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1、精品名师归纳总结线性代数学问点总结第一章行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一节:二阶与三阶行列式a11a 12a11a 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把表达式a 11 a22a12 a21 称为a 21a 22所确定的二阶行列式 ,并记作a 21,a 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 Da11a22a12a21. 结果为一个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 ,把表达式a11a22a33a
2、12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31, 称为由数表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21 a31a12 a22 a32a13a23 所确定的三阶行列式 ,记作a33a11 a21 a31a12 a22 a32a13a23 。a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11即 a21a31a12 a22 a32a13 a23 a33= a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a
3、 21a33a13a22a31,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二三阶行列式的运算 :对角线法就留意 :对角线法就只适用于二阶及三阶行列式的运算。利用行列式运算二元方程组与三元方程组:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对二元方程组a11x1 a21 x1a12 x2b1a22 x2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11设 Da21a12 a220 D1b1a12b2a22Da11b1 .2a21b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1就
4、 xD1b1a12b2a22a11b1D2a21b22,x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Da11a12Da11a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21a22a21a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对三元方程组a11x1 a21 x1 a31x1a12 x2 a22 x2 a32 x2a13 x3 a23 x3 a33x3b1 b2 , b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11设 Da21 a31a12 a22 a32a13
5、a230 ,a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1D1b2b3a12 a22 a32a13 a23 a33, D2a11b1a21b2a31b3a13 a23 a33, D3a11 a21 a31a12 a22 a32b1 b2 , b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 x1D1 , x D2D2 , x D3D3。课本上没有 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意 :以上规律仍能推广到n 元线性方程组的求解上。其次节:全排列及其逆序数全排列 :把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列 或排列 。n 个不同的元素的全部排列的
6、总数,通常用 Pn 或 An表示。 课本 P5逆序及逆序数 :在一个排列中 ,假如两个数的前后位置与大小次序相反,即前面的数大于后面的数 ,那么称它们构成一个逆序,一个排列中 ,逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性 :逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。课本 P5运算排列逆序数的方法:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一 :分别运算出排在 1,2, L , n1,n前面比它大的数码之与即分别算出1,2, L ,n1,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这 n 个元素的逆序数 ,这个元素的逆序数的总与即为所求排列的逆序数。方法二 :
7、分别运算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之与,即算出排列中每个元素的逆序数 ,这每个元素的逆序数之总与即为所求排列的逆序数。课本上没有 第三节:n 阶行列式的定义a11a12La1n定义 :n 阶行列式Da21 Ma22 MLOa2nM等于全部取自不同行、不同列的n 个元素的乘积an1an2Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12na1 p a2 p Lanp的代数与 ,其中 p1 p2 pn 就是 1, 2,的,n一个排列 ,每一项的符号由其逆序数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结打算。 Da11a12La
8、1n0a22La2 nt 12L n1a11a22 Lanna11a22 Lann 也可简记为 detaij,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 aij为行列式 D 的i,j 元。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据定义 ,有 Da11 a21a12La22La1n a2n1 t p1 p2 L pna1 p a2 p Lanp可编辑资料 - - -
9、欢迎下载精品名师归纳总结MMOMp1 p2 L p n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明 :an1an2Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、行列式就是一种特定的算式,它就是依据求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、n 阶行列式就是n. 项的代数与 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、n 阶行列式的每项都就是位于不同行、不同列n 个元素的乘积 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 a1 p1 a 2 p2 Lanptn的符号为1,t 的符号等
10、于排列p1 , p2 ,. pn 的逆序数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、一阶行列式 aa 不要与肯定值记号相混淆。推论 1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 0即 Da12La22La1n a2nt 12L n1a11a22 Lanna11a22 Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2:主对角行列式的值等于其对角
11、线上各元的乘积,副对角行列式的值等于以其副对角线上各元的乘积。n n 112乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122即12 Ln ,ONn n 11212 Ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn第四节:行列式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义记 Da11a12La1na11a21Lan1a21a22La2 nTa12a22Lan2, DMMOMMMOM,行列式DT 称为行列式 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的转置行列式。an1an 2anna1na2nLann可编辑资
12、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 1行列式与它的转置行列式相等。说明行列式中行与列具有同等位置,因此凡就是对行成立的行列式的性质的对列也成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2互换行列式的两行rirj或列 cicj,行列式变号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论假如行列式有两行列完全相同 ,就此行列式为零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 3行列式的某一行 列中全部的元素都乘以同一数krjk ,等于用数 k 乘此行列式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论1D 的某一行列中全部元素的公因子可以提到D 的外
13、面 ;推论2D 中某一行列全部元素为零 ,就 D=0 。性质 4行列式中假如有两行 列元素成比例 ,就此行列式为零 .性质 5如行列式的某一列行的元素都就是两数之与,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21Da12La22La1i a2ia1i La2i La1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2Laniani Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12La22La1i a2 iLa1nLa2na11 a21a12La22La1i a2iLa1n
14、La2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结LLLLLLLLLL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2LaniLannan1an 2LaniLann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 6把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去 ,行列式的值不变。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算行列式常用方法 :利用定义 ;利用运算 rikr j 把行列式化为上三角形行列式,从而算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得行列式的值。说明行列式中行与列具有同等的位置,行列式的 6 个性质凡就是对行成立的对列
15、也同样成立。第五节 行列式按行 列绽开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余子式在 n 阶行列式中 ,把元素aij所在的第 i 行与第 j 列划去后 ,留下来的 n1阶行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结叫做元素aij的余子式 ,记作M ij 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代数余子式记Aijij1M ij,叫做元素aij的代数余子式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结引理一个 n 阶行列式
16、 ,假如其中第 i 行全部元素除 i,j i,j 元外aij都为零 ,那么这行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等于 aij与它的代数余子式的乘积,即 DaijAij 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理n 阶行列式Da11 a21a12La22La1 na2 n等于它的任意一行 列的各元素与其对应的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代数余子式的乘积之与,即an1an 2Lann可编辑资料 -
17、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Dai 1 Ai1ai 2 Ai 2Lain Ain, i1,2,L, n或Da1 j A1ja2 j A2 jLanj Anj ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 j1,2,L , n 。11L1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结扩展范德蒙德 Vandermonde 行列式x1Dx2x2Lxnx2Lx2xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12nij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOMn i j 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xn 1xn 1Lxn 112n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结绽开定理推论n 阶行列式Da11 a21a12La22La1n a2n的任意一行 列的各元素与另一行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列对应的代数余子式的乘积之与为零,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ai1 As1ai 2 As2Lain Asn0is 或a1 j A1ta2 j A2tLanj Ant0 jt 可编辑资料 - - - 欢迎下载