资源描述
!-
第一章勾股定理
知识导学：
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。运用勾股定理进行有关的计算和证明，在有关直角三角形求边的计算中，只要分析出两个条件。（其中至少一边）就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系，设未知数通过列方程来解几何题。在运用勾股定理进行证明时，要结合已知条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形，同时要加强分析。
典型例题：
例1. 如图在 中，， 的平分线AD交BC于D，
求证：。
证明：
平分
在 中，
例2. 作长为 的线段。
分析：
故只须先作出长为 的线段。
作法：
(1)作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形。
(2)以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为3的Rt⊿ABD ,则线段BD的长为所求。
例3. 如图， 中， 分别为BC的高和中线，求DE的长。
解：设
又
在 中，
在 中，
即
解得：
例4. 如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点。
求证：。
分析：要证 ，一般方法是在 中取一个角使之等于
，再证明另一个角也等于，
另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角。
证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H。
∵∠ABG= ∠HCG, BG=CG ,∠AGB= ∠HGC
又
在 中，设，由勾股定理得：
又
课后练习：
1. 如图， 中，，D为BC的中点。
求证：。
2. 如图 中，，求AC的长及 的面积。
3. 如图 中，，AD为 的平分线交BC于D，，，求AC的长。
4. 如图， 中，，求BC的长。
5. 如图 中，，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且，
求证：。
答案：
1.证明：
2. 解：作AB的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E
连结BE，则
在 中，
3. 解：作 交AB于E
平分
在 和 中，
在 中，
又
4. 解：作 于D
由 知
又
在 中，
（负值舍去）
5. 证明：延长FD到G使
连结AG、EG，则EF=EG
趣话勾股定理
1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。 这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，如利用反证法证明√2不是有理数，但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！
勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。 汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算）
勾股定理及其逆定理
一、知识要点
1.掌握直角三角形的性质。
如图，直角ΔABC的性质
（1）勾股定理:∠C=90，则有 c2=a2+b2
另外还有:
（2）∠C=90，则有∠A+∠B=90,
（3）∠C=90，则有c>a, c>b。
（4）补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。
如图：
∠C=90且∠A=30，则有BC=AB (或者AB=2BC)
2.掌握勾股定理的逆定理：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。
即在ΔABC中，若a2+b2=c2，则ΔABC为RtΔ。其中c是三角形中最长的边。
3.注意事项:
(1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。
(2) 理解勾股定理的一些变式
c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2
c2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c)
(3) 在理解的基础上熟悉下列勾股数。
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)……
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
二、例题精讲:
例1、已知如图，在ΔABC中，∠ACB=90，AB=5cm, BC=3cm, CD⊥AB于D，求CD的长。
分析：本题考查勾股定理的应用，解题思路为先用勾股定理求AC，再运用三角形的面积公式得到SΔABC=
BCAC=ABCD，于是不难求CD。
解：因为ΔABC是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有
AC2=AB2-BC2=25-9=16，故AC=4。
又SΔABC=BCAC=ABCD
∴ CD=， ∴CD的长是2.4cm。
解题规律：
（1）勾股定理的一个重要应用就是已知直角三角形的两边可以求出第三条边。因此，熟记一些平方数为勾股定理的运用提供便利。
（2）本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD。
例2、试判断：三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1 (n>0)的三角形是否是直角三角形。
分析：条件中给出的是三边的长，要判断三角形是否为直角三角形,应考察三边的关系是否满足a2+b2=c2,但是要找出最大的边。
解：∵ (2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1>0,
(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0(n>0),
∴ 2n2+2n+1为三角形中最大边。
又∵ (2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,
∴ (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,
∴ (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2
根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形。
解题规律：
如何判定一个三角形是否是直角三角形。
①首先判定出最大边（如c）；
②验证：c2与a2+b2是否具有相等关系：
若a2+b2=c2，则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形。
若a2+b2≠c2，则ΔABC不是直角三角形。
例3、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
分析：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
评注：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
例4、已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm，求EC的长。
分析:容易知道三角形ΔAEF≌ΔAED，则AF=AD=BC=10，易求得BF、CF，在RtΔEFC中，满足EF2=CE2+CF2。
解：设CE=x, 则DE=8-x,
由条件知：ΔAEF≌ΔAED，∴AF=AD=10， EF=DE=8-x,
在ΔABF中，BF2=AF2-AB2=102-82=62,
∴ BF=6, ∴ FC=4,
在RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2， ∴(8-x)2=x2+42,
即 64-16x+x2=16+x2, ∴16x=48, x=3,
答：EC的长为3cm。
解题规律：1.题目中有多个直角三角形，可以多次使用勾股定理；
2.利用解方程的思想来解决几何问题是今后我们常用到的数学方法。
例5.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。
分析：题目中给出的是一些线段之间的关系,如何利用线段关系来考察直线垂直呢?连接DF,我们发现考察FE与DE是否垂直,实际上就是考察三角形DEF是否为直角三角形。
答：DE⊥EF。
设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）
∵ DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF2=EF2+DE2, ∴ FE⊥DE。
解题思路:
（1）要正确区别与运用勾股定理和它的逆定理；
（2）用计算的方法来说明三角形是直角三角形也是常用的方法；
（3）还可以设AB=a,有兴趣的同学试试看；
（4）在以后的学习中还可以看到此题有更多和更好的证明方法。
例6、（上海市中考题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解：作AB⊥MN，垂足为B。
在RtΔABP中，∵∠ABP=90，∠APB=30，
AP=160， ∴ AB=AP=80。
（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，
由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/s
t=120m5m/s=24s。
答略。
小结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
例7.CD是ΔABC的高，试判断：“CA2-CB2=AB(DA-DB)”是否成立？
分析：
(1)作出三角形的高以后,可以出现两个直角三角形；
(2)由于三角形的高有不同情况，高可能在三角形内部,可能在三角形外部,因而要考虑分类讨论；
(3)根据问题需要，可考虑应用勾股定理进行试探。
答：（1）当CD在ΔABC形内时（如图）：
CA2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD-DB)
（2）当CD在ΔABC形外时（如图）：
CA2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD+DB)
所以，当高在三角形内部时成立，在三角形外时不成立。
解题思路:
（1）有直角时，出现线段平方的关系常常会涉及到勾股定理；
（2）当可能性不唯一时，要分类讨论。
练习:
1.填空题目:
（1）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为________；
答：6。
详解：设两直角边分别为a和b，则有：a+b=7, 将a+b=7两边平方得：
∴ a2+2ab+b2=49而a2+b2=52=25,
∴ 2ab=24, ∴ ab=6。
（2）如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5cm，那么这个直角三角形的面积为______。
答：5
详解：设一条直角边为a，另一条直角边为2a，则SΔ=a2a=a2,
而a2+(2a)2=25, ∴ a2=5，∴SΔ=a2=5。
(3)若三角形的三边为n+1, n+2,n+3，当n=_____时，这个三角形是直角三角形。
答：2。
详解：n+3是最大边，当(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2时，即n=2时，这个三角形是直角三角形。
(4)如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=4，AD=3，若∠CAB=55，则∠B=______。
答：35。
解：在直角三角形ADC中，求得AC=5,由此可证得：ΔABC为RtΔ。则有∠B=90-∠CAB=35
(5)如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑物的高度是____。
答：12m。点拨：设到达的高度为x，则有x2=152-92=144。 ∴ x=12。
2.选择题:
(1)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）。
A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm
答：B。
详解：AB2=62+82=100,所以AB=10。
依题意有：ΔACD≌ΔAED。
设CD=x, 则DE=x, BD=8-x, BE=10-6=4。
在RtΔDEB中：x2+42=(8-x)2, x=3cm。
（2）如果线段a,b,c能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）
A、1∶2∶4 B、1∶3∶5 C、3∶4∶7 D、5∶12∶13
答：D。
设三边分别为5m, 12m, 13m。三边满足勾股数。
（3）下列叙述中，正确的是（ ）。
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方。
B、如果一个三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C、ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c，若a2+b2=c2，则∠A=90
D、ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c，若c2-a2=b2，那么∠B=90
答：B。分析：A错，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（4）直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（ ）。
A、132 B、121 C、120 D、以上答案都不对
答：A。
详解：设另两边为x,y (x>y)，则有x2-y2=112=121，由平方差公式得(x+y)(x-y)=121，∵ x+y>x-y。
∴ x+y=121且x-y=1,
∴ 周长为121+11=132。
3.如图，从电线杆离地面6m处向地拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
依题意：AC=6，AB=10，如图，在RtΔACB中，BC=8(m)。
故这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有8m。
4.在一根长为24个单位的绳子上，分别标出A、B、C、D四个点，它们将绳子分成长为6个单位、8个单位和10个单位的三条线段。一手将绳子的两个端点握在一起（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形？为什么？
答：得到一个直角三角形，因为62+82=102。所以，所得三角形为RtΔ。
5.已知：如图，在ΔABC中，∠A=90，DE为BC的垂直平分线。求证：BE2=AC2+AE2。
答：连CE，则BE=CE，
∵ ∠A=90， ∴ AE2+AC2=EC2，（勾股定理）
∴ AE2+AC2=BE2，即 BE2=AC2+AE2。
第一章检测题
一、选择题
1、若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新三角形是（ ）。
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
2、下列各组数分别是三角形三条边的长，能构成直角三角形的边的是（ ）。
A、5，13，13 B、1， C、1，，3 D、1.5，2.5，3.5
3、正方形ACEF的边AC是正方形ABCD的对角线，则正方形ABCD与正方形ACEF的面积比是（ ）。
A、∶2 B、∶1 C、1∶2 D、4∶1
4、已知三角形两边分别是5和12，若这两边的夹角是30，则其面积是（ ）。
A、30 B、15 C、45 D、60
5、已知等边三角形的面积为cm2，那么它的高是（ ）。
A、cm B、cm C、cm D、cm
二、填空题
6、如图1，CE、CD分别是RtΔABC斜边上的高和中线，那么图中所有的直角三角形分别是_____，图中所有的等腰三角形是_____，其中相等的线段是_____=_____=_____。
7、如图2，在ΔABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，EF⊥AC交AD于G，那么图中所有直角三角形分别是________，
∠DAC是RtΔ_____与RtΔ________的公共角，∠C=∠_____=∠_____；若∠BAD=42，∠CAD=15，则∠GDE=____度，
∠DGE=____度，∠DEG=____度。
8、在ΔABC中，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c，∠C=90。
① 若a=5，b=12，c=_____。
② 若b=5，c=7，则a=_____。
③ 若c=30，a∶b=3∶4，则a=____，b=_____。
④ 若a=m，∠A=30，则b=_____，c=______。
⑤ 若b=m，∠A=30，则a=_____，c =______。
⑥ 若a=b，c=m，则a=_____，SΔABC=_____。
⑦ 若a=b=m，则c=_____，SΔABC=_____。
9、在RtΔABC中，∠C=90，a=6，b=8，则c=_____，斜边上的高等于____。
10、正方形的面积为acm2，则以这个正方形的对角线为边的正三角形的面积是______。
11、在ΔABC中，BC=n2-1，AC=2n，AB=n2+1，则∠A+∠B=_____。
12、直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm，则斜边上的高是_____cm。
13、已知等边三角形的边长为6，则它的高是______，面积是_______。
14、在ΔABC中，AC⊥BC，以AC和BC为边向形外作等边三角形的面积为3cm2和4cm2，则以斜边AB为边向形外所作等边三角形的面积是_____。
15、已知直角三角形的两条直角边是6cm和8cm，则斜边上的中线长是_____。
16、若直角三角形的两直角边满足a+b=，斜边c=2，则SΔABC=______。
三、解答题
17、在ΔABC中，∠C=90，AB=m2+n2，BC=m2-n2 (m>n>0)，求AC。
18、直角三角形斜边上的中线比一直角边短1cm。如果斜边长为10cm，求两条直角边的长和面积。
19、如图3，在ΔABC中，AB>AC，AD是中线，AE是高。求证：AB2-AC2=2BCDE。
20、如图4，水池中离岸边D点1.5m的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5m，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好在D点。求：水的深度AC。
21、沙漠探险队的A组由驻地出发，以12公里/小时的速度向东南方向搜索前进，同时，B组也由驻地出发，以9公里/小时的速度向东北方向搜索前进，求2个小时后，A、B两组之间的距离。
第一章检测题答案：
一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C
二、6. ΔABC、ΔAEC、ΔBEC、ΔDEC； ΔADC、ΔBDC； AD，DC，DB
7、ΔADB、ΔADC、ΔDEB、ΔDEA、ΔAEF、ΔAGF； ADC，AFG;AGF，EGD； 48，75，57
8、① 13 ② ③ 18，24 ④ ，2m
⑤ ⑥ ⑦
9、10，4.8 （提示：利用直角三角形的两个面积公式，得到方程即ab=ch，得到,其中a,b,为直角边，c为斜边，h为斜边上的高.）
10、
11、90（提示：满足BC2＋AC2=AB2，所以三角形ABC是以顶点C为直角的RT△。）
12、
13、
14、7cm2 （提示：等边三角形的面积公式为，其中a为等边三角形的边长。这个公式记住直接用会很快。设RT△三边为a，b，c，则。）
15、5cm
16、。(提示：a+b=，则(a+b)2=6，a2+b2+2ab=c2+2ab=6，所以2ab=6-22=2，直角三角形的面积为
)
三、17、2mn
18、6cm，8cm，24cm2。
19、证明：
AB2-AC2
=(BE2+AE2)-(EC2+AE2)
=BE2-EC2
=(BE+EC)(BE-EC)
=BC(BE-EC)
∵ BD=DC，∴ BE=BC-EC=2DC-EC。
∴ AB2-AC2=BC(2DC-2EC)=2BCDE。
20、如图，依题意AB=AD，AB⊥CD，
设AC长度为x，由题意得CD=1.5，AB=x+0.5=AD，
所以：x2+1.52=(x+0.5)2，
解得x=2。
答：水的深度为2米。
21、2小时后，A组走的路程为：122=24，
B组走的路为：92=18。
因两组前进的方向是直角，所以两组之间的距离是：
=30（公里）。
答：2小时后，两组之间的距离是30公里。
第二章实数
平方根和立方根
一、知识要点：
1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：
(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是3。
(2)0的平方根是0本身；
(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法: 正数a的平方根表示为“”
4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。记作。0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5.≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：
1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．
2.表示的正数a的算术平方根。蕴含条件a≥0。
三.例题分析:
例1.求下列各数的平方根,算术平方根:
(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2
解: (1)∵(11)2=121
∴121的平方根是11,算术平方根是11；
即=11, =11。
(2)∵(0.07)2=0.0049
∴0.0049的平方根是0.07,算术平方根是0.07,
即,=0.07, =0.07。
(3)∵()2=
∴的平方根是,算术平方根是,
即=,=。
(4)要先把带分数化成假分数,即4
∵()2=
∴4的平方根为，算术平方根为。
即,。
(5) ∵(|a|)2=|a|2,而|a|=a。
∴|a|2的平方根是a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2. 求下列各式的值:
解: (1)3=3=
(2)=
(3)=8
(4)=
(5)-(带分数要先化成假分数)
(6)3=37=21
(7)
(8)0.6+0.9=0.3+0.3=0.6
(9)(a0
∴原式=
（2）∵b>c, b>d；
原式=3a+2c+d+2(b-c)+b-d
=3a+2c+d+2b-2c+b-d
=3a+3b=3a-3a=0
例5. 求下列各式中的x:
(1)49x2=169
解: x2=
∴x= ∴x=。
(2) 9(3x-2)2=(-7)2
分析:先求出3x-2的值,再进一步求x的值。
解: (3x-2)2=
∴3x-2= ∴3x-2=接下来需分类讨论。
当3x-2=时,3x=+2, ∴x=。
当3x-2=-时, 3x=-+2, ∴x=-。
∴x=或x=-。
(3)=11
解:两边平方得 x=121。
(4) 27(x-3)3=-64
解:(x-3)3=-
∴x-3=
∴x-3=- ∴x=
(5) (5x+2)3-125=0
解:(5x+2)3=125 ∴5x+2=
∴5x+2=5
∴x=
(6) =2
解:∴x-1=23 ∴x-1=8 ∴x=9
例6.若(x-y+5)2与互为相反数,求x,y的值。
解: ∵(x-y+5)2与互为相反数。
∴(x-y+5)2+=0
∵(x-y+5)2≥0, ≥0,
∴
解这个方程组得
∴x=-且y=。
说明:在这里用到"几个非负数的和为零,只有这几个非负数分别是零,才符合要求"这一性质。
四.练习:
1.判断正误:
(1)的平方根是3。 （ ）
(2)=。 （ ）
(3)16的平方根是4。 （ ）
(4)任何数的算术平方根都是正数。 （ ）
(5)是3的算术平方根。 （ ）
(6)若a2=b2,则a=b。 （ ）
(7)若a=b,则a2=b2。 （ ）
(8)729的立方根是9。 （ ）
(9)-8的立方根是-2。 （ ）
(10)的平方根是。 （ ）
(11)-没有立方根。 （ ）
(12)0的平方根和立方根都是0。 （ ）
2.填空:
(1)(-3)2的平方根是______,算术平方根是______。
(2)169的算术平方根的平方根是______。
(3)的负的平方根是______。
(4)-是______的一个平方根,(-)2的算术平方根是______。
(5)当m=______时, 有意义；当m=______时, 值为0。
(6)当a为______时,式子有意义。
(7)是4的______,一个数的立方根是-4,这个数是______。
(8)当x为______时, 有意义。
(9)已知x2=11,则x=______。
(10)当a<0时,= ______。
3.选择题:(单选)
(1)在实数运算中,可进行开平方运算的是( )。
(A)负实数 (B)正数和零 (C)整数 (D)实数
(2)若=5,则x=( )
(A)0 (B)10 (C)20 (D)30
(3)下列各式中无意义的是( )。
(A)- (B) (C) (D)
(4)下列运算正确的是( )
(A)-=13 (B)=-6 (C)-=-5 (D)=
(5)如果a<0,那么a的立方根是( )
(A) (B) (C)- (D)
(6)下列各题运算过程和结果都正确的是( )
(A) (B)=2=
(C)=7+=7
(D)=a+b
4.求下列各式中x的值:
(1)4x2-100=0 (2)64(x+1)3+27=0
5.如果+|6y-5|=0，求xy的值。
练习参考答案:
1.判断正误:
(1) (2) (3) (4) (5)√ (6)
(7)√ (8) (9)√ (10)√ (11) (12)√
2.填空:
(1)3；3 (2) (3)-
(4)3； (5)m≥；m=3 (6)a≥2且a≠3
(7)立方根；-64 (8)x为任意实数 (9) (10)-a
3.选择题:
(1)B (2)D (3)D (4)C (5)A (6)A
4.求x的值:
(1)x=5 (2)x=-
5.x=，y=，xy=。
10.1 平方根
考点扫描
1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义。
2.会用根号表示一个数的平方根和算术平方根。
名师精讲
1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
2.一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，2通常省略不写，表示为，正数a的负的平方根，用符号“–”表示，这两个平方根合起来记作“”，0的平方根记作“”。
求一个正数a的平方根的过程，就是平方的逆运算——开方，求平方等于a的两个数的过程，常用的方法步骤是：①从平方入手，写出形如()2=a的式子；②从平方式确定出所求数的平方根；③表示出开平方的结果
=x。
3.本节
展开阅读全文
相关搜索