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1、愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！1高等数学公式导数公式：1(arcsin x) =(tgx) =sec x21 x2(ctgx) = csc x21(arccosx) = (secx) =secxtgx1 x2(cscx) = cscxctgx1+(arctgx) =(ax) = axlna1x2111+ x(log x) =(arcctgx)=a2xlna基本积分表：tgxdx= lncosx +Cdx= sec2xdx = tgx+Ccosdx2xctgxdx = lnsinx +C=csc2xdx = ctgx+Csecxdx = lnsecx+tgx +Ccscxdx = ln
2、cscxctgx +C2sin xsecxtgxdx = secx+ Ccscxctgxdx = cscx+Cdx+ xdx1x=arctg+Caxa2222aaxaaxaxdx =+C1lnashxdx = chx+C=ln+Ca2ax+adx xdx1a+ xln+Cchxdx = shx+C222aa xdxx= ln(x+x2a )+C2= arcsin+C2a2a2x2ax22n1I =sinnxdx = cosnxdx =In2nn00 xa2xxa222+aa x222dx =dx =dx =xxa222+a222+ln(x+x2+aa2)+C+C2x2x22aa2a xln x
3、+x2222xarcsin+C2a三角函数的有理式积分：2u ，cosx =1u22x2dusin x =，u =tg，dx =1+u21+u21+u2愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！2一些初等函数：两个重要极限：xxexsin x双曲正弦:shx =elim=12x0 x+ex1x双曲余弦:chx =elim(1+) = e = 2.718281828459045.2xxshxchxexxe+exx双曲正切:thx =earshx = ln(x+x2+1）1)archx = ln(x+x211+ x1 xarthx =ln2三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 A-s
4、incos-tg-ctgcossinctgtgcos-sin-ctg-tgsin-cos-tg-ctg-sin-costgctg-cos-sinctgtg-cossin-ctg-tg-sincos-tg-ctgsincostgctg90-90+180-180+270-270+360-360+和差角公式：和差化积公式： + 2 2 sin( ) = sin cos cos sincos( ) = cos cos msin sinsin +sin = 2sincossin + sin sin = 2coscos +cos = 2coscos cos = 2sintg tg1mtg tgtg( )
5、=22 + 2 cosctg ctg m1ctg ctg2 2ctg( ) = + sin2愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！3倍角公式：sin2 = 2sin cossin3 =3sin 4sincos3 = 4cos 3cos3tg tg3cos2 = 2cos2 1=12sin2 = cos2 sin23ctg2 12ctg2tgctg2 =3tg3 =13tg 2tg2 =1tg 2半角公式：sin= 21cos1+coscos= 2221cos1cossin1+cos1+cos1+cossin1costg= =ctg= =21+cossin21cossinabc正弦定理：= 2
6、R余弦定理：c2a2b22abcosC=+sin AsinBsinC反三角函数性质：arcsinx =arccosxarctgx =arcctgx22高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：n(uv)(n)=Cnku(nk)(k)vk=0n(n1)n(n1)L(nk +1)k!=u(n)vnu(n 1)v+u(n2)v+L+u(nk)v(k)+L+uv(n)2!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f bf aba)( )( ) =()(f( )( )()ff bf a柯西中值定理：=( )( )F()F bF a当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：=
7、+ 其中 ds1y dx,y = tg2s平均曲率： =K. 从点到点，切线斜率的倾角变化量； ：:MMsMM弧长。y+ (1y=dM点的曲率：K = lim=.sdss0)23直线：K = 0;1半径为a的圆：K =.a愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！4定积分的近似计算：bba矩形法：f (x) (y + y +L+ y)01n1nabba 1梯形法：f (x) (y + y )+ y +L+ y0n1n1n2abba抛物线法：f (x) (y + y )+2(y + y +L+ y)+4(y + y +L+ y)0n24n213n13na定积分应用相关公式：功：W = F s水压力
8、：F = p Am m引力：F = k12,k为引力系数r2b1ba函数的平均值：y =f (x)dxab1ba均方根：2f (t)dta空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d = M M=(x x )2+(y y )2+(z z )212212121向量在轴上的投影：Pr j AB = AB cos,是AB与u轴的夹角。uv1vvv1vPr j (a +a ) = Pr ja +Pr javu22vvab = a b cos = a b +a b +a b ,是一个数量,xxyyzza b +a b +a bzz两向量之间的夹角：cos =xxyyax2ayaz+2+2 bx+by+bz
9、222ijkvvvvvvvvvc = ab = aaya , c = a b sin.例：线速度：v = wr.xzbxbybzaxayaz向量的混合积：abc= (ab)c = bbyb = ab c cos,为锐角时，vvvv vvvvvxzcxcycz代表平行六面体的体积。愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！5平面的方程：v1、点法式：A(x x )+B(y y )+C(z z ) = 0，其中n =A,B,C,M (x ,y ,z )00000002、一般方程：Ax+ By+Cz+ D =0 xyz3、截距世方程：+=1abcAx + By +Cz + D平面外任意一点到该平面的距
10、离：d =000A2+ B2+ C2x = x +mtxx0myy0zz00v空间直线的方程：=t,其中s =m,n, p;参数方程：y = y +nt0npz = z + pt0二次曲面：x2y22z221、椭球面： +=1a2bcx2y22、抛物面：+= z（, p,q同号）2p2q3、双曲面：x2yby2222zcz2222单叶双曲面： +=1ax22双叶双曲面： =（1 马鞍面）a2bc多元函数微分法及应用zzuxudx+dy+dzyzu全微分：dz =xdx+dydu =y全微分的近似计算：z dz = f (x,y)x+ f (x, y)yxy多元复合函数的求导法：dzz uz v
11、dtu tv tz = fu(t),v(t)=+zz uz vz = fu(x,y),v(x,y)=xu xv x+当u =u(x,y)，v = v(x,y)时，uxuyvxvydu =dx+dydv =dx+dy隐函数的求导公式：dyFxFyd2yFxFxdy隐函数F(x,y) = 0，= ，=()()dxdx2xFyyFydxzxFxFzyzFy隐函数F(x,y,z) = 0，= ，= Fz愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！6FFuvGGF(x, y,u,v) = 0隐函数方程组：(F,G)(u,v)FuFv=J=G(x,y,u,v)0=GuGvuvuxuy1 (F,G)= J(x,
12、v)v1 (F,G)J(u,x)1 (F,G)= xv1 (F,G)= J(y,v)= yJ(u,y)微分法在几何上的应用：x =(t)空间曲线x x0y y0z z0处的切线方程：y=(t)在点M(x ,y ,z )=000(t )(t )(t )0z =(t)00在点M处的法平面方程：(t )(xx )+(t )(yy )+(t )(z z ) = 0000000=vFyFzFxFyF(x,y,z)0FzFx若空间曲线方程为：,则切向量=T,G(x,y,z) = 0GyGGzGGxGzxy曲面F(x,y,z) = 0上一点M(x , y ,z )，则：000v1、过此点的法向量：n =F
13、(x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z )x000y000z0002、过此点的切平面方程：F (x ,y ,z )(x x )+ F (x , y ,z )(y y )+ F (x ,y ,z )(z z ) = 0 x0000y0000z0000 xx0yy0zz03、过此点的法线方程：=F (x ,y ,z )F (x ,y ,z )F (x ,y ,z )x000y000z000方向导数与梯度：fflxfy函数z = f (x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为： =cos +sin其中为x轴到方向l的转角。f vf v函数z = f (x,y)
14、在一点p(x,y)的梯度：gradf (x,y) =i +yjxfvvvv它与方向导数的关系是： = grad f (x,y)e，其中e = cos i +sin j，为l方向上的l单位向量。fl是gradf (x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设f (x ,y ) = f (x ,y ) = 0，令：f (x ,y ) = A,f (x ,y ) = B,f(x ,y ) =Cx00y00 xx00 xy00yy00 0时，00A 0,(x ,y )为极小值00则：AC B2 0)的引力：F =F ,F ,F ，其中：xyz(x,y)xd(x,y)yd(x,y)xdF = fx，
15、F = f，F = faz32y3232D(x2+ y2+a2)D(x2+ y2+a2)D(x2+ y2+a )2柱面坐标和球面坐标：x = rcos柱面坐标：y = rsin,f (x,y,z)dxdydz =F(r,z)rdrddz,z = z其中：F(r,z) = f (rcos,rsin,z)x = rsincos球面坐标：y = rsinsin，dv = rd rsin d dr = r2sindrddz = rcos2r(, )f (x, y,z)dxdydz =F(r,)r2sindrdd =d dF(r,)r sindr2000111重心：x =xdv,y =ydv,z =zd
16、v，其中M = x =dvMMM转动惯量：I =(y2+ z2)dv，I =(x2+ z2)dv，I =(x2+ y )dv2xyz曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x =(t)设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：y =(t),( t ),则： x =tf (x, y)ds =f(t),(t) (t)+22(t)dt( )特殊情况：y =(t)L愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！8第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x =(t)y =(t)设L的参数方程为，则：P x y dx+Q x y dy =P t t t +Q t t tdt( , )( , ) ( ),(
17、)( ) ( ),( )( )L两类曲线积分之间的关系：Pdx+Qdy = (Pcos +Qcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPxyQPxy格林公式：()dxdy =Pdx+Qdy格林公式：()dxdy =Pdx+QdyDLDLQP当P = y,Q = x，即：xy1= 2时，得到D的面积：A=dxdy =xdy ydx2DL平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；QP2、P(x,y)，Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数，且 xy。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QPxy时，Pdx+Qdy才是二
18、元函数u(x,y)的全微分，其中：在(x,y)u(x, y) =P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x = y = 0。00(x ,y )00曲面积分：对面积的曲面积分： f (x,y,z)ds =fx, y,z(x,y) 1+ zx2(x,y)+ z2y(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydz +Q(x,y,z)dzdx+ R(x,y,z)dxdy，其中：R(x, y,z)dxdy = Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x, y,z)dydz = Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x, y,z)dzd
19、x = Qx, y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz +Qdzdx+ Rdxdy =(Pcos +Qcos + Rcos)ds高斯公式：愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！9PQRxyz(+)dv =Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =(Pcos + Qcos + Rcos )ds高斯公式的物理意义 通量与散度：PQRvv散度：div =+,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0,则为消失.xyzvv通量： Ands =A ds =(Pcos + Qcos + Rcos )ds，nv因此，高斯公式又可写 成： divA
20、dv =A dsn斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：QPRQPR()dydz +()dzdx+()dxdy =Pdx+Qdy+ Rdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：=xyzxyzPQRPQRRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：=，=，=zxxyyzijkv旋度：rotA=xyzPQRvvv向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx+Qdy+ Rdz =Atds常数项级数：1qn等比数列：1+q+q2+L+qn 1=1q(n+1)n等差数列：1+2+3+L+n =2111调和级数：1+L+是发散的23n级数审敛法：愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感
21、动！101、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数发散nnn =1时，不确定2、比值审敛法： 1时，级数发散nUn =1时，不确定3、定义法：s =u +u +L+u ;lims 存在，则收敛；否则发散。n12nnn交错级数u u +u u +L(或u +u u +L,u 0)的审敛法 莱布尼兹定理：1234123nu unn+1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s u ,其余项r的绝对值r u。1nnn+1limu = 0nn绝对收敛与条件收敛：(1)u +u +L+u +L，其中u 为任意实数；12nn(2)u + u + u +L+ u +L123n如果(2)收敛，则
22、(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n发散，而调和级数：收敛；nn1级数：收敛；n2时发散p 1时收敛1p级数：np幂级数：愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！111+Lx 1时，收敛于1 xx 1时，发散1+ x+ x + x +L+ x23n对于级数(3)a +a x +a x2+L+a xn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全012nx R时发散，其中R称为收敛半径。x = R时不定1 0时，R =an+1求收敛半径的方法：设lim= ，其中a ，a是(3)的系数，则 = 0时，R = +nn+1nan = +时，R
23、 = 0函数展开成幂级数：(n)f (x )f(x )0函数展开成泰勒级数：f (x) = f (x )(x x )+0(x x )2+L+(x x ) +Ln00002!n!(n+1)()f余项：R =(x x )n+1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR = 0n+0n(n1)!n(n)f (0)f(0)nx = 0时即为麦克劳林公式：f (x) = f (0)+ f (0)x+0 x2+L+x +L2!n!一些函数展开成幂级数：m(m1)m(m1)L(mn+1)n(1+ x)m=1+mx+x2+L+x +L(1 x 1)2!n!x3x5x2n1sin x = x+L+(
24、1)n1+L( x 0)y = c er x+c er x1212两个相等实根(p22 q =40)0)y = (c +c x)er x121一对共轭复根(p4q yex(c cosxc sinx)=+21r = +i，r = i124q p2p = ， =22二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy = f (x)，p,q为常数f (x)eP (x)型，为常数；=xmf (x)exP(x)cosxP (x)sinx型=+nl概率公式整理1随机事件及其概率A = 吸收律：A = AA(AB) = AA = AA = A(AB) = AA B = AB = A(AB)反演律：AB = A B
25、AB = A BnnnnUA =IAIA =UAiiiii=1i=1i=1i=12概率的定义及其计算P(A) =1 P(A)若A B P(B A) = P(B) P(A)愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！15对任意两个事件A, B, 有P(B A) = P(B) P(AB)加法公式：对任意两个事件A, B, 有P(AB) = P(A)+ P(B) P(AB)P(AB) P(A)+ P(B)nnnP(UA )=P(A )P(A A )1i jn+P(A A A )L+ (1)n 1P(A A LA )+iiijijk12ni=1i=11i j 0)P(A A LA ) =P(A )P(AA
26、)LP(AA ALA)12n121n12n1(P(A A LA) 0)12n1全概率公式nnP(A) =P(AB ) =P(B )P(A B )iiii=1i=1Bayes 公式P(AB )P(B )P(A B )kkP(BA) =k=knP(A)P(B )P(A B )iii=14随机变量及其分布分布函数计算P(a 0nnklimC p (1 p )= eknknnkn有k!nk = 0,1,2,L(3)Poisson 分布P()kP(X = k) = e, k = 0,1,2,Lk!6连续型随机变量(1)均匀分布U(a,b) 1,a x e,x0f (x) = 0,其他愿将过往寄存于星空，
27、抬头皆是耀眼的感动！170,x 0F(x) =1e x,x 0(3) 正态分布N ( , 2 )(x)2221f (x) =F(x) =e x +2 (t)21xe22dt2* N (0,1) 标准正态分布x21(x) =(x) =e x +22t21xe2dt x +27.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数xyF(x, y) =f (u,v)dvdu边缘分布函数与边缘密度函数 x+F (x) =Xf (u,v)dvdu+f (x) =Xf (x,v)dv y+F (y) =Yf (u,v)dudv+f (y) =Yf (u, y)du8.连续型二维随机变量(1)区域G
28、 上的均匀分布，U ( G )1,(x, y)Gf (x, y) =A 0,其他愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！18(2)二维正态分布(x)2(x)(y21)+(y)1212212)2 2 f (x, y) = e2(1 11222 1 212 x +, y 0XXY X= f (y) f(x y)f (y) 0YYX Y+f (x) =f (x, y)dy =f (x, y)dx =f(x y) f (y)dyX YYX+f (y) =YfY X(y x) f (x)dxXfY X(y x) f (x)f (x, y)Xf(x y) =X Yf (y)Yf (y)Yf(x y) f
29、(y)f (x, y)YfY X(y x) =X Yf (x)Xf (x)X10.随机变量的数字特征数学期望+E(X) =x pkkk=1+E(X) =xf (x)dx随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩E(X )kX 的 k 阶绝对原点矩E(| X | )k愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！19X 的 k 阶中心矩E(X E(X)k)X 的 方差E(X E(X)2) = D(X)X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XklY )X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩E(X E(X) (Y E(Y)klX ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY)X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的
30、协方差E(X E(X)(Y E(Y)X ,Y 的相关系数(X E(X)(Y E(Y)D(X)D(Y)E= XYX 的方差D (X ) = E (X - E(X)2)D(X) = E(X2) E (X)2协方差cov(X,Y) = E(X E(X)(Y E(Y)= E(XY) E(X)E(Y)1= (D(X Y) D(X) D(Y)2相关系数愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！20cov(X,Y)=XYD(X)D(Y)线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而
31、简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算A+ B = B + A(A+ B)+C = A+(B +C)c(A+ B)= cA+ cB(c + d)A = cA+ dAc(dA)=(cd)AcA = 0 c = 0或A = 0。(A)= ATT(A B)= A BTTT(cA)T= c(A)。T(AB)T= B ATTn(n1)(n(n 1)L21)= C=2n2D = a A+ a A+L+ aA2n2n21212222转置值不变AT= A1逆值变A1=AcA =
32、 cnA, + , = , , + , ,1212A =( , ,)，3 阶矩阵123愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！21B =( , ,)123A+ B A + BA+ B =( + , + , + )112233A+ B = + , + , + 112233AA0= A B0BBE(i, j(c)=1有关乘法的基本运算C = a b+ a b+L+ a binnjiji1 1ji22 j线性性质(A + A)B = A B + A B，1212A(B + B)= AB + AB2121(cA)B = c(AB)= A(cB)(AB)C = A(BC)结合律(AB)= B ATTTA
33、B = A Bk+kllAkAl= A(A)= Alk(AB)= A B不一定成立！kkkAE = A，EA = AA(kE)= kA，(kE)A = kAAB = E BA = E与数的乘法的不同之处(AB)= A B不一定成立！kkk无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如A2 2A3E =(A3E)(A+ E)愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！22无消去律（矩阵和矩阵相乘）当AB = 0时 /A = 0或B = 0由A 0和AB =0 /B = 0由A 0时ABAC B = C（无左消去律）=/特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：AB = AC B
34、= C。右消去律：BA = CA B = C。如果A列满秩，则A有左消去律，即AB = 0 B = 0AB = AC B = C可逆矩阵的性质i）当A可逆时，AT也可逆，且(AT)(A1)。1=TAk也可逆，且(Ak)(A11=)k。1数c 0，cA也可逆，(cA)1=1A。cii）A，B是两个n阶可逆矩阵 AB也可逆，且(AB)1BA。=11推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB = E BA = E命题：初等矩阵都可逆，且(E(i, j)1= E(i, j) 1(E(i(c)1= Ei c(E(i, j(c)1= E(i, j(c)命题：准对角矩阵愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！23
35、A00000A111000000110A220O0001A22A =可逆每个A都可逆，记A1=ii0000O000Akk01Akk伴随矩阵的基本性质：AA*= A* A = AEA*A*当A可逆时，A= E得A1=，（求逆矩阵的伴随矩阵法）AAAAAAA*且得：()=1=()A(A)*= A(A)=11111伴随矩阵的其他性质n1A* = A,A*=A A1()*(*),A= ATTcA()*= cA*,n1(AB)* = B* A*,A* = A*k，()()k ab(A*)* = An2A。n = 2时，(A*)*= AA*= cd关于矩阵右上肩记号：T，k，1，*i) 任何两个的次序可交
36、换，A*= A*T，如()()T(A*)1=(A)*等1ii)()AB= BTA ,(AB)1= B1A1，TT(AB)*= B* A*但(AB)kB A不一定成立！=kk线性表示0 , ,L,s12愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！24 , ,L,si12 , ,L, x + x +L+ x = 有解12s1122ss( , ,L,)x = 有解(x =(x ,L,x)T12s1sAx = 有解，即可用A 的列向量组表示AB = C =(r ,r ,L,r)，A =( , ,L,)，12s12n则r ,r ,L,r , ,L,。12s12n , ,L, , ,L,，12t12s则存在矩
37、阵C，使得( , ,L,)=( , ,L,)C12t12s线性表示关系有传递性当 , ,L, , ,L, r ,r ,L,r，12t12s12p则 , ,L, r ,r ,L,r。12t12p等 价 关 系 ： 如果 , ,L,与 , ,L,互相可表示12s12t , ,L, , ,L,12t12s记作 , ,L, , ,L,。12s12t线性相关s =1，单个向量，x = 0s = 2， ,相关对应分量成比例 ,相关 a :b = a :b =L= a :bn相关 = 012121122n向量个数s=维数n，则 ,L,线性相（无）关 L=()01n1nA =( , ,L,)，Ax = 0有非
38、零解 A = 012n如果s n，则 , ,L,一定相关12sAx = 0的方程个数n s，则 ,L,一定线性相关。1t1s1t证明：记A =( ,L,)，B =( ,L,)，1s1t则存在st矩阵C，使得B = AC。Cx = 0有s个方程，t个未知数，s ) A(唯一解 (A| )= (A)= n无穷多解 (A| )=) A (n方程个数m：(A| ) m), A (m当(A)= m时，(A| )= m，有解当m n时，(A) n，不会是唯一解对于齐次线性方程组Ax = 0，只有零解 (A)= n（即A列满秩）（有非零解 (A) 0（C可逆，x 0，Cx 0！ ）TTTT我们给出关于正定的
39、以下性质A正定 AE愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！31存在实可逆矩阵C，A = C C。T A的正惯性指数= n。 A的特征值全大于0。 A的每个顺序主子式全大于0。判断A正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。基本概念对称矩阵ATA。=反对称矩阵AT=A。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：（解的情况）写出增广矩阵(A)，用初等行变换化(A)为阶梯形矩阵(B)。用(B)判别解的情况。i）如果(B)最下面的非零行为(0,L,0d)，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是(B
40、)的非零行数，则 = n时唯一解。 n时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉(B)的零行，得(B)，它是n(n+ c)矩阵，B是n阶梯形矩阵，从而是上三角000愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！32矩阵。则b 0 b 0 Lb都不为0。iin nn1n1(A)(Br)(E)就是解。行行a11a12La1na21a22La2n一个n阶行列式的值：LLLLan1an2Lann是n!项的代数和每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项aaLa其中j j L j是1,2,L,n的一个全1j2 j1njn12n2排列。aLa前面乘的应为(1)(j j Lj)(j j L j)的逆序数1
41、2n1 2n1jnjn1( )()n=1j j LjaaLanj1j2 j21n1 2j j Lj1 2nn(n1)(n(n 1)L21)= C=2n2代数余子式M为a的余子式。ijijA()i+= 1Mijjij定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。D = a A+ a A+L+ aA212122222n2n一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。范德蒙行列式11L1a1a1Lanji=(a a )Cn2个i j乘法相关AB的(i, j)位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！33C
42、= a b+ a b+L+ a binnjiji1 1ji22 j乘积矩阵的列向量与行向量（1）设mn矩阵A =( , ,L,)，n维列向量 =(b ,b ,L,b)T，则12n12nA = b +b +L+b n1122n矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式Ax = ，( =(b ,b ,L,b)T12m方程组的向量形式x + x +L+ x = 1122nn（2）设AB = C，AB =(A ,A ,L, A)12sr = A = b +b +L+b nii1i12i2niAB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合
43、，组合系数是A的第i个行向量的各分量。量。矩阵分解当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题0000 100020O00( , ,L,)=( , ,L, )1122nn12n00n对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量于是AE = A，EA = AA(kE)= kA，(kE)A = kA两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂对一个n阶矩阵A，规定tr(A)为A的对角线上元素之和称为
44、A的迹数。于是()()= k1=tr()k1 = tr()kTTTTTTT愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！34其他形式方阵的高次幂也有规律101例如：A = 020101初等矩阵及其在乘法中的作用（1）E(i, j)：交换E的第i, j两行或交换E的第i, j两列（2）E(i(c)：用数c( 0)乘E的第i行或第i列（3）E(i, j(c)：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向
45、分割与B的横向分割一致。两种常用的情况（1）A,B都分成4 块 AA BB A = 1112，B = 1112A21A22B21B22其中A的列数和B的行数相等，A的列数和B的行数相关。i11ji22 j A B+ A BA B+ A BAB = 1111122111121222A A + A BA B+ A B2112222221112221（2）准对角矩阵A00 LLO11 0A220 000LAkkA0 B1100 A B11110 000LLLLLO11 0A22L0 0B22A B22220=MOLLLL00LAkk00LBkk00A Bkkkk愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动
46、！35矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程（都需求A是方阵，且A 0）(I)Ax = B(II)xA = B（I）的解法：(AB)(E x)行（II）的解法，先化为ATTx= BT。(A B)(E x)。TTT通过逆求解：Ax = B，xA B=1可逆矩阵及其逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH = E，且HA = E，则称A是可逆矩1阵，称H是A的逆矩阵，证作A。定理：n阶矩阵A可逆 A 01求A的方程（初等变换法）(AE)(E A)行1伴随矩阵 AA21A n1L11AA22LA( )A*=12n2= ATijLLLLA1nA2nLAnn线性表示可以用 , ,L,线性表
47、示，即可以表示为 , ,L,的线性组合，12s12s也就是存在c ,c ,L,c使得c + c +L+ c = 12s1122ss记号： , ,L,s12愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！36线性相关性线性相关：存在向量可用其它向量 ,L,L,线性表示。i1i1i+1s线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示i定 义 ： 如 果 存 在 不 全 为0的c ,c ,L,c， 使 得c + c +L+ c = 0则 称12s1122ss , ,L,线性相关，否则称 , ,L,线性无关。12s12s即： , ,L,线性相（无）关 x +L+ x = 0有（无）非零解12s11ss( , ,L
48、,)x = 0有（无）非零解12s极大无关组和秩定义： , ,L,的一个部分组(I)称为它的一个极大无关组，如果满足：12si）(I)线性无关。ii）(I)再扩大就相关。(I) , ,L,(II) L (I)12s1s定义：规定 , ,L,的秩( , ,L,)=#(I)。12s12s如果 , ,L,每个元素都是零向量，则规定其秩为0。12s0 ( ,L,) minn,s1s有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量： , ,L, , , ,L,，并且向量方程12s12sx , + x +L+ x = 0与x + x +L+ x = 0同解，则称它们有相同的线性关1122ss1122
49、ss系。对应的部分组有一致的相关性。 , ,的对应部分组 , ,，124124若 , ,相关，有不全为0的c ,c ,c使得124124愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！37c + c + c = 0，112244即(c ,c ,0,c ,0,L,0)是x + x +L+ x = 0的解，1241122ss从而也是x + x +L+ x = 0的解，则有1122ssc + c + c = 0，112244 , ,也相关。123极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设：A =( , ,L,)，B =( , ,L,)，则12s12sx + x +L+ x = 0即Ax = 0
50、，1122ssx + x +L+ x = 0即Bx = 0。1122ss , ,L,与 , ,L,有相同的线性关系即Ax = 0与Bx = 0同解。12s12s反之，当Ax = 0与Bx = 0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩规定r(A)=行（列）向量组的秩。r(A)的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r(A)。命题：r(A)= A的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式a x + a x + a x = bL1111221nn1a x + a x +L+ ax = b22112222nn1Lax + ax +L+ a