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1、课时跟踪检测（五十一） 直线与圆锥曲线一保高考，全练题型做到高考达标1(2019徐州第一中学检测)若双曲线1与直线ykx1有且仅有一个公共点，则这样的直线有_条解析：把直线ykx1代入双曲线1中，消去y，得(49k2)x218kx450，当49k20，即k时，直线与双曲线相交，有一个交点；当49k20，即k时，令0，得182k24(49k2)450，解得k，此时直线与双曲线相切，有一个交点综上，k的值有4个，即这样的直线有4条答案：42已知椭圆C：1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是，则直线PM的斜率为_解析：设P(x0，y0)，则1，直线PM的斜率kPM，直线PN的斜率
2、kPN，可得kPMkPN，故kPM3.答案：33已知抛物线y22px的焦点F与椭圆16x225y2400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AKAF，则点A的横坐标为_解析：16x225y2400可化为1，则椭圆的左焦点为F(3,0)，又抛物线y22px的焦点为，准线为x，所以3，即p6，即y212x，K(3,0)设A(x，y)，则由AKAF得(x3)2y22(x3)2y2，即x218x9y20，又y212x，所以x26x90，解得x3.答案：34(2019江都中学检测)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，若双曲线的
3、离心率为2，O为坐标原点，AOB的面积为，则p_.解析：双曲线1的渐近线方程是yx，抛物线y22px(p0)的准线方程是x，A，B两点的纵坐标分别是y，双曲线的离心率为2，e213，则，A，B两点的纵坐标分别是y，又AOB的面积为，p，解得p.答案：5已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减并化简得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y806(2018海门中学检测)如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，
4、C，D四点，则_.解析：不妨设直线AB的方程为y1，联立解得x2，则A(2,1)，D(2,1)，因为B(1,1)，C(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以1.答案：17(2019宁海中学调研)已知椭圆1(ab0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_解析：根据题意得，直线AB2的方程为：yxb，直线B1F的方程为：yxb，联立两直线方程解得x.又由题意可得，化简得2c2aca20，即2e2e10，又0e1，解得e.答案：8已知直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线
5、l与抛物线C交于A，B两点，且AB12，若M为抛物线C的准线上一点，则ABM的面积为_解析：由题意知，抛物线C的焦点坐标为，对称轴为x轴，准线为x.因为直线l与x轴垂直，所以AB2p12，p6，又点M在抛物线C的准线上，所以点M到直线AB的距离为6，所以ABM的面积S61236.答案：369(2018镇江期末)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH1，求POQ面积的最大值解：(1)由已知得解得所以椭圆C的方程为y21.(2)设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：xmyn，P(x1，y
6、1)，Q(x2，y2)，联立消去x，整理得(4m2)y22mnyn240，所以y1y2，y1y2，故，即H，由OH1，得n2，则SPOQOD|y1y2|n|y1y2|.令Tn2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y2，设t4m2(t4)，则，当且仅当t，即t12时，SPOQ1，所以POQ面积的最大值为1.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：y21的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q.(1)若APPQ，求直线l的斜率；(2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值解：(1)依题意，椭圆C的左顶点A(2,0)，设直线l的斜率为k(k0)，点P的
7、横坐标为xP，则直线l的方程为yk(x2)联立得(4k21)x216k2x16k240，则2xP，从而xP.因为APPQ，所以xP1.所以1，解得k(负值舍去)(2)证明：设点N的横坐标为xN.结合(1)知，直线MN的方程为ykx.联立得x.从而(定值)二上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019苏州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 1(ab0)的离心率为，椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0，1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由解：(1)由题意得，故ac.又椭圆上的动点P
8、到一个焦点的距离的最小值为3(1)，所以ac3(1)，所以c3，a3，所以b2a2c29，所以椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l的斜率为0时，对于1，令y1，得x4，此时以线段AB为直径的圆的方程为x2(y1)216.当直线l的斜率不存在时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y29.联立解得即两圆的交点为(0,3)，记T(0,3)猜想以线段AB为直径的圆恒过定点T(0,3)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24kx160，所以(4k)264(12k2)144k2640，x1x2，x1x2.因为TB(x1，y13
9、)(x2，y23)x1x2y1y23(y1y2)9x1x2(kx11)(kx21)3(kx11kx21)9(k21)x1x24k(x1x2)1616160，所以TATB，故以线段AB为直径的圆过点T(0,3)综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(0,3)2(2019盐城模拟)如图，已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P(2,3)是椭圆C上一点，且PF1x轴(1)求椭圆C的方程；(2)设圆M：(xm)2y2r2(r0)设圆M与线段PF2交于A，B两点，若，且AB2，求r 的值；设m2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G，H两点(均异于点P)试问：是否存在这样的正数r，使得G
10、，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为点P(2,3)是椭圆C上一点，且PF1x轴，所以椭圆的半焦距c2，由1，得y，所以3，化简得a23a40，解得a4，所以b212，所以椭圆C的方程为1.(2)因为，所以，即.所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q)，由(1)知Q.因为圆M与线段PF2交于A，B两点，所以kMQkABkMQkPF21，即1，解得m，所以MQ ，又AB2，所以r .假设存在正数r满足题意由G，H两点恰好关于原点对称，设G(x0，y0)，则H(x0，y0)，不妨设x00.因为P(2,3)，m2，所以两条切线的斜率均存在，设过点P与圆M相切的直线的斜率为k，则切线方程为y3k(x2)，即kxy2k30，由该直线与圆M相切，得r，即k ，所以两条切线的斜率互为相反数，即kPGkPH，所以，化简得x0y06，即y0，代入1，化简得x16x480，解得x02(舍去)或x02，所以y0，所以G(2，)，H(2，)，所以kPG，所以r.故存在满足条件的正数r，且r.