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1、高考数学复习解排列组合应用题的21 种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的,A B C D E,A BBA排法种数有A、60 种 B、48 种 C、36种 D、24 种2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上
2、述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种 B、3600 种 C、4820种 D、4800 种3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .例 3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那,A B C D EBA,A B么不同的排法种数是A、24 种 B、60 种 C、90种 D、120 种4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2
3、，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种 B、9 种 C、11种 D、23 种5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出 4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260种 B、2025 种 C、2520种 D、5040 种（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A、种 B、种 C、种 D、种4441284C C C44412843C C C4431283C C A444128
4、433C C CA6. 全员分配问题分组法 :例 6. （1）4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480种 B、240 种 C、120种 D、96 种7. 名额分配问题隔板法 :例 7.10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8. 限制条件的分配问题分类法:例 8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？名师资料总结 - - -精
5、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 9. 多元问题分类法： 元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计 .例 9. （1）由数字 0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210种 B、300 种 C、464种 D、600 种（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从 1，2，3
6、，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？10. 交叉问题集合法： 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.()()( )()n ABn An Bn ABUI例 10. 从 6 名运动员中选出4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11. 定位问题优先法： 某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12. 多排问题单排法 : 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，
7、再分段处理.例 12. （1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是A、36 种 B、120 种 C、720种 D、1440 种（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？13.“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法: 抽取两类混合元素不能分步抽.例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种 B、80 种 C、70种 D、35 种14. 选排问题先取后排 : 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位
8、置上，可用先取后排法 .例 14. （1）四个不同球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？15. 部分合条件问题排除法 : 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种 B、64 种 C、58种 D、52 种（2）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有A、150种 B、147 种 C、144种 D、141 种16. 圆排问题线排法 : 把
9、个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按nn顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通n排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重12323411,;,;,nnnna aaa aa aaaaaLLLL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 合，故认为相同，个元素的圆排列数有种. 因此可将某个元素固定展成线排
10、，其它n!nn的元素全排列 .1n例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17. 可重复的排列求幂法 : 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数nm有种方法 .nm例 17. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？18. 复杂排列组合问题构造模型法:例 18. 马路上有编号为 1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 19. 设有编号
11、为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 20. （1）30030 能被多少个不同偶数整除？（2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？21. 利用对应思想转化法 : 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 21. （1）圆周上有 10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路AB
12、径有多少种？AB答案1. 解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4 人的全排列，,A BBA种，答案：.4424AD2. 解析：除甲乙外，其余5 个排列数为种，再用甲乙去插6 个空位有种，不同的55A26A排法种数是种，选.52563600A AB3. 解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全BABA排列数的一半，即种，选.551602AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4. 解
13、析：先把 1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9 种填法，选.B5. 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.21110872520C C CC6. 答案：.A7. 解析：把四名学生分成3 组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故24C33A共有种方法 .234336C A说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.8. 答案：.B9
14、. 解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成7 堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.6984C10. 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3 种方48A法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有38A383A种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7 种方法，然后再安排其余8 人到另外两383A个城市有种，共有方法. 所以共有不同的派遣方法总数为28A
15、287A种.433288883374088AAAA11. 解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3 和 4 共 5 种情况，分别有、55A、113433A A A113333A A A和个，合并总计 300 个, 选.113233A A A1333A AB12. 解析：被取的两个数中至少有一个能被7 整除时，他们的乘积就能被7 整除，将这100个数组成的集合视为全集I, 能被 7 整除的数的集合记做共有 147,14,21,98AL个元素 , 不能被 7 整除的数组成的集合记做共有 86 个元素；由此1,2,3,4,100IALe可知，从中任取 2 个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取
16、一个共有A214CAIAe，两种情形共符合要求的取法有种.111486C C2111414861295CC C13. 解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集1,2,3,100IL；能被 4 除余 1 的数集，能被 4 除余 2 的数集4,8,12,100AL1,5,9,97BL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - ，能被 4 除余 3 的数集，易见这四个集合中每一个有2,6,98CL3,7,11,99DL25
17、个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取A,B DC两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.211225252525CC CC14, 解析：设全集 =6 人中任取 4 人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.( )()( )()n In An Bn AB43326554252AAAA. 法；所以共有种.143472A A16. 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6 个不同的元素排成一排，共种，选.C17. 解析：看成一排，某2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有种
18、，某 1 个元24A素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有种，故14A55A共有种排法 .1254455760A A A18. 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种, 选.33394570CCCC解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2 台；甲型 2台乙型 1 台；故不同的取法有台, 选.2112545470C CC CC19. 解析： “先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种， “再排”在24C四个盒中每次排 3 个有种，故共有种.34A2344144C
19、 A20. 解析：先取男女运动员各2 名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排2254C C22A法，故共有种.222542120C C A21. 解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但 6 个表面和48C6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.481258C22. 解析： 10 个点中任取 4 个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体410C的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边46C464C中点的平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6 个. 所以四点不共面的情况的种数是种.4410643614
20、1CC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 23. 解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位44A均可插入其姐姐的左边和右边，有2 种方式，故不同的安排方式种不同站524 2768法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法 .nm1mnAm24. 解析：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案
21、，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案 .6725. 解析：把此问题当作一个排对模型，在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯种方法 , 所以满足条件的关灯方案有10 种.35C说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.26. 解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不25C能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时， 3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时， 4，5 号球只有 1 种装法， 3 号球装入 5 号盒子时， 4，5
22、号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有2 种装法，因此总共装法数为种.25220C27. 解析：先把 30030 分解成质因数的形式： 30030=2 3571113 ；依题意偶因数 2 必取， 3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.01234555555532CCCCCC28 解析：因为四面体中仅有3 对异面直线，可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有358=174 对.481258C29. 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，
23、一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相410C交于圆内的交点有个.410C30. 解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走 7 小段，其中：向AB东 4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.47C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -