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1、,线面-面面平行的性质习题课,1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的与此平面的交线与该直线平行.这个定理叫做直线与平面平行的.用符号表示为.2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行.这个定理叫做平面与平面平行的，用符号表示为.,任一平面,性质定理,交线,性质定理,=a,=bab,a,a,=bab,学点一用线面平行的性质定理证线线平行,若一直线和两个相交平面都平行,则这条直线和两平面的交线平行.,【分析】条件中给出了线面平行,由性质定理,应转化为线线平行.,【解析】已知:a,a,=b.求证:ab.证明:如图所示,过a作平面,设=m,过a作平面,设=n.a,a,=m,am.同理
2、an,mn.m,n,m,又m,=b,mb.又am,ab.,图2-3-2,【评析】(1)如果已知直线与平面平行,在利用直线与平面平行的性质定理时,常作过此直线与已知平面相交的辅助平面,完成线面平行向线线平行的转化,再由线线平行向线面平行转化,这种互相转化的思想方法的应用,在立体几何中十分常见.(2)本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合应用.(3)在寻求线线平行时,初中阶段学过的平行线的判定要充分利用,如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边形的性质等.,如图2-3-3所示,已知=CD,=EF,=AB,AB.求证：EF.,证明：AB,AB,又AB,=CD,ABCD,同理，.,学点二直线与
3、平面平行的判定及性质定理的应用,如图所示，线段，所在直线是异面直线，分别是线段，的中点.,【分析】利用“线线线面”的转化.,(1)求证：，共面并且所在平面平行于直线和；(2)设，分别是和上任意一点，求证：被平面平分.,【证明】(1)，分别是，的中点，CD,FGCD,EHFG,因此，共面.CDEH,CD平面，平面，平面，同理，平面.(2)设平面，连接.设，平面平面.CQ平面，平面，CQMN.是ABC的中位线，是的中点，则是的中点，即被平面平分.,【评析】，三点所确定的辅助平面是解决本题的核心.有了面，就有了连接与面的桥梁，线面平行的性质才能得以应用.,如图2-3-5所示,已知正方形与正方形不共面
4、，.求证：平面.,证明：如图所示，连接并延长交于.正方形与正方形的边长相等，又，则有在正方形中，BC,由可得.MNEG.又平面，平面，故平面.,P,学点三面面平行的性质定理,已知，是夹在两个平行平面，之间的线段，分别为，的中点，求证：平面.,【分析】分，是否共面两种情况.,【证明】若，在同一平面内，则平面与，的交线为，.,ACBD.又，为，的中点，.又平面，MN平面,平面.,若，异面，如图2-3-6所示，过作交于，取中点，连接，.AECD,AE，确定平面.则平面与，的交线为，.又，为，的中点，ED平面,PN平面,平面.同理可证，平面,又PNMP=P,平面平面.又平面，平面.,【评析】（）分类讨
5、论常用于位置关系不确定的条件.(2)本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广.,如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=ND，求证：MN平面AA1B1B.,证明：过M，N分别作直线MEBC，交BB1于E,NFAD,交AB于F，连接EF,则有.又AD=BC，CM=DN，故NFME,故四边形MNFE是平行四边形，于是MNEF.又EF平面AA1B1B，MN平面AA1B1B，故MN平面AA1B1B.,学点四线面平行的判定与性质定理的综合题,三个平面两两相交，有三条交线，如果其中有两条交线平行，那么它们也和第三条交线平行.,【分析】考查线面平行的判定和性质定理.,
6、【解析】已知：=a,=b,=c,且ab.求证：abc.证明：ab,b,a,a,又a,=c,ac.abc.,【评析】本题出现三条直线和三个平面及其相互关系.关系量较多，不容易作图分析，从条件入手，可联想到常见的几何体模型，如以三棱柱为载体，问题就变得容易了.,如图2-3-7所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.,直线A1B平面ADC1，取B1C1的中点D1，连接A1D1，BD1，则A1D1AD,D1BC1D,AD平面A1D1B，C1D平面A1D1B.又ADC1D=D,平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面A
7、DC1.,学点四平行的综合问题,设，是单位正方体的面、面A1B1C1D1的中心.证明：平面AA1B1B,【分析】学完了空间中的平行关系，要证明直线和平面平行的途径主要有两种：一是可以由线线平行来证，即在平面内找一条直线和已知直线平行；二是通过面面平行的性质来证明.,【证明】证法一：如图所示，分别取，A1B1的中点，连接，.，分别是面，面A1B1C1D1的中点，AD,MP=AD,NQA1D1，.且.四边形为平行四边形.MN面AA1B1B，AA1B1B面，面AA1B1B.,证法二：如图所示，连接，在AB1D1中，显然，分别是，D1的中点,PQ，且.PQ平面，平面，平面.,证法三：如图所示，取的中点
8、，分别连接，由题知，D1，PEAA1，A1B1，又EQ=E,PE面，面，面，面面.又PQ面，面AA1B1B.,【评析】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法一通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法二通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法三是通过构造两个平行平面，然后运用面面平行的性质来证，即先由“线线平行”证得“面面平行”，再由“面面平行”得到“线面平行”.本题充分体现了“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的转化.,已知三棱锥，B，C是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证：面面；(2)求SABC：SABC.,（）证明：设
9、，是，的中点.连接，则C,分别在,上.在PMN中，.MNAC,且.平面.同理，AB平面.又AB=A,平面平面.（）同理AB=AB,=BC，ABCABC.SABC：SABC=1：9.,2.如何理解两个平面平行的性质定理？平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者，是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往转化为证明面面平行.必须注意，已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，但是分别在这两个平面内的两条直线不一定平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，
10、但不可能是相交直线，否则导致这两个平面就有公共点.,1.线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆.一个是由线面平行得到其他什么结论;另一个是由什么条件得到线面平行,两者经常结合使用,线线平行线面平行线线平行.体现了数学中的转化思想,也体现了立体几何中的“降维”与“升维”的思想方法.2.除了两个平面平行的性质定理外，两个平面平行还有下列性质：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.用符号表示为：,aa.此性质由面面平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判定方法.（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等；（3）经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.,感谢参与，敬请指导再见！,