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1、一、第六章习题详解6.1 证明（ 6.2.1）和 (6.2.2)式 . 证明：(1) niiniiniinbXanbaXnYnY111)(1)(11bXabXnanii1)1(2) niiniiYbXabaXnYYnS12122)()(1)(112212212)(1)(1XniiniiSaXXnaXXan6.2 设nXXX,21是抽自均值为、 方差为2的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2(),()/E XVar Xn. 证：()E X1212111()()()nnEXXXE XXXnnnnLL()Var X22121222111()()()nnVarXXXE XXXnnnnn
2、LL6.3 设nXXX,21是抽自均值为、方差为2的总体的样本,2211()1niiSXXn, 证明 : (1) 2S)(11212XnXnnii(2) 2()E S2证： (1) niiiniiXXXXnXXnS122122)2(11)(112)(112112XnXXXnniinii)(2)(11212XnXnXXnnii)(11212XnXnnii(2) )(11)(2122XnXEnSEnii)()(11212XnEXEnnii)()()()(11212XEXVarnEXXVarnniii)()(1122122nnnni)()(112222nnn222)(11nn6.4 在例 6.2.3
3、 中, 设每箱装 n瓶洗净剂 . 若想要 n瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%, 请问 n至少应该等于多少？解：因为1)3.0(2)/3 .0|/(|)3.0|(|nnnXPXP依题意有，95.01)3 .0(2n，即)96.1(975.0)3.0(n于是96.13 .0n，解之得7 .42n所以 n 应至少等于43. 6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值200 欧姆 , 标准差10 欧姆的分布 , 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻 . (1) 求这 25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; (2) 求这 25个电阻总阻值不超过5100
4、 欧姆的概率 . 解：由抽样分布定理，知nX/近似服从标准正态分布N(0,1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(XP)5.0(1)1()5 .0() 1(5328.06915.018413. 0(2) )204()255100()5100(XPXPXnP9772.0)2()25/10200204(6.6 假设某种设备每天停机时间服从均值4 小时、标准差0.8小时的分布 . (1) 求一个月 (30天 ) 中 , 每天平均停机时间在1到5小时之间的概率; (2) 求一个月 (30天 ) 中 , 总的停机时间不超过115 小时的概率 . 解： (1)
5、30/8.041()30/8 .045()/1()/5()51(nnXP1)54.20()85.6(2) )30115()11530(XPXP1271.08729.01)14.1(1)30/8.0430/115(6.7 设nTt，证明( )0,2,3,.E TnL证：)(nt分布的概率密度为: tnxnnnxfn,1)2/(2/ )1()(212，()( )E Txf x dx=1122222122(1)/ 2(1)/ 211(1)2(/ 2)( / 2)(1) / 2101(/ 2)nnnnxnnxxxdxdnnnnnnnnnxnnnn6.8 设总体 X N(150，252), 现在从中抽取
6、样本大小为25的样本 , 140147.5PX. 解：已知150，25，25n，)25/25150140()25/251505 .147()5 .147140(XP)5.0()2()2()5.0(2857.09615.09772.06.9 设某大城市市民的年收入服从均值1.5万元、标准差0.5万元的正态分布. 现随机调查了 100 个人 , 求他们的平均年收入落在下列范围内的概率: (1) 大于 1.6万元 ; (2) 小于 1.3万元 ; (3) 落在区间 1.2，1.6 内. 解：设 X 为人均年收入，则)5.0 ,5 .1(2NX，则)1005.0, 5.1(2NX，得(1) )100/
7、5 .05.16 .1(1)6 .1(1)6.1(XPXP0228.09772.01)2(1(2) 011)4(1)4()100/5 .05.13.1()3 .1(XP(3) )100/5 .05.12 .1()100/5 .05.16.1()6.12 .1(XP9772.0)6()2(6.10 假设总体分布为N(12 ，22), 今从中抽取样本125,XXXL. 求(1) 样本均值 X 大于 13的概率 ; (2) 样本的最小值小于10的概率 ; (3) 样本的最大值大于15的概率 . 解：因为)2,12(2NX，所以22(12,)5XN，得(1) )5/21213(1)13(1)13(XP
8、XP1314.08686.01)12.1(1(2) 设样本的最小值为Y，则),(521XXXMinY，于是)10(1)10(YPYP)10()10()10(1521XPXPXP)21210(11)10(1 15151iiiXP5785.0)8413.0(1) 1 (1)1(1155151ii(3) 设样本的最大值为Z，则),(521XXXMaxZ，于是)15(1)15(ZPZP)15()15()15(1521XPXPXP)21215(151i2923.0)9332. 0(1)5.1 (1551i6.11 设总体),(2NX，从中抽取容量样本1216,XXXL, 2S为样本方差. 计算222.0
9、4SP. 解因为),(2NX由定理 2, 得),1()1(21222nXXSnnii所以, 1) 1(22nSnE),1(2)1(22nSnD于是,)(22SE).1/(2)(42nSD当16n时, ,15/2)(42SD且2222/2.0415/30.615P SPS615.30/15122SP99.001.01).578.30)15(201. 0第六章 样本与统计量定理、公式、公理小结及补充：（ 1）数 理统 计 的 基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体 （或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量） 。个体总体中的每一个单元称为
10、样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示 n 个随机变量 （样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示 n 个具体的数值 （样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设nxxx,21为总体的一个样本，称（nxxx,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值.11niixn
11、x样本方差niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112niixxnS样本 k 阶原点矩nikikkxnM1.,2 ,1,1样本 k 阶中心矩nikikkxxnM1., 3, 2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE, 其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（ 2）正 态总 体 下 的四大分布正态分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1 , 0(/Nnxudeft 分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(/ntnsxtdef其中 t(n-1)表示自由度为n-1 的 t 分布。分布2设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1()1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1 的2分布。F 分布设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1, 1(/2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1, 1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F 分布。（ 3）正 态总 体 下 分布的性质X与2S独立。