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北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试
数学试卷（理工类） 2016．11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，，则
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在上单调递减的是
A．
B．
C．
D．
3．若，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
4．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
6．已知三角形外接圆的半径为（为圆心），且， ，则等于
A． B． C． D．
7．已知函数则函数的零点个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是
A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．已知平面向量.若//，则 .
10．函数的单调递减区间为 .
11．各项均为正数的等比数列的前项和为.若，，则 ， ．
12．已知角A为三角形的一个内角，且，则 ， .
13．已知函数在上是具有单调性，则实数的取值范围 .
14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证:.
16．（本小题满分13分）
已知函数（）的图象经过点.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
17．（本小题满分13分）
如图，已知四点共面，,,, ,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的长.
18． （本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）若函数是偶函数，试求的值；
（Ⅱ）当时，求证：函数在上单调递减.
19．（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；
（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．
20．（本小题满分14分）
设是正奇数，数列（）定义如下：，对任意，是的最大奇约数．数列中的所有项构成集合．
（Ⅰ）若，写出集合；
（Ⅱ）对，令表示中的较大值），求证：；
（Ⅲ）证明集合是有限集，并写出集合中的最小数．
北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．11
一、选择题：（满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
C
A
B
A
二、填空题：（满分30分）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设的公差为．
因为成等比数列，所以．
即 ．
化简得，即．
又，且，解得 ．
所以有． …………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：．
所以 ．
因此，． …………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，
所以
解得 ． …………………3分
所以．
所以最小正周期为． …………………6分
（Ⅱ）因为，所以
所以当，即时，取得最大值，最大值是；
当，即时，取得最小值，最小值是
所以的取值范围是． …………………13分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△中，因为，所以．
由正弦定理得，
． …………5分
（Ⅱ）在△中，由得，
．
所以． 解得或（舍）．
又因为
．
在△中，因为
，
所以． …………13分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为函数是偶函数，
所以
恒成立．
所以． …………………4分
（Ⅱ）由题意可知．
设，则．注意到，．
由，即，解得．
由，即，解得．
所以在单调递减，单调递增．
所以当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减. ……………………13分
19．（本小题满分14分）
解：由题意可知．
（Ⅰ）因为，则，，
所以函数在点处的切线方程为．
即． …………………3分
（Ⅱ）因为函数在上单调递减，
所以当时，恒成立．
即当时，恒成立．
显然，当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增．
所以要使得“当时，恒成立”，
等价于即所以． …………………8分
（Ⅲ）设，则．
①当，即时，，所以．
所以函数在单增，所以函数没有最小值．
②当，即时，令得，
解得
随着变化时，和的变化情况如下：
＋
－
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
当时，.
所以.
所以.
又因为函数的最小值为，
所以函数的最小值只能在处取得.
所以.
所以.
易得.
解得． …………………………………14分
以下证明解的唯一性，仅供参考：
设
因为，所以，．
设，则.
设，则.
当时，，从而易知为减函数.
当，；当，．
所以方程只有唯一解．
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）数列为：9，15，3，9，3，3，3，……．
故集合． ……………3分
（Ⅱ）证明：由题设，对，，都是奇数，所以是偶数．
从而的最大奇约数，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，对有，
且．
所以，当且仅当时等号成立．………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有．
所以对，有．
又是正奇数，且不超过的正奇数是有限的，
所以数列中的不同项是有限的．
所以集合是有限集．
集合中的最小数是的最大公约数． ……………14分
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