四边形AEDF是平行四边形 ……………………………………………2＇
∴ ………………………………………3＇
设AB=，则BC=，四边形AEDF的面积为
当时，四边形AEDF的面积最大为25 ……………………………… ……6＇
(3） 当时，四边形AEDF能成为一个矩形 ………………………8＇
26、
（1） ……………………………………………………………… ……………………2＇
（2）①如图，
………………………………………………4＇
BD ………………………………………………………………………………6＇
② ………………………………………………………………………………8＇
27、（1）相切 ………………………………………………………………………………2＇
（2)
①当P点在优弧AB上时， 设⊙Q的半径为，
若⊙Q1与⊙O内切，可得，解得 ………………………3＇
若⊙Q1与⊙O外切，可得, 解得 ……………………4＇
当P点在劣弧AB上时，
同理可得：x=，x= …………………………………6＇
综上所述，存在⊙Q，半径可以为，4 ，，
②存在⊙Q，半径可以为1, …………………………………8＇
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