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1、1 高中数学知识点精析第一部分集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A = B.如果CACBBA，那么，. 注 Z= 整数 （）Z = 全体整数 （）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集 .（）（例： S=N； A=N，则 CsA= 0 ）空集的补集是全集 . 若集合 A=集合 B，则 CBA = ，CAB = CS（CAB） = D（注：CAB = ） . 3. （x，y）|xy =0，xR，yR 坐标轴上的点集 .
2、 （x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集 . （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集 . 注：对方程组解的集合应是点集. 例：1323yxyx解的集合 (2，1). 点集与数集的交集是. （例：A =( x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB =）4. n 个元素的子集有 2n个. n 个元素的真子集有2n1 个. n 个元素的非空真子集有2n2 个. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题 . 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题 . 例：若325baba或，则应是真命题 . 解：逆否： a = 2 且 b =
3、3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真 . ，且21yx3yx. 解：逆否： x + y =3x = 1 或 y = 2. 21yx且3yx,故3yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件 . 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若552xxx，或. 6.De Morgan公式CuA CuB = Cu（A B）CuA CuB = Cu（A B）第二部分函数1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（ 1，2）上为减函
4、数，就不能说函数在），（），（2110上为减函数 . 3. 反函数定义：只有满足yx唯一，函数)(xfy才有反函数 . 例：2xy无反函数.函数)(xfy的反函数记为)(1yfx，习惯上记为)(1xfy. 在同一坐标系，函数)(xfy与它的反函数)(1xfy的图象关于xy对称. 注：一般地，3)f(x3)(xf1的反函数 . 3)(xf1是先)f(x的反函数，在左移三个单位 .3)f(x是先左移三个单位，在)f(x的反函数 . 4. 单调函数必有反函数， 但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数 . 如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. 设函数 y =
5、 f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果 y = f（x）在 X 上是增（减）函数，那么反函数)(1xfy在 Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页2 一般地，如果函数)(xfy有反函数，且baf)(，那么abf)(1. 就是说点（ba,）在函数)(xfy图象上，那么点（ab,）在函数)(1xfy的图象上 . 5. 指数函数：xay（0,1aa） ，定义域 R，值域为（,0）. 当1a，指数函数：xay在定义域上为增函数；当01a，指数函数：xay在定义
6、域上为减函数 . 当1a时，xay的a值越大，越靠近y轴；当01a时，则相反 . 6. 对数函数：如果a（0,1aa）的b次幂等于N，就是Nab，数b就叫做以a为底的N的对数，记作bNalog（0,1aa，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数. 对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1 (推论：换底公式：（以上12nM0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,
7、c1,a ,a .a01且）注：当,0a b时，)log()log()log(baba. ：当0M时，取“+” ，当 n是偶数时且0M时，0nM，而0M，故取“”. 例如：xxxaaalog2(log2log2中 x0 而2log xa中 xR）. xay（0,1aa）与xyalog互为反函数 . 当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当01a时，则相反 . 7. 奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点 . 偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在)1, 1上不是偶函数 . 满足)()(xfxf，或
8、0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在)1,1上不是奇函数 . 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 8. 对称变换： y = f（x）（轴对称xfyyy =f（x）（轴对称xfyxy =f（x）（原点对称xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：再进行讨论 . 22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（y
9、xO1y=axa1y=axa10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页3 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+xx1的定义域为 A，函数 ff（x）的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是. 解：)(xf的值域是)(xff的定义域B，)(xf的值域R，故RB，而 A1| xx，故AB. 11. 常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf. 证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxfyfx
10、fyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12. 熟悉常用函数图象：例：|2xy| x关于y轴对称 .|2|21xy|21xy| 2|21xyxyxy( 0 , 1 )xy( - 2 , 1 )|122|2xxy| y关于x轴对称 . xy熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域, 3|Rxxx，值域,2|Ryyy值域x前的系数之比 .第三部分直线和圆一、直线方程 . 1. 直线的倾斜角： 一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800. 注：当90或12xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率
11、不存在 .每一条直线都存在惟一的倾斜角， 除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点), 0(),0,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0,0(,baba时，直线方程是：1byax.注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线 . 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化 .当b为定植，k变化时它们表示过
12、ABxy23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页4 定点（ 0，b）的直线束 .当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线 . 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个 “ 前提”都会导致结论的错误 . （ 一般的结论是： 对 于两 条直 线21,ll，它们 在y轴 上的纵 截距是21,bb，则1l212kkl，且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件
13、，且21CC）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l 212l. 两条直线垂直：两 条 直 线 垂 直 的 条件 ： 设 两 条 直 线1l和2l的 斜 率 分 别 为1k和2k， 则 有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在 . 0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在 . （即01221BABA是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk. 两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2
14、l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角， 又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2, 0， 当90，则有21121tankkkk. 5. 过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd. 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd. 7. 关于点对
15、称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等 .若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线 . 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注： 曲线、直线关于一直线（bxy） 对称的解法：y 换 x， x 换 y. 例： 曲线 f(x ,y)=0关于直线 y=x 2 对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y
16、)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程 . 1. 曲线与方程：在直角坐标系中， 如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页5 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足
17、方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点 . 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 注：特殊圆的方程：与轴相切的圆方程222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心与y轴相切的圆方程222)()(abyax),(),(,babaar或圆心与轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax),(,aaar圆心3. 圆的一般方程：022FEyDxyx.
18、 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数） . 方 程022FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径或方程： 已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可证）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M在圆C内22020)()(rbyaxM在圆C上22020)()rby
19、ax（M在圆C外22020)()(rbyax5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad. rd时，l与C相切；附：若两圆相切，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程 . dr时，l与C相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD. dr时，l与C相离.附：若两圆相离，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程 . 由代数特征判断：方程组0)()(222C
20、BxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与C相切；l0与C相交；0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页6 l0与C相离. 注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线. 6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆222ryx的 斜 率 为k的 切 线 方 程 是rkkxy21过 圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一
21、般方程若点 (x0,y0)在圆上，则 (x a)(x0a)+(y b)(y0b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为 (a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 . 7. 求切点弦方程： 方法是构造图， 则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆 . 已知O的方程022FEyDxyx 又以ABCD为圆为方程为2)()(kbxyyaxxxAA4)()(222byaxRAA，所以 BC 的方程即代，相切即为所求. 第四部分三角函数1. 与（ 0360 ）终边
22、相同的角的集合（角与角的终边重合） ：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180|终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 k2. 角度与弧度的互换关系： 360 =2180 =1=0.01745 1=57.30 =5
23、718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx |)(xfcosxRxx |)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且4. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三公式组一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1yxSIN COS三角函数值大小关系图
24、sinxcosx1、2、3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxABCD(a,b)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页7 xxkxxkxxkxxkc o t)2c o t (t a n)2t a n (c o s)2c o s (sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxc o
25、 t)2c o t (t a n)2t a n (c o s)2c o s (s i n)2s i n (xxxxxxxxc o t)c o t (t a n)t a n (c o s)c o s (s i n)s i n (（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(c o ss i n22s i nsinsincoscos)cos(2222s i n211c o s2s i nc o s2c o ssincoscossin)sin(2t a n1t a n22t a nsincoscossin)sin(2c o s12s i ntantan1tantan)tan
26、(2c o s12c o stantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan. 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1, 1 1, 1R R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非 奇 非偶当, 0奇函数22,22kk上 为 增函 数 ；2,12kk；上为增函数12,2kkkk2,2上 为 增 函 数（Zk）1, kk上
27、为减函数（Zk）)(212),(22AkAkcoscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tanZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
28、- - - - - -第 7 页，共 30 页8 单调性223,22kk上 为 减函数（Zk）上为减函数（Zk）上为增函数；)(232),(22AkAk上 为 减 函 数（Zk）对称性对 称 轴为2xk，对称中心为(,0) k，kZ对称轴为xk，对称中心为(,0)2kkZ无对称轴，对 称 中 心 为(,0)2kkZ无对称轴，对称中心为(,0)2kkZ对称轴是直线)(2Zkkx凡是该图象与直线0y的 交 点 都是该图象的对称中心注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增） . x
29、ysin与xycos的周期是. )sin(xy或)cos( xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期为 2（2TT，如图，翻折无效） . )sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（0,k） ；)c o s (xy的对称轴方程是kx（Zk） ，对称中心（0,21k） ；)t a n (xy的对称中心（0,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan, 1tan)(2Zkk；tan, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数xytan在R上为增函数 .（ ） 只能在某个
30、单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称 （奇偶都要），二是满足奇偶性条件， 偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为
31、（如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. Oyxyxy= cos|x|图象1/2yxy=| cos2x+1/2|图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页9 第五部分向量与解三角形1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：若ba,为单位向量，则ba. （） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向 . 若ba，则ab. （）2. a=aaaababa设Ryxbyxa,22112121,yyxxba21
32、21,yyxxba21, yxa2121yyxxba2121yxa（向量的模，针对向量坐标求模）平面向量的数量积：cosbabaabbabababacbcacba注意：cbacba不一定成立；cbbaca. 向量无大小（“大于” 、 “小于”对向量无意义） ，向量的模有大小 . 长度为 0 的向量叫零向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00. 若有一个三角形ABC，则0；此结论可推广到n边形. 若anam（Rnm,） ，则有nm. （） 当a等于0时，0anam，而nm,不一定相等. aa=2|a，|a=2a（针对向量非坐标求模） ，|ba|ba. 当0a时，
33、由0ba不能推出0b，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab=0. 若 a b， b c，则 ac（）当 b等于 0时，不成立 . 3. 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ab（平行向量或共线向量） . 当a, 0与b 共线同向：当,0a与 b共线反向；当b则为0, 0与任何向量共线. 注意：若ba, 共线，则ba（）若 c是 a的投影，夹角为，则cacos，cacos（）设a=11, yx，22, yxbab01221yxyxbababaab001221yyxxba设332211,yxCyxByxA，则 A、B、C 三点共线=（0）（1212,yyxx）=（1313
34、,yyxx） （0）（12xx） （13yy）=（13xx） （12yy）两个向量a、b的夹角公式：222221212121cosyxyxyyxx线段的定比分点公式： （0和1）设P1P=PP2（或P2P=1P1P） ，且21,PPP的坐标分别是),(),( ,2211yxyxyx）（，则推广 1：当1时，得线段21PP的中点公式：推广 2：MBAM则1PBPAPM（对应终点向量） . 三角形重心坐标公式： ABC 的顶点332211,yxCyxByxA，重心坐标yxG,：33321321yyyyxxxx222121xxxyyy112121xxxyyyABPM精选学习资料 - - - - -
35、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页10 注意：在 ABC 中，若 0 为重心，则0OCOBOA，这是充要条件 . 平移公式：若点Pyx,按向量a=kh,平移到 P, yx，则kyyhxx4. 正弦 定理 ： 设 ABC 的 三 边 为 a、 b、 c， 所 对 的角 为 A、B、 C， 则RCcBbAa2si nsi nsi n. 余弦定理：CababcBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222正切定理：2tan2tanBABAbaba三角形面积计算公式：设ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为
36、 P，外接圆、内切圆的半径为 R，r. S=1/2aha=1/2bhb=1/2chcS=Pr S=abc/4R S=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA S=cPbPaPP海伦公式 S=1/2（b+c-a）ra如下图 =1/2 （b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb注：到三角形三边的距离相等的点有4 个，一个是内心，其余3 个是旁心 . 如图：图 1 中的 I 为 SABC的内心，S=Pr 图 2中的 I 为 SABC的一个旁心，S=1/2（b+c-a）ra图1图2图3图4附：三角形的五个“心” ；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
37、内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 已知 O 是ABC 的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c 注：s为ABC 的半周长 ,即2cba 则： AE=as=1/2（b+c-a）BN=bs=1/2（a+c-b）FC=cs=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在 RtABC，c 为斜边，则内切圆半径r=cbaabcba2（如图 3）. 在 ABC 中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan. 证明：因为,
38、CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！在 ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则DCBDBCBCABBDACAD222. 证明：在 ABCD 中，由余弦定理，有BBDABBDABADcos2222在ABC 中，由余弦定理有BCABACBCABB2cos222，代入，化简可得，DCBDBCBCABBDACAD222（斯德瓦定理）若 AD 是 BC 上的中线，2222221acbma；若 AD 是A 的平分线，appbccbta2，其中p为半周长；若 AD 是 BC 上的高，cpbpappaha2，其中p为半周长 . ABC 的判定：ABCOabcI
39、ABCDEFIABCDEFrararabcaabcACBNEFDACB图 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页11 222bacABC 为直角A + B =22c22baABC 为钝角A + B22c22baABC 为锐角A + B2附：证明：abcbaC2cos222，得在钝角 ABC 中，222222, 00coscbacbaC平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22222bababa第六部分数列1. 等差、等比数列：看数列是不是等差数列有以下三种方法：), 2(1为常数dndaann
40、211nnnaaa(2n) bknan(kn,为常数 ). 看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0, 2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注： i. acb，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acba、b、c 等比数列 . ii. acb（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要 . iii. acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分 . iv. acb且0ac为 a、b、c 等比数列的充要 . 注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个 . nncqa(qc,为非零常数 ). 正数列 na 成等比的充要条件是数
41、列 nxalog（1x）成等比数列 . 数列 na 的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn注： danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差 na前 n 项和ndandBnAnSn221222d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件 . 非零常数列既可为等比数列， 也可为等差数列 . （不是非零，即不可能有等比数列）2. 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等差 数 列 ， 其 公 差 为 原 公
42、差 的k2倍等差数列等比数列定义daann 1)0(1qqaann递 推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通 项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111) 1(111qqqaaqqaqnaSnnn重 要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页1
43、2 .,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇得到所求项数到代入12nn. 3. 常用公式： 1+2+3 +n =21nn61213212222nnnn2213213333nnn注：熟悉常用通项： 9，99，999，110nna； 5，55，555，11095nna. 4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总
44、产量为：.)1 (1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算， 则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元. 因此，第二年年初可存款：)1(.)1()1 ()1(101112rararara=)1(1)1 (1)1(12rrra. 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率 . 1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5. 数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解 . 具体
45、步骤：写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x 对应1na） ，并设二根21, xx若21xx可设nnnxcxca2211.，若21xx可设nnxncca121)(；由初始值21,aa确定21,cc. rPaann1（P、r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n 转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na； 121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定. 转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn. 选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211. 用特征方程求解：相
46、减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（. 由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，. 6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值 . 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值. 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项 和 可 依 照 等 比 数 列 前n项 和 的 推 倒 导 方 法 ： 错 位 相 减 求 和 . 例 如 ：,.21)1
47、2,.(413 ,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页13 数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数 . 第七部分不等式1. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数） ：2221122abababab（当 a = b 时取等）特别地，222()22ababab（当 a = b 时，222()22ababab）),(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式：22122221).(1.nnaa
48、anaaa含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数） ：3322aba bab3332223()()abcabcabc abcabacbc3333abcabc（等式即可成立0cba，时取等或0cbacba） ；33abcabc33abcabc3333abc2)(31cbaacbaab（时取等cba）绝对值不等式：123123(0)aaaaaaababab ab时, 取等算术平均几何平均 （a1、 a2an为正数） ：1212nnnaaaa aan（a1=a2=an时取等）柯西不等式：设),2, 1(,niRbaii则)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa等号成
49、立当且仅当nnbababa2211时成立 .（约定0ia时，0ib）例如：22222()()()acbdabcd. 常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnn11111(1)121nnnnnnnnnn2. 常用不等式的解法举例（ x 为正数） ：2311 24(1)2 (1)(1)( )22 327xxxxx2222232(1)(1)1 242 3(1)( )22 3279xxxyxxyy类似于22sincossin (1 sin)yxxxx111| |()2xxxxxx与同号，故取等第八部分导数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0 x是函数)( xf
50、y定义域的一点，如果自变量x在0 x处 有 增 量x，则 函数 值y也引 起 相 应 的 增 量)()(00 xfxxfy； 比 值xxfxxfxy)()(00称为函数)(xfy在点0 x到xx0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy在点0 x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0 x处的导数，记作)(0 xf或0|xxy，即)(0 xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页14 注：x是增量，我们也称为