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1、楚雄师范学院2013 年数学建模培训第一次预赛论文题目分油最优化模型姓名系（院）数学系专业信息与计算科学 2013 年5 月14 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分油最优化模型【摘要】本文主要是针对分油问题建立动态规划模型，从特殊的分油问题利用图解法求出决策方案，最后用剩余类知识将其推广到一般的模型。【关键字】线性规划图表显像法作图法递归作图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
2、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 一、问题重述有一个人用装 10 斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油的，每人要买 5 斤，但是没有秤，只有二只空瓶，一个能装7 斤油，另一个能装3斤油。试建立模型分析应如何用这3个瓶把 10斤油分成两份各为5 斤的油。二、问题分析这是韩信分油法，首先将上述的问题表述为数学语言：现有三个无刻度的容器A、B、C，容量分别为 10、7、3斤。容器 A中装满10斤油， B、C均空，如何利用三个容器将 10斤油二等分？一般地，我们经过一番逻辑思索
3、 ,逐项列举的图解法，可以得出其结果。但是当容器A、B、C容量很大时，这种逻辑方法就显得非常吃力。因此对于这个分油问题，我们将其进行推广，记三个容器A、B、C的容量分别为 a、b、c斤， ；现容器 A中装满 a升油， B、C均空。如何利用三个容器将a升油二等分 ?对于这个问题，我应用数学剩余类知识构造出数学模型，提出一种规格化的方法进行求解。三、问题假设1、假设在每次倒油时都没有油遗失；2、假设三个容器是干净没有污秽的；2、假设 A、B、C 三个容器没有破损；3、假设在进行上述活动时没有意外发生。四、符号说明：表示容器 * 向容器* 倒入油kx：B 中的油量ky：C 中的油量ku：第k次倒油时
4、， B 容器内的油改变量kv：第k次倒油时， C 容器内的油改变量D：允许决策集合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 五、模型的建立与求解1、基本问题解决基于问题，我们通过逻辑推理， 用最基本方法： 将一容器内的油向另外的容器中倾倒的方法，得出下面两种分油方法（方法1 和方法 2） ，并运用动态规划模型的思想列出表格，最终得出结果。方法 1各容器油量的变化过程如下操作顺序A（斤）B(斤）C （斤）A 10 0 0 A
5、B 3 7 0 BC 3 4 3 C A 6 4 0 BC 6 1 3 C A 9 1 0 BC 9 0 1 AB 2 7 1 BC 2 5 3 方法 2 各容器油量的变化过程如下操作顺序A（斤）B(斤）C（斤）A 10 0 0 AC 7 0 0 C B 7 3 0 AC 4 3 3 C B 4 6 0 AC 1 6 3 C B 1 7 2 BA 8 0 2 C B 8 2 0 AC 5 2 3 2.模型构成分油问题可看作一个多步决策问题，记第k倒油时， B 中的油量为kx，C 中的油量为ky，将二维向量),(kkkyxs定义为状态，我们用序数组),(yx的变化来表示整个倒油过程，集合30,7
6、0,yxyxS（1）称为状态集合， 由于每次都以为着摸一个容器被灌满或者被倒空，所以允许状态名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 集合为7,0,2;7,0,1;70,3,70,0,xyxyxyxyyxS（2）记k次倒油时， B 容器内的油改变量为ku，C 内油的改变量为kv，将二维向量),(kkkvud定义为决策，则允许决策集合为D，由各容器的的容量可知3,7),(vuvuD（3）状态变化规律是kkkdSS1（4）（4
7、）式称为状态转移律，则制定分油方案归结为如下的多步决策问题：求决策Ddk， 使状态SSk按照状态转移律 （4） ，由初始状态)0,0(0s经有限步 n 到状态)0,5(ns。3.模型求解我们可以通过编写程序，利用计算机进行求解，也可以用图解法来处理这个问题， 如图（1）所示，所有的操作应该在举行OABC 的界面上进行，决策变量kd沿方格线左右平移7 格表示由 B 向 A 倒空油或者 A 向 B 倒满油；kd沿方格上下平移 3 格，表示由 A 向 C 倒空油或者 C 向 A 倒满油；kd沿方格线左上方135移过 k 行，表示 B 向 C 倒 k 斤油；kd沿方格右下方45移过 k 行，表示 C
8、向 B 倒 k 斤油；寻求决策方案的过程即是在上述规定下，将坐标点从（0,0）移至（0,5）的过程。根据图（ 1）这个模型，我们还可以很快的找到问题的另外一组解，如图（ 2） 。3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A B C 图（ 1） ，分油问题方案1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4.结果分析将图 1，图 2 画在同一坐标轴上，如图3（虚线为图 1 方案，实线为图 2 方案） ，可看到 X 轴上坐标
9、 1,2,3,4,5,6,7都曾被箭头所指，从而可知，利用这三个容器可分出1,2,3,4,5,6,7,斤油。这里并不要求A 的容量一定是 10 斤。3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A B C 图（ 3） ，分油结果3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A B C 图（ 2） ，分油问题方案2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5.模型评价与推广对于这个分油问题，我们可拓展思路，提出疑问，即3 个容
10、器 A,B.C 的容量分别为cba,斤，cba；现容器 A 中装满a斤油， B,C 为空，如何利用容器将a斤油二等分？当 c=1 时，自然可以将油分出1 至 b 斤；当1c，时我们可以利用上述的图解法，对问题进行求解，也可以将油分出1 至 b 斤。参考文献【1】数学建模教育与国际数学建模竞赛工科数学专辑。【2】数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987 年第一版， 1993 年第二版，2003年第三版；第一版在1992 年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获全国优秀教材奖 )【3】 数学模型与计算机模拟， 江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社， (1989) 数学模型选谈 (走向数学从书 )，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社； (1991)【4】数学建模 -方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -