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1、高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数
2、集 Q 实数集 R 1）列举法： a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn 图: 4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例： x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，； （2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2 “相等”关系： A=B (55，且 55，
3、则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 如果AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A 且属于 B 的元 素 所 组 成 的 集 合 ,叫 做由所有属于集合A或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做
4、设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合， 叫做 S 中子集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页A,B 的交集记作AB（ 读 作 A 交 B ） ， 即AB= x|xA ， 且xB A,B 的并集记作：AB （读作 A 并 B ） ，即AB =x|xA，或 xB)A 的补集（或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2性质AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA ABABB (CuA) (CuB) = Cu (AB
5、) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A(CuA)=U A(CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合 a，b，c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x 0 ，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A=12xx，B=x xa，若 AB，则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上
6、的点）组成的集合M= . 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x
7、 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：S A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . (6) 指数为零底不可以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）
8、；定义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2值域: 先考虑其定义域(1) 观察法(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标 (x，y)均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C上 . (2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4区间的概念（1）区间的
9、分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： AB为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象） ”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。6.分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不
10、同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页（1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在区间 D 上
11、是增函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2D，且 x11 ，且nN*精选学习资料 - -
12、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：) 1,0(*nNnmaaanmnm，) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1, 0
13、(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a0 ，a0，函数 y=ax与 y=loga(-x) 的图象只能是( ) 2.计算： 64log2log273;3log422= ；2log227log553125= ; 21343101.016)2()87(064. 075. 030= 3.函数 y=log21(2x2-3x+1) 的递减区间为4.若函数) 10(log)(axxfa在区间2,aa上的最大值是最小值的3 倍，则 a= 5.已知1( )log(01)1axfxaax且， （1
14、）求( )f x的定义域（ 2）求使()0fx的x的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程
15、，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型高中数学必修2 知识点一、直线与方程检验收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
16、 - -第 9 页，共 38 页（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点： (1) 当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2) k 与 P1、P2的顺序无关
17、； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11, yx注意： 当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11, yx，22,yx截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b
18、,即l与x轴、y轴的 截距 分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y轴的直线：ax（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平 行 于 已 知 直 线0000CyBxA（00,BA是 不 全 为0的 常 数 ） 的 直 线 系 ：000CyBxA（C 为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：00 xxkyy，直线过定点00,yx；（）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxAC
19、yBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页方程组无解21/ ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标
20、系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一
21、般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（ 1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到 l 的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与 Cl0；相
22、切与Cl0；相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中00,yx表示切点坐标，r 表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx(课本命题 )圆 (x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广 )4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆
23、半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页（1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类
24、：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义
25、 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥
26、底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜
27、二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h 为高，h为斜高， l 为母线）chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体
28、积公式VSh柱2VShr h圆柱13VSh锥hrV231圆锥1()3VSSSS h台2211()()33VSSSS hrrRRh圆台（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R； S球面=24 R4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的； 平面的表示： 通常用希腊字母、表示，如平面 （通常写在一个锐角内） ；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。 点与平面的关系：点 A 在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作： Al；点 A 在直线 l 外，记作 Al；直线与平面的关系：直线 l 在平面
29、内，记作 l；直线 l 不在平面 内，记作 l。（2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用： 检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,Al Bl ABl（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面 和相交，交线是a，记作 a。符
30、号语言：,PABABl Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 ：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a a，b b，则把直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
31、 - - - - -第 13 页，共 38 页线 a 和 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0， 90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明 ： （1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那
32、么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点三种位置关系的符号表示：aaA a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b 5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面
33、面平行） ，（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行） ，（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条
34、直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直
35、线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线ba ,，形成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为0。平面的垂线与平面所成的角：规定为90。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算” 。在“作角”时依定义关键作射影，
36、由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求
37、二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系（1）定义 ：如图，,OBCDD A B C是单位正方体 . 以 A 为原点，分别以 OD,O,A,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1）O叫做坐标原点 2 ）x 轴， y 轴， z 轴叫做坐标轴 . 3 ）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指
38、指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组( , , )x y z来表示，有序实数组( , , )x y z叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y z（x 叫做点 M的横坐标， y 叫做点 M的纵坐标，z 叫做点 M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd高中数学必修3 知识点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页第一章算法初步1.1.1算法的概念算法的特点 :
39、(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性： 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可 . (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图1、程序
40、框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页处理框赋值、 计算， 算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
41、判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y” ；不成立时标明“否”或“ N” 。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三） 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算
42、法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P是否成立而选择执行A框或 B框。无论 P条件是否成立， 只能执行A框或 B框之一，不可能同时执行A框和 B框，也不可能A框、 B 框都不执行。一个判断结构可以有多
43、个判A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页断框。3 、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A框， A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。（2
44、） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件 P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。当型循环结构直到型循环结构注意： 1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许 “死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1输入、输出语句和赋值语句3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式（ 2）赋值语句的作用是将表达
45、式所代表的值赋给变量；（ 3）赋值语句中的“”称作赋A 成立不成立P 不成立P 成立A 变量表达式图形计算器格式表达式变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意： 赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B ” “B=A ”的含义运行结果是
46、不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、 因式分解、 解方程等） 赋值号 “= ”与数学中的等号意义不同。分析：在 IF THEN ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句 1”表示满足条件时执行的操作内容； “语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2 1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1） ：用较大的数m除以较小的数n 得到一个商0S和一
47、个余数0R； （2） ：若0R 0，则 n为 m ，n 的最大公约数；若0R 0，则用除数n 除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R；（3） ：若1R0，则1R为 m ，n 的最大公约数；若1R0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数2R；依次计算直至nR0，此时所得到的1nR即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：（1） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执行第二步
48、。 （2） ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例 2 用更相减损术求98 与 63 的最大公约数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页分析：（略）3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为
49、0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+ .+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+ .+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0
50、 这样，把n次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。第二章统计2.1.1 简单随机抽样1总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无