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函数北京高考题二——导数
1.（2011年文科18）已知函数，
（I）求的单调区间；
（II）求在区间上的最小值
2.（2012年文科18）函数，．
（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
（Ⅱ）当，时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．
3.（2012年理科18）已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
4.（2013年文科18．）已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
5.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．
6.（2014年文科20.）已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
7．（2014年理科18.）已知函数，
（1） 求证：；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值与的最小值
1.（2011年文科18）解：（I），令；所以在上递减，在上递增；
（II）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；
当时，函数在区间上递减，所以。
2.（2012年文科18）
解：（Ⅰ），．
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以
，且．
即 ，且．
解得 ，．
（Ⅱ）记．当，时，
，
．
令，得，．
与在上的情况如下：
由此可知：
当≤时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值小于．
因此，的取值范围是
3.（2012年文科18）解：（1）由为公共切点可得：
，则，，
，则，，
①
又，，
，即，代入①式可得：．
（2），设
则，令，解得：，；
，，
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：
当时，最大值为；当时，最大值为已知
4.（2012年理科18）18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
1
↗
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．
5.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．
18．解：(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.
所以f′(1)＝1. 所以L的方程为y＝x－1.
(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于
g(x)>0(x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．
所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
7．解：（1）证明：∵，
∴，即在上单调递增，
∴在上的最大值为，所以．
（2）一方面令，，
则，由（1）可知，，
故在上单调递减，从而，故，所以．
令，，则，
当时，，故在上单调递减，从而，
所以恒成立．
当时，在有唯一解，且，，
故在上单调递增，从而，
即与恒成立矛盾，综上，，故．
解答：
解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，
令f′（x）=0得，x=﹣或x=，
∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．
（Ⅱ）设过点p（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），
则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，
∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），
∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，
设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．
∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），
∴g（x）与g′（x）变化情况如下：
x
（﹣∞，0）
0
（0，1）
1
（1，+∞）
g′（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
↗
t+3
↘
t+1
↗
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，
∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．
综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．
（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
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