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1、第11讲直线与圆题型1圆的方程(对应学生用书第38页)核心知识储备1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆典题试解寻法【典题1】(考查应用圆的几何性质求圆的方程)(2017山西运城二模)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x2y0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为_. 【导学号：07804079】解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意
2、可知或故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22【典题2】(考查待定系数法求圆的方程)(2017广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_思路分析法一：利用圆心在直线x3y0上设圆心坐标为(3a，a)利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形列出关于a的方程，求解a的值得出圆的方程；法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2利用条件列出关于a，b，r的方程组解方程组，得出圆的方程；法三：设圆的方程为x2y2DxEyF0利用条件列出关于D、E、F的方程组解方程组，得出
3、圆的方程解析法一：(几何法)所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.法二：(待定系数法：标准方程)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则由于所求圆与y轴相切，r2a2，又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.法三：(待定系数法：一般方程)设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心
4、坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切，0，则E24F.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上，D3E0.联立，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.答案x2y26x2y10或x2y26x2y10类题通法 求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数对点即时训练1若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则点(k，b)所在的圆为
5、()A.(y5)21B.(y5)21C.(y5)21D.(y5)21A由题意知直线ykx与直线2xyb0互相垂直，所以k.又圆上两点关于直线2xyb0对称，故直线2xyb0过圆心(2,0)，所以b4，结合选项可知，点在圆(y5)21上，故选A.2抛物线y24x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为_. 【导学号：07804080】(x1)2y24抛物线y24x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，2)，又准线与x轴的交点为M，M点的坐标为(1,0)，则过M，A，B三点的圆的圆心在
6、x轴，设圆心坐标为O(a,0)，则|OA|OM|，即a(1)，解得a1.圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x1)2y24.题型强化集训(见专题限时集训T1、T3、T11、T13)题型2直线与圆、圆与圆的位置关系(对应学生用书第39页)核心知识储备1直线与圆的位置关系相交、相切和相离，直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相交，dr直线与圆相切，dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，联立消去y，得关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与
7、圆相离0，直线与圆相切0，直线与圆相交0.2圆与圆的位置关系设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(yb2)2r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d|r1r2|(r1r2)两圆内含典题试解寻法【典题1】(考查弦长问题)(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.解析由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心
8、O到直线l的距离为d.由|AB|2得2()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.答案4【典题2】(考查直线与圆位置关系的综合应用)(2017广东汕头高三期末)如图111，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)图111(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数
9、t的取值范围. 【导学号：07804081】解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)，因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07.于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01，因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2,4)，T(t,0)，所以.
10、因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以5555，解得22t22.因此实数t的取值范围是22，22类题通法 解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆
11、上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.对点即时训练1已知P是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为()A3B2C1DB将圆C的方程化为标准方程，即x2(y1)21，所以圆C的半径为1.S四边形PACB|PA|AC|PA|，可知当|CP|最小，即CPl时，四边形PACB的面积最小，由最小面积2得|CP|min，由点到直线的距离公式得|CP|min，因为k0，所以k2.故选B.2已知双曲线x2y21的左、右两个焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：xy
12、t0与圆O有公共点，则实数t的取值范围是()A2,2B0,2C4,4D0,4C双曲线x2y21的两个焦点分别是F1(，0)，F2(，0)，从而圆O的方程为x2y22.因为直线xyt0与圆O有公共点，所以有，即|t|4，从而实数t的取值范围是4,4，故选C.题型强化集训(见专题限时集训T2、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第40页)1(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC.D2A圆x2y22x8y130的标准方程为(x1)2(y4)24，由圆心到直线axy10的距离为1可知1，解
13、得a，故选A.2(2015全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()【导学号：07804082】A2B8C4D10C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C.3(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_y2由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)
14、三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为y2.4(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22.