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1、流体力学复习资料第一章绪论1.1流体力学及其任务一、流体力学的研究对象流体力学是一门技术基础课，也是水利工程、土木工程、环境工程、交通工程、建筑工程等专业的必修课程。学习流体力学课程必须具备物理学、理论力学和材料力学等基础知识。通过本课程的学习，要求能掌握液体平衡和液体运动的基本概念、基本理论和分析方法，能正确区分不同水流的运动状态和特点，掌握水流运动的基本规律，能解决实际工程中有关管流和明渠流的常见水力学问题，为今后学习专业课程、从事专业技术工作打下良好的基础。流体力学研究流体机械运动规律及其应用的科学。（一）流体的定义1自然界物质存在的主要形态：固态、液态和气态；2具有流动性的物体（即能够
2、流动的物体）；流动性：在微小剪切力作用下汇发生连续变形的特性。3流体包括液体和气体；4流体与固体的区别；固体的变形与受力的大小成正比； 任何一个微小的剪切力都能使流体发生连续的变形。5液体与气体的区别 液体的流动性小于气体； 液体具有一定的体积；气体充满任何容器，而无一定体积。（二）流体的特征：流动性二、流体的连续介质假设问题的引出： 微观：流体是由大量做无规则热运动的分子所组成，分子间存有空隙，在空间是不连续的。 宏观：一般工程中，所研究流体的空间尺度要比分子距离大得多。（一）流体的连续介质假设1定义：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质。2 流体微团必须
3、具备的两个条件 必须包含足够多的分子； 体积必须很小，且具有一定质量。（二）采用流体连续介质假设的优点1避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。2可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动规律。三、流体力学的研究方法流体力学研究方法：理论方法、数值方法和实验方法。理论方法：建立理论模型，并运用数学方法求出理论结果。数值方法：在计算机应用的基础上，采用各种离散化方法（有限差分法、有限元法等），建立各种数值模型，通过计算机进行数值计算和数值实验，得到要时间和空间上，许多数字组成的集合体，最终获得定量描述流场的数值解。实验方法：通过对具体流体的观察和测量，来认识流体的规律。1.2 作用在流体
4、上的力两类作用在流体上的力：表面力和质量力一、表面力通过直接接触施加在接触表面上的力，分离体以外的流体通过流体分离体表面作用在流体上的力，其大小与作用面积成比。（一）应力单位面积上的表面力。AFpsAn0lim（设 A 为隔离体表面上一点，包含A 点取微小面积A，若作用在A上有总表面力为sF）（二）法向应力和切向应力APp为A上的平均压应力；APimlpAA0为 A 点压应力，称为压强；ATimlAA0为 A 点切应力。二、质量力以隔距离作用施加在每个质点上的力。例如：重力、惯性力、磁力。单位质量力)/(2smkjiBBZYXmFfBf在各坐标轴的分量：mFXBx，mFYBy，mFZBz若作用
5、在流体上的质量力只有重力，则0X，0Y，gmmgZ。说明：X、Y、Z也可相应用符号xf、yf、zf。1.3 流体的主要物理性质同流体有关的主要物理性质是惯性、粘性有压缩性一、惯性物体保持原有运动状态的性质。质量是惯性大小的度量。密度表征物体惯性的物理量。（一）流体的密度单位体积流体所具有的质量。均匀流体：VM单位： kg/m3 常见流体的密度：水 1000 kg/m3 空气 1.23 kg/m3 水银 136000 kg/m3 （二）流体的相对密度流体的密度与4oC 时水的密度的比值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24
6、 页wfd式中，f 流体的密度（ kg/m3）w 4oC 时水的密度（ kg/m3）二、粘性（一）粘性的定义流体内部各流体微团之间发生相对运动时，流体内部会产生摩擦力（即粘性力）的性质。1 流体粘性所产生的两种效应 流体内部各流体微团之间会产生粘性力； 流体降粘附于它所接触的固体表面。2牛顿内摩擦定律 粘性的表象（牛顿平板实验）当 h 和 u 不是很大时，两平板间沿y 方向的流速呈线性分布，yhUyhUuddu或粘性是流体阻抗剪切变形速度的特性。 牛顿内摩擦定律实验表明：内摩擦力（切力）T 与流速梯度dyduhU成比例；与流层的接触面积A 成比例；与流体的性质有关；与接触面上的压力无关。即dy
7、duAT以应力表示dydu又，dydudtdydudtdtd/)(牛顿内摩擦定律表明： 粘性切应力与速度梯度成正比； 粘性切应力与角变形速率成正比； 比例系数称动力粘度，简称粘度。在上、下两流层间取矩形流体微团（质点）经dt，微团除有位移外，还发生剪切变形d，dtddydudydudtdd)tan(（即速度梯度实为流体微团的剪切变形速度）牛顿内摩擦定律可表示为：dtd 粘度流体粘性大小的度量,由流体流动的内聚力和分子的动量交换引起。 动力粘度dydu动力粘度（动力粘滞系数），是流体粘性的度量，Pa.s，越大越粘。不同温度水和空气的粘度见表。 运动粘度)/(2sm 粘度的影响因素1）温度对流体粘
8、度的影响很大液体：分子内聚力是产生粘度的主要因素。温度分子间距分子吸引力内摩擦力粘度气体：分子热运动引起的动量交换是产生粘度的主要因素。温度分子热运动动量交换内摩擦力粘度2）压力对流体粘度的影响不大，一般忽略不计3理想流体（无粘性流体）理想流体指无粘性即00或的流体。说明：理想流体是对流体简化的力学模型，一种理想的流体模型。对某些粘性影响很小的流动，能较好地符合实际；对粘性影响不能忽略的流体，可通过实验加以修正。三、 （可）压缩性和（热）膨胀性（一）流体的压缩性流体体积随着压力的增大而缩小的性质。它随温度和压强变化，用压缩系数k表示)/(2Nm1压缩系数单位压力增加所引起的体积相对变化量。dp
9、dVVdpVdVk1/（dp为压强增量，dV为体积减小量，由于液体受压体积减小，dV与dp异号，所以右侧加负号，以使k为正值）液体压缩前后，m=V不变，有dVdV则dpdk12体积模量K体积模量K压缩系数的倒数，)/(2mN，ddpdVdpVkK1（二） （热）膨胀性流体体积随着温度的增大而增大的性质。1. 膨胀系数单位温度增加所引起的体积相对变化量。液体的（热）膨胀性以（热）膨胀系数表示，表示在一定的压强下，温度增加1 度，密度的相对减小率。膨胀系数dTddTdVVV11)/1/1(0KC或（三）可压缩性流体和不可压缩性流体1可压缩性流体体积随着压力和温度的改变而发生变化的性质。2可压缩流体
10、和不可压缩流体 不可压缩流体：不考虑可压缩性的流体常数； 可压缩流体：考虑可压缩性的流体常数。不可压缩流体与可压缩的液体：体积弹性模数无穷大的流体被称为不可压缩的流体。严格的说，任何流体均为可压缩流体。但在许多流动情况下，流体压力变化所引起的密度变化极小，此时可视流体为不可压缩的流体，使问题得到简化。液体的膨胀系数随压强和温度而变化，见表，可以看出：水的可压缩系数和热膨胀系数均很小，一般情况下，水的压缩性和膨胀性可忽略不计，但对某些特殊流动，必须考虑，如在压缩性起着关健作用的管道的水击要考虑水的压缩性。1.4 牛顿流体和非牛顿流体一、流变性流变性流体简单剪切流动时，剪应力与剪应变率的关系称为流
11、变性，它 反 映流体物料的力学性质。流 变 曲 线 表 示 流 变 关 系 的 曲 线 。 斜 率 为 牛 顿 流 体 的 粘 度 ， 即tan/ dydu。 牛顿流体的流变曲线在一定温度和压力下是通过坐标原 点 的直线（右图中a 线） 。二、牛顿流体符合牛顿内摩擦定律的流体，如水、空气、汽油和水银等牛顿流体的流变曲线在一定温度和压力下是通过坐标原点的直线（右图中a线） 。三、非牛顿流体不符合牛顿内摩擦定律dydu的流体， 如泥浆、血浆、新拌水泥砂浆、新拌混凝土等。其流变曲线不通过坐标原点。（一）非时变性非牛顿流体流体的表观粘度只与剪应变率（剪应力）有关，与剪切作用持续时间无关。C D B A
12、 db a dy dudt 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页非牛顿流体分为三类：1宾汉体 宾厄姆流体 （塑性流体）流变方程为：dyduPBB屈服应力；P塑性粘度；流变曲线：上图b 线，可见，宾汉体的流动特点是施加的切应力超过B才能流动，并在流动过程中，切应力和剪切变形速度成线性关系。2伪 拟 塑性流体流变方程为：ndyduk1nk稠度系数；n流变指数流变曲线： 上图中 c 线，由图可见， 伪塑性流体的流动特点是随着剪切变形速度的增大，表观粘度降低，流动性增大，表现出流体变稀，又称为剪切稀化流体。3膨胀流体流变方程
13、：ndyduk1n流变曲线：上图中d 线，由图可见，膨胀流体的流动特点是随着剪切变形速度的增大，表观粘度增大，流动性降低，表现出流体增稠，又称为剪切稠化流体。（二）时变性非牛顿流体流体的表观粘度不仅与剪应变率（或剪应力）有关，而且与剪切作用持续时间有关。分为：触变流体：表观粘度随剪切作用持续时间而减小，如某些油漆、涂料。触稠流体：表观粘度随剪切作用持续时间而增大，如某些乳悬浮液。（三）粘弹性流体兼有粘性和弹性双重性质。如爬杆现象（魏森贝格效应），挤出胀大现象（巴拉斯效应）。第二章流体静力学2.1 静止流体中应力的特性特性一：应力的方向和作用面的内法线方向一致。可以这样来说明：静止流体，速度处处
14、为零，没有速度梯度，也就没有切应力。此外流体不能承受拉应力。特性二：静压强的大小与作用面方位无关。表明静压力是各向同性的。证明如下：表面力：只有压力xP、yP、zP、nP质量力：dxdydzXFBX61dxdydzYFBY61dxdydzZFBZ610ddd61),cos(dd21zyxYynAPzxpnny（),cos(dd21ynAzxpny）0d31xXPPny同理：0d310d310d31zZPPyYPPxXPPnznynx略去无穷小得（令四面体向O点收缩）nzyxpppp2.2 （静止）流体平衡微分方程一、平衡微分方程式1公式：010101zpfypfxpfzyx或01pf2推导以直
15、角坐标系为例，在静止流体中任取一微元六面体，如图：微元流体在质量力，表面力作用下平衡。以方向受力分析为例：表面力：下表面（对应坐标为）受力。上表面（对应坐标为+dz）受力(+dp)dxdy。质量力：。力平衡方程：。有010101zpfypfxpfzyx或01pfzkyjxi，为失性微分算子，称哈米尔顿算子。上两式为流体平衡微分方程（欧拉平衡微分方程）。表明，在静止流体中各点单位质量流体所受的表面力与质量力相平衡。物理意义：在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。适用范围：所有静止流体或相对静止的流体。二. 平衡微分方程的全微分式（压强差公式）（平衡微分方程的积分）dzzpdy
16、ypdxxpdp010101zpfypfxpfzyxzyxfzpfypfxp)(dzfdyfdxfdpzyx上式为流体平衡微分方程的全微分式。物理意义：流体静压强的增量决定于质量力。通常流体的单位质量力是已知的，将其代入上式直接积分，可得静压强的分布。三、等压面（等势面）1定义流场中压强相等的各点组成的面，0dp。如自由液面和不同液体的分界面等皆为等压面。2微分方程0dpdzfdyfdxfdpzyx0dzfdyfdxfzyx或0l df3性质：等压面恒与质量力正交。0l dfl df2.3 重力场中流体静压强的分布规律一、液体静压强基本方程1基本方程的两种表达式（1）公式ghpp0cgpz上两
17、式均为液体静压强基本方程式，分别以不同形式表示重力作用下液体静压强的分布规律。（2）推导如图：液体中任一点的压强，由式)(ZdzYdyXdxdp得质量力只有重力：0YX，gZ，gdzdp积分得：cgzp代入边界条件00,ppzz，得00gzpc所以：cgpzgczgpghpzzgpp000)(2物理意义z位势能；gp压强势能hp；C总势能。在重力作用下的连续均质不可压所静止流体中，各点的单位重力流体的总势能保持不变。3几何意义z位置水头；gp压强水头；C静水头。在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。4推论 静压强的大小与液体的体积无直接关系；精选学习资料 - - - - -
18、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页 两点的压强差，等于两点间竖向单位面积液体柱和重量。ABABBAABghhhgghpghppp)()(00 平衡状态下，液体内（包括边界上）任意点压强的变化，等值地传递到其它各点。如，表面压强变化p0时，液体各点压强均相应变化p0值。证明：平衡状态下，当A点压强增加p，则pppghpghpppBABAABAB)()(二、气体静压强的计算在不考虑压缩性时，ghpp0也适用于气体，但气体密度很小，在高度不很大时，气柱所产生的压强很小，可以忽略，上式简化为0pp三、压强的度量1绝对压强和相对压强绝对压强以完全真空为基准
19、起算的压强，以absp表示；相 对 压 强 以 当 地 大 气 压ap为 基 准 起 算 的 压 强 ， 以p表 示 。aabsppp一般结构都处在当地大气压的作用下，采用相对压强能使计算简化，本书 如 不特指，压强均为相对压强。2真空度真空度指绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值，以vp表示ppppabsav四、测压管水头1测压管高度，测压管水头流体静力学基本方程cgpz式中：z某点在基准面以上的高度，称为位置高度或位置水头。是单位重量液 体 具 有 的相对于基准面的位置势能，即位能。gp某点的绝对压强大于大气压时，液体沿测压管上升的高度ph，称 为 测 压 管高度或压强水头，是单
20、位重量液体具有的压强势能，即压能。gphghpppgpz测压管水头，是单位重量液体具有的总势能。cgpz表示静止液体中各点的测压管水头相等，测压管水头线是水平线， 即静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等。2真空高度当某点的绝对压强小于当地大气压（即处于真空状态）时，将一根竖直向下的破璃管插入液槽内，液槽内液体沿玻璃管上升的高度vh。gpgpphpghpvabsavavabs五、压强的计量单位 应力单位。 Pa （1Mpa=106Pa） 液注单位。 m水柱， mm 水柱或汞柱。 大气压单位。标准大气压符号atm，1atm=101325N/m2。工程大气压符号为at ，1am=98000 N
21、/m2,1at0.1Mpa 2.4 *液体的相对平衡流体相对于地球有相对运动，而流体微团及流体与容器壁之间没有相对运动。以等角速旋转容器中液体的相对平衡为例说明这类问题的一般分析方法。容器以等角速度 旋转。gfyrfxrfzyx2222sincos1压强分布规律)(22gdzydyxdxdp积分Cgzyxp)22(2222Czgrgp)2(22利用边界条件：0000,0gzpCppzzrgrzzgpp2)(22002等压面方程022gdzydyxdxdp积分Cgzyx222222Cgzr222（Czgrgp)2(22中令p常数，得等压面方程）cgrz222（等压面方程）等压面是一簇绕z 轴的旋
22、转抛物面。自由液面：000CzxCgzrs222（式grzzgpp2)(2200中令0pp，得自由液面方程0222zgrzs）3与绝对静止情况比较 等压面绝对静止：cz水平面；相对静止：Cgzr222旋转抛物面。 压强分布绝对静止：ghpp0相对静止：ghpzzgpps00)(h任一点距离自由液面的淹深4测压管水头由式Czgrgp)2(22得grcgpz222同一个圆柱面上（r一定） ，测压管水头相等。cgpz2.5 （静止）液体作用在平面上的总压力一、水平平面上的液体总压力各点压强大小：处处相等各点压强方向：方向一致ghApAF二、倾斜平面上的液体总压力各点压强大小：处处不相等各点压强方向：
23、方向一致（一）解析法（如右图）1总压力的大小 公式ApAghPccch受压面形心点的淹没深度；cp受压面形心点的压强。结论：即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心处的相对压强的乘积。 公式推导作用在微分面积dA 上的压力：dAygghdApdAdP)sin(作用在平面上的总压力（是平行力系的合力）：AAAgPPydsind由工程力学知：AyAcAyd（受压面面积A 对 OX 轴的静矩）AygPC)sin(ApAghcc2总压力的方向总压力的方向垂直于受压的平面3总压力的作用点（1）公式AyIyycccDAyIxxcxyccDcI受压面对平行于ox轴的形心轴的惯性矩；bcdapaA
24、abApadccAbapadbapaAcdh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页xycI受压面对平行于yx,轴的形心轴的惯性积。Dy总压力作用点到x0轴的距离；Dx总压力作用点到y0轴的距离；cy受压面形心到x0轴的距离；cx受压面形心到y0轴的距离；（2） 公式推导合力矩定理：合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。xADIgdAygydPPysinsin2将AygPC)sin(代入上式得AyIyyAyIIAyIycccDccxcxD)(2惯性矩的平行移轴定理同理：xyADIgdAxygxdPPxsinsin
25、将AygPC)sin(代入上式得AyIxxAyxIIAyIxcxyccDccxycxycxyD)(惯性矩的平行移轴定理（二）图算法1压强分布图对于通大气的开敞容器，液体的相对压强沿水深直线分布，把上、下两点的压强用线段绘出，中间以直线相连，就得到相对压强分布图。2图算法步骤： 先绘出压强分布图； 求总压力SbP，b为矩形宽度，S为压强分布图的面积； 总压力作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点为作用点。2.6 液体作用在曲面上的总压力各点压强大小：大小不等各点压强方向：方向不同一、曲面上的总压力1基本公式：xcxcxApAghPgVPz总压力22zxPPP总压力作用线与水平面夹角：x
26、zxzPPPParctantanxA曲面的铅垂投影面积；ch投影面xA的淹没深度；cp投影面xA形心点的压强。过xp作用线（通过xA压强分布图形心）和xP作用线（通过压力体的形心）的交点，作与水平面成角的直线就是总压力作用线，该线与曲面的交点即为总压力作用点。2推导如上图：取条形微元EF，因各微元上的dP 方向不同，所以不能直接积分求作用在曲面上的总压力。将dP 分解分水平分力和铅垂分力xxghdAghdAdPdPcoscoszzghdAghdAdPdPsinsinxA EF 在铅垂投影面上的投影zA EF 在水平投影面上的投影xcxcAxxxApAhghdAgdPPx表明：作用在曲面上的水平
27、分力等于受压面形心处的相对压强pC-p0 与其在垂直坐标面oyz 的投影面积 Ax 的乘积。gVhdAgdPPzAzzz表明：液体作用在曲面上总压力的铅垂分力等于压力体的重量。作用在曲面上的垂直分力等于压力体的液体重力。二、压力体积分VhdAzAz表示的几何体积。为曲面到自由液面（或自由液面的延伸面）之间的铅垂柱体。1压力体的组成 受压曲面（压力体的底面） ； 自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面）； 由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面（压力体的侧面）。2压力体的三种界定情况 实压力体压力体和液体在曲面AB同侧，如同压力体内实有液体。zP方向向下 虚压力体压力体和液体
28、在曲面AB异侧，其上底面为自由液面的延伸面，压力体内虚空，zP方向向上 压力体迭加水平投影重迭的曲面，分开定压力体，然后相迭加。三、液体作用在潜体和浮体上的总压力（一）潜体全部浸入液体中的物体。潜体表面是封闭曲面。1水平分力xcxAghP1，xcxAghP2021xxxPPP坐标x方向是任意选定的，所以液体作用在潜体上总压力的水平分力为零。2铅垂分力dcdbaZgVP1方向向下dadbaZgVP2方向向上gVPPPZZZ21即ZP方向与坐标OZ 方向相反，即浮力。（二）浮体部分浸入液体中的物体。将液面以下部分看成封闭曲面，同潜体一样：0 xP，gVPz总结：液体作用于潜体（或浮体）上的总压力，
29、只有铅垂向上的浮力，大小等于所排开的液体重量，作用线通过潜体的几何中心阿基米德原理。浮体： W rgV，物体下沉，直至液体底部。第三章流体运动学3.1 流体运动的描述描述流体运动有两种方法：拉格朗日法（法国数学家，天文学家）和欧拉法。一、拉格朗日法1方法概要着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。流体运动模型：把流体的运动看做是无数个质点运动的总和，并以个别质点作为对象加以描述，将各个质点的运动汇总就得到整个流动。2研究对象：流体质点3运动描述流体质点坐标：).,().,().,(tcbazztcbayytcbaxx（质点
30、的位移是起始坐标和时间变量的连续函数）tcba,拉格朗日变数，当研究某一接定的流体质点时，cba,是常数。流体质点速度： （将上式对时间求一阶偏导数得该质点的速度）ttcbaxtxux),(ttcbaytyuy),(ttcbaztzuz),(流体质点加速度： （求二阶偏导数得该质点的加速度）22txtuaxx22tytuayy22tztuazz缺点：流体质点的运动轨迹很复杂，这种方法描述在数学上存在困难，实用上也不需要了解质点运动的全过程，所以该法不太常用，本书后叙内容均属欧拉法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页
31、二、欧拉法1方法概要流场：充满运动流体的空间。着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的运动特性。2研究对象：流场3运动描述流速场：),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx压强场：),(tzyxpp密度场：),(tzyx其他物理量（ N）场：),(NNtzyx三、流体质点的加速度，质点导数以下为针对欧拉法加速度：求质点的加速度，就是这个质点沿程速度的变化，这样，),(tzyxuu中坐标zyx,是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是t的函数，因此，加速度需按复合函数求导法则导出：zyxuzuuyu
32、uxutudtdzzudtdyyudtdxxutudtuda分量形式：zxyxxxxxuzuuyuuxutuazyyyxyyyuzuuyuuxutuazzyzxzzzuzuuyuuxutua上式也可表示为：uutudtuda)(zkyjxitu因速度场随时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度；uu)(速度场因位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。三、两种方法的比较拉格朗日法欧拉法分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体微元的运动变形特性适合描述流体微元的运动变形特性拉格朗日观点是重要
33、的流体力学最常用的解析方法3.2 欧拉法的基本概念一、流动的分类1按照流体性质分：理想流体的流动和粘性流体的流动不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动2按照流动状态分：恒定流动和非恒定流动有旋流动和无旋流动层流流动和紊流流动3按照流动空间的坐标数目分：一维流动、二维流动和三维流动简述几种流动：1恒定流和非恒定流恒定流流动参量不随时间变化的流动。),(),(),(zyxzyxppzyxuu特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。非恒定流流动参量随时间变化的流动。),(),(),(tzyxtzyxpptzyxuu特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与
34、时间有关。2一维流动、二维流动和三维流动 定义流动参量是几个坐标变量（和时间变量）的函数，即为几维流动。一维流动)(xuu),(txuu二维流动),(yxuu),(tyxuu三维流动),(zyxuu),(tzyxuu 实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。3均匀流和非均匀流均匀流质点的迁移加速度为零的流动。即uu)(=0 非均匀流uu)(0 二、流线（和迹线）（一）流线1定义在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法。2流线微分方程微分方程：取微元线段rd0urd即：zyxudzudyudx因流线是对同一时刻
35、而言，所以微分方程中，时间t是参变量，在积分求流线方程时将做为常数。3流线的性质（1）流线彼此不能相交。 （一些特殊点相交，如驻点，相切点、奇点，图点）驻点加速度为零的点奇点速度无穷大的点（2）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点。（3）均匀流动时流线形状不变，非均匀流动时流线形状发生变化。（恒定流流线的形状和位置不随时间变化；非恒定流流线随时间变化。均匀流流线是相互平行的进线，且同一流线上各点的流速相等。）（二）迹线1定义 流体质点在某一时段的动运轨迹。是拉格朗日方法研究的内容。由运动方程dtudzdtudydtudxzyx得到迹线的微分方程dtudzudyudxzyx讨论：在恒定流中，流线
36、不随时间变化，流线上的质点沿流线运动，此时流线和迹线在几何上是一致的，两者重合。三、流管、过流断面、元流和总流1流管、流束流管在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。流束流管内部的流体称为流束。（封闭曲线无限小时所形成的流管为微元流管，微元流管的极限为流线。）讨论：流体不能由流管壁出入；恒定流流管、流束的形状不随时间变化。2过流断面过流断面在流束上作出的与流线正交的横断面。讨论：过流断面只有在流线相互平行的均匀流段才是平面，其它的都是曲面。3元流和总流元流过流断面无了限小的流束；几何特征与流线相同。断面上各点的运动参数（如puz,
37、均相同。总流过流断面粗限大小的流束，由无数元流构成，断面上各点的运动参数一般情况下不相同。四、流量、断面平均流速1流量单位时通过某一过流断面的流体量称为该断面的流量。若通过的量是体积就是体积流量，简称流量；若通过的量的质量，则称为质量流量。若以dA表示过流断面的微元在积，则体积流量AudAQsm /3质量流量AmudAQskg /对于均匀不可压缩液体，有QQm2断面平均流速 设 想 过 流 断 面 上 流 速v均 匀 分 布 ， 通 过 的 流 量 与 实 际 流 量 相 同 ， 则v即 为 该 断 面 平 均 流 速 ， 即AQvvAudAQA/精选学习资料 - - - - - - - -
38、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页3.3 连续性方程一、连续性微分方程1公式0)(0)()()(udivtzuyuxutzyx或zuyuxuudivzyx速度场的散度。2推导本质：质量守恒定律如图，流体可不受影响地通过图中直角六面体：dt时间控制体的总净流出质量为dxdydzdtzuyuxuMMMzyxzyx)()()(xMx方向净流出质量根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量等于控制体内由于密度变化而减小的质量，即dxdydzdttdxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)(0)()()(udivtzuyuxutzyx或上式为连续性微分方程的
39、一般形式。zuyuxuudivzyx速度场的散度。* 均质的不可压缩流体，常数，则0zuyuxuzyx或0ud i v二、连续性微分方程对总流的积分1公式21QQ或2211v vAA液体总流的连续性方程。2推导设如图所示为恒定总流控制体，体积为V。对其连续性微分方程积分有：0)(dAudvzuyuxuAnVzyxA体积V的封闭表面；nu为u在微元面积dA外法线方向的投影。因侧表面上0nu，由上式得0122211AAdAudAu式中第一项1u方向与1dA外法线方向相反，取负号。则2121Q21QdAudAuAA或2211v vAA液体总流的连续性方程。21,vv总流断面平均流速。3.4 流体微团
40、运动分析P59第四章流体动力学基础4.1 流体的运动微分方程一、理想液体运动微分方程1公式zzyzxzzzzyyyxyyyzxyxxxxxuzuuyuuxutudtduzpZuzuuyuuxutudtduypYuzuuyuuxutudtduxpX111上式为理想流体运动微分方程式（欧拉运动微分方程式）用向量表示uutupf)(12推导理想流体内不存在切应力，只有压强。如图理想流体微团：六面体中心点O，速度u，压强p。dxdydzXFdydzpPdydzpPdxxpppdxxpppBXNNMMNM2121质量力dtdumxBXF由牛顿第二定律dtdudxdydzdxdydzXdydzdxxppd
41、xxppx2121得化简得dtduxpXx1同理dtduzpZdtduypYzy11将加速度项展成欧拉法表达式，有zzyzxzzzzyyyxyyyzxyxxxxxuzuuyuuxutudtduzpZuzuuyuuxutudtduypYuzuuyuuxutudtduxpX111上式为理想流体运动微分方程式（欧拉运动微分方程式）用向量表示uutupf)(1二、粘性流体运动微分方程1粘性流体的动压强粘性流体由于粘性作用，运动时出现切应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关，以应力符号的第一个下角标表示作用面的方位，第二个角标表求应力的方向。则zzyyxxppp在粘性流体中，把某点三个正交面上
42、的法向应力的平均值定义为该点的动压强，以p表示，)(31zzyyxxpppp2应力和变形速度的关系3粘性流体运动微分方程zzyzxzzzzyyyxyyyzxyxxxxxuzuuyuuxutuuzpZuzuuyuuxutuuypYuzuuyuuxutuuxpX222111用向量表示uutuupf)(122222222zyx拉普拉期算子。4.2 元流的伯努利方程一、理想流体运动微分方程的伯努利积分不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。1公式cgupzgugpzgugpzcgugpzcupgz2222222222211122或或伯努利方程物理意义： 不可压缩理想流体在重力场中作恒定流动
43、时，沿流线单位质量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。伯努利方程应用条件：理想流体；恒定流动；质量力中只有重力；沿元流（流线）；不可压缩流体。2推导理想流体运动微分方程是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最为著名的是伯努利积分。由式dtduzpZdtduypYdtduxpXzyx111各式分别乘以沿流线的坐标增量dzdydx,，然后相加，得dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx)(1（a）引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力只有重力；gZYX,0gdzZdzYdyXdx（b）（2）不可压缩流体，恒定流动；),(,zyxpp常数p
44、ddpdzzpdyypdxxp1)(1（c）（3）恒定流流线与迹线重合。dtudzdtudydtudxzyx则222222uduuuddzdtdudydtdudxdtduxxxzyx（d）将式（ b） （c） （d）代入式（ a） ，积分得cgupzgugpzgugpzcgugpzcupgz2222222222211122或或伯努利方程二、伯努利方程的物理意义和几何意义1物理意义cgugpz22式中z单位重量流体具有的位能（重力势能）；gp单位重量流体具有的压能（压强势能）；gpz单位重量流体具有的总势能；gu22单位重量流体具有的动能；gugpz22单位重量流体具有的机械能。cgugpz22
45、表示理想流体的恒定流动，沿同一元流（沿同一流线），单位重量流体的机械能守恒，又称为能量方程。2几何意义cgugpz22式中各项的几何意义是不同的几何度度：z位置高度，又称位置水头；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页gp测压管高度，又称压强水头；gpzHp测压管水头；gu22流速高度，又称流速水头。gugpzH22总水头cgugpz22表示理想流体的恒定流动，沿同一元流（沿同一流线）各断面的总水头相等，总水头线是水平线。三、粘性流体元流的伯努利方程粘性流体运动时产生流动阻力，使流体的一部分机械能转化为热能而散失，因此
46、，粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒而是减小，总水头线不是水平线，而是沿程下降线。设wh为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1-1 至 2-2 的机械能损失，则whgugpzgugpz2222222111粘性液体元流的伯努利方程式。4.3 恒定总流的伯努利方程一、渐变流及其性质渐变流质点的迁移加速度（位变加速度）很小，0)(uu的流动，流线平行或接近平行的流动。急变流：流线间相互不平行，有夹角的流动。渐变流是均匀流的宽延，均匀流的性质对于渐变流都近似成立：（1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行；（2）恒定渐变流过流断面上的动压强近静压强的规律分布，即cgpz
47、二、总流的伯努利方程1公式whgvgpzgvgpz222222221111粘性流体总流的伯努利方程总流的伯努利方程适用条件：恒定流动；质量力只有重力；不可压缩流体；所取过流断面为渐变流断面；两断面间无分流和汇流。即重力作用下不可压缩粘性流体恒定流动任意两缓变流截面。2推导设恒定总流，如图，过流断面1-1、2-2 为渐变流断面，面积为21, AA，在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为1111,upzdA；2222,upzdA。gdQhgdQgugpzgdQgugpzdAgudAgugdQhgugpzgugpzww222222222111221122222111乘上式得
48、以总流是由无数元流构成的，上式对总流进流断面积分，便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系gdQhdAgugudAgugpzdAgugudAgugpzQwAAAA2222222211211111221122（a）下面确定三种类型的积分：（1）gudAgpzA因所取过流断面是渐变流断面，Cgpz，则gQgpzgudAgpzA（b）（2）gdAgugudAguAA2232各点u不同，引入校正系数，积分按断面平均速度v计算gQgvgdAguA2223（c）动能校正系数，AvdAugdAgvgdAguAAA333322，分布较均匀的流动=1.051.10，常取=1。（3）gdQhQw设wh为总流单
49、位重量流体由断面1-1 至 2-2 断面的平均机械能损失，称总流的水头损失。gQhgdQhwQw（d）将（ b） 、 （c） 、 （d）代入（ a）gQhgQgvgQgpzgQgvgQgpzw2222222121111122两断面间无分流及汇流，QQQ21，并以gQ除上式，得whgvgpzgvgpz222222221111粘性流体总流的伯努利方程三、总流伯努利方程的物理意度和几何意义总流伯努利方程的物理意度和几何意义同元流伯努利方程类似，但需注意“平均”意义。gv22总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或流速水头；wh总流两断面间单位重量流体平均机械能损失。四、水头线总水头线是沿
50、程各断面总水头gvgpzH22的连线。粘性流 体 的 总 水 头 线 沿 程 单 调 下 降 ， 下 降 快 最 用 水 力 坡 度J表 示 ：dldhdldHJw测压管水头线是沿程各断面测压管水头gpzHP的连线。沿线可升、可降，也可不变。其变化情况用测压管水头线坡度PJ表示：dldHJPP负号使测压管水头线下降时PJ为正值，上升时为负值。五、总流伯努利方程应用的补充论述1气流的伯努利方程（气体是可压缩流体）2有能量输入或输出的伯努利方程wmhgvgpzHgvgpz222222221111mH表示单位重量流体通过流体机械（如水泵）获得的机械能，又称为水泵的扬程；mH表示单位重量流体给予流体机