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题目 第七章直线和圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系
高考要求
1．掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑
2．会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量
知识点归纳
1研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线与圆的位置关系有三种，若，则 ;
;
2两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
①
②
③
④
⑤
3直线和圆相切：
这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况
①过圆上一点的切线方程：圆为切点的切线方程是。
当点在圆外时，表示切点弦的方程。
一般地，曲线为切点的切线方程是：。
当点在圆外时，表示切点弦的方程。
这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。
②过圆外一点的切线方程：
4直线和圆相交：
这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题
5经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：
。
在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程
6 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线与圆的交点的圆系方程是：
7几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小
8代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数
题型讲解
例1 已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径
分析：由于OP⊥OQ，所以kOPkOQ=－1，问题可解
解：由消去x得5y2－20y+12+m=0
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件
y1+y2=4，y1y2=
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0
而x1=3－2y1，x2=3－2y2，
∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2＝－15+
∴－15++＝0
∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－，3），半径r=
点评：(1)在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑
(2)体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用：处理y1,y2与x1,x2的对称式 在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算
例2 求经过两圆和的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
分析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程
解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
所以设所求圆的方程为
展开、配方、整理，得+=+
圆心为，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圆的方程为
点评：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
例3 已知圆C：，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0
∵m∈R，∴得
即l恒过定点A（3，1）
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0
点评：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要圆心到直线的距离小于半径。
例4 一直线经过点P被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程
解: (1)当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为,
代入,得
弦长为,符合题意
(2)当斜率k存在时,设所求方程为,
即
由已知,弦心距 ,
解得
所以此直线方程为 ,即
所以所求直线方程为 或
点评: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解本题还要注意,斜率不存在时直线符合题意
例5 自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程
解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），则与圆C’相切，
设: y-3=k(x+3),
，
整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，
所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，
即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
点评: 关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是求圆的切线方程的常用方法若本题由“”求切线方程也可,但过程要复杂些
例6 如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值
解:（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值,
由图形性质可知,
由原点向圆作切线,
其中切线斜率的最大值即为的最大值
设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,
由,解得或
（2）x,y满足,
另法：应用线性规划的思路，如图， 2x-y的最小值或最大值就在直线2x-y＝b与圆的切点处达到。
由,解得或
点评: 圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也非常广泛
例7 一个圆和已知圆外切,并与直线: 相切于点M（）,求该圆的方程
解: 已知圆方程化为: ,其圆心P（1,0）,半径为1
设所求圆的圆心为C（a,b）,
则半径为,
因为两圆外切, ,
从而1+ (1)
又所求圆与直线：相切于M(),
直线,于是,
即 （2）
将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0, a=0或a=4
当a=0时,,所求圆方程为
当a=4时,b=0,所求圆方程为
例8 已知⊙O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹
分析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程
解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径
当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2
综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2
将此关系式坐标化，得
|－|=2
化简可得（x－2）2－=1
解法二：由解法一可得动点P满足几何关系
||OP|－|PA||=2，
即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点（2，0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b==，所以轨迹方程为（x－2）2－=1
小结：
1有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定
2当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形
3有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用
4在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用
5使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单
6解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质
学生练习
1x轴与圆的位置关系是（ ）
A 相切 B 相离 C 相交且不过圆心 D 通过圆心
答案: A
2圆与圆的位置关系是（ ）
A 相离 B 外切 C 相交 D 内切
答案:C
3由点M(5,3)向圆所引切线长是（ ）
A B C 51 D 1
答案: A
4圆与圆的位置关系是（ ）
A 相离 B 外切 C 相交 D 内切
答案: C
5在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（ ）
A B C D
答案: B
6若动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A y2+12x-12=0 B y2-12x+12=0 C y2+8x=0 D y2-8x=0
答案: A
7直线x=2被圆所截弦长等于,则a的值为（ ）
A -1或-3 B 或 C 1或3 D
答案: C
8集合,,,
且仅有2个元素,则a的值为（ ）
A 1 B 0 C -1 D 0,1
答案: B
9设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为
A相切 B相交 C相切或相离 D相交或相切
解：圆心到直线的距离为d=，圆半径为
∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离
答案：C
10圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于
A B C1 D5
解：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=
答案：A
11圆x2+y2－4x=0在点P（1，）处的切线方程为
Ax+y－2=0 Bx+y－4=0 Cx－y+4=0 Dx－y+2=0
解法一：x2+y2－4x=0， y=kx－k+x2－4x+（kx－k+）2=0
该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=
∴y－=（x－1），即x－y+2=0
解法二：∵点（1，）在圆x2+y2－4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直
又∵圆心为（2，0），∴k=－1
解得k=，∴切线方程为x－y+2=0
答案：D
12若过两点A(-1,0),B(0,2)的直线与圆相切,则a=_____
答案:
13如果直线将圆平分,且不通过第四象限,那么的斜率取值范围是__________
答案:
14方程的曲线形状是__________
答案:圆或二射线
15过圆x2+y2=r2上一点P（3,1）的切线方程为__________
答案: 3x+y=r2
16两圆x2+y2=16 及（x-4）2+（y+3）2=R（R>0）在交点处的切线互相垂直,则R=__________
答案:3
17．由点P(6,8)作圆x2+y2=9的切线，则切线长等于 (),两切点所在的直线方程是 (6x+8y─9=0)说明求切线的方法
18．经过圆(x─a)2+(y─b)2=r2上一点(x0,y0)的圆的切线方程是
( (x0─a)(x─a)+(y0─b)(y─b)=r2 )说明：当圆的方程为x2+y2=r2 (即a=b=0) 时，过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2,应记住这个公式
19．P(3,0)为圆C:x2+y2─8x─2y+12=0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是 ( x+y─3=0 )
用勾股定理推导出所求直线垂直于CP（提问是哪条直线即可，然后立即给出答案）
20．已知圆的方程是(x─1)2+y2=1,过原点O作圆的弦，则弦的中点M的轨迹方程是 ( (x─1/2)2+y2=1/4 (x0) )
提示：设已知圆的圆心是P，则M的轨迹是以OP为直径的圆去掉O
21．若圆(x─3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x─3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是 ( 40 又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）=，即m2=3，∴m=
答案：
4直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于________
解：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25
知圆心为（3，1），r=5
由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d==
可得弦长为2，弦长为4
答案：4
5自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程
解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是
（x－2）2＋（y＋2）2＝1
设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－，k2＝－．
故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0
6已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?
分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小
解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=
∵P（x0，y0）在圆内，∴r，故直线和圆相离
7方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程
解：（1）∵a≠0时，方程为［x－］2+（y+）2=，
由于a2－2a+2＞0恒成立，
∴a≠0且a∈R时方程表示圆
（2）r2=4=4［2(－)2+］，
∴a=2时，rmin2=2
此时圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=2
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