资源描述
-/
习题 函数
1．设函数，求
（1），，；
（2），（）．
【解】（1）；
（2）
。■
2．已知，求．
【解】令，则，故。■
3．证明：在内是严格递增函数．
【证】方法1（定义法）
∵对任意，有
，其中用到，
∴在内是严格递增函数。
方法2（导数法）
∵
∴。■
4．设在上是奇函数，证明：若在上递增，则在上也递增．
【证】∵对任意，有，
∴由在上单调增加可得：。
又∵在上是奇函数，即，
∴，即，故在上也是单调增加。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 极限
1． 求下列极限：
；
【解】分之分母同除，利用四则运算极限法则和幂极限可得
。■
；
【解】∵
，
∴。■
；
【解】∵
，
∴。■
；
【解】∵，
∴。■
．
【解】
。■
2．求常数和，使得．
【解】∵，，
∴，即。
于是，
，
∴。■
3．若，求，，．
【解】∵，，∴，。
从而，，
，
故不存在。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 无穷小与无穷大
1．利用等价无穷小的代换求下列极限：
；
【解】。■
；
【解】
。■
．
【解】。■
2．设 确定正数的值，使得存在．
【解】∵，
，
∴当，即时，存在。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 极限存在准则
1．计算下列极限：
；
【解】
。■
；
【解】。■
；
【解】。■
．
【解】。■
2．设，试证数列的极限存在，并求此数列极限．
【证】（1）证明极限的存在性
单调性：
∵，∴。
∵，
∴由数学归纳法可知：，即，故为单调减少数列。
有界性：只需证明有下界。
显然，。或者由数学归纳法
∵，，
，
，
∴有下界。
于是，由单调有界收敛准则知：存在极限。
（2）求极限：设，则由求极限可得，即
，
解得：。注意到，故。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 连续函数及其性质
1．求函数的间断点，并说明其类型．
【解】显然，当时，函数无定义，故均为间断点。
∵，
∴，即为第二类间断点，且为无穷间断点。
∵，
，
∴，即为第一类间断点，且为跳跃间断点。■
注：*极限四则运算法则，**的连续性。
2．设，试求函数的表达式，若有间断点，并说明其类型．
【解】∵
∴即
由图形易知：为第一类间断点，且为跳跃间断点。■
3．设 要使在内连续，确定常数．
【解】显然，函数在内为初等函数，故连续。
只需讨论分界点处函数的连续性。
∵，
（无穷小与有界函数积），
∴当时，在内连续。■
4．讨论的连续性．
【解】显然，只需讨论分界点处函数的连续性。
∵，
，
∴，即在内连续。■
5．求下列极限：
为常数）；
【解】方法1 由等价无穷小可得：。
方法2 由重要极限与连续性可得：
。■
；
【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：
。■
为常数）．
【解】显然，当时，。
当时，
。■
6．设函数在上连续，且，证明在上至少存在一点，使得．
【解】作辅助函数，则
∵在上连续，且，
∴。
∵，，
∴①当时，可取，满足；
②当时，，由零点定理可知：存在，使得，即
。
综合可得：存在，使得，即。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 导数的概念
1．求曲线在点处的切线方程与法线方程．
【解】∵，∴。
从而，所求切线方程为，
法线方程为。■
2．若函数可导，求 ．
【解】
。■
3．讨论函数在点处的连续性与可导性．
【解】（1）连续性：
∵，
∴在点处的连续性。
（2）可导性：
∵，
，
∴在点处不可导。
注：也可从可导性入手。左右可导函数必连续，但未必可导。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 求导的运算法则
1．求下列函数的导数：
；
【解】。■
；
【解】
。■
；
【解】。■
；
【解】∵，∴。■
；
【解】∵，
∴。■
；
【解】由复合函数求导法则可得：
。■
；
【解】由四则运算求导法则与复合函数求导法则可得：
。■
．
【解】由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得：
。
注意：也可先分母有理化，再求导。■
2．设可导，求函数的导数。
【解】。■
3．设满足，求．
【解】∵，……①
∴换为可得：。……②
由①②解得：。于是，。■
4．已知，求．
【解】，，。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 高阶导数
1．设，求．
【解】∵，，
∴。■
2．设，其中是二阶可导函数，试求．
【解】∵，∴。■
3．设，求．
【解】隐函数求导法。
对求导，视为的函数：，……①
再对求导，视，均为的函数：……②
∵在原方程中代入可得：，由①可得：，再由②可得：。■
4．求下列函数的阶导数：
为常数）；
【解】∵，∴。■
；
【解】∵，而，
∴。■
．
【解】∵，，
，……，
∴。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 隐函数与参变量函数的求导方法
1．求下列函数的导数：
；
【解】对求导，视为的函数：，解得：
。
注：*利用原方程可以变形。■
．
【解】取对数得：，再对求导，视为的函数：， 解得：。■
2．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于．
【证】设切点为，则
∵，∴。
所求切线方程为，即。
于是，切线在两坐标轴上得截距分别为：。
从而，所求三角形面积为。■
3．设其中二阶可导，求．
【解】参量函数求导法。
∵，
∴。■
4．设求．
【解】∵，，
∴，。■
5．求曲线在对应于的点处的切线方程．
【解】当时，。
∵，∴
由对求导，视：，解得。
于是，，故所求切线方程为
。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 微分中值定理
1．证明：．
【证】设（），则
∵，从而，。
取点可得，故在内
。■
2．设函数在上连续，在内可导．证明：至少存在一点，使得
．
【证】作辅助函数，则
∵在上连续，在内可导，
∴在上连续，在内可导,且。
于是，由拉格朗日中值定理可得：至少存在一点，使得
，
即。■
3．若在上二阶可导，且，其中，证明：在内至少存在一点，使得．
【证】∵在上二阶可导，且，
∴对分别在上应用罗尔定理可得：分别存在，，使得有：。
再对在上应用罗尔定理可得：存在，使得有：。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 洛必达法则
1．求下列极限：
；
【解】。■
（2）；
【解】型不定式。
。■
（3） ；
【解】型不定式。
法1（等价无穷小）
原式=。
法2（洛必达法则）
原式.■
（4） ；
【解】型不定式。
原式。■
（5）．
【解】型不定式。幂指函数极限。由等价无穷小可得
原式（）
。■
2． 设存在且连续，求。
【解】由洛必达法则可得：
原式
。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 泰勒中值定理
1．写出在处带拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式．
【解】∵，，，
，，，
∴由泰勒公式可得：
（介于与1之间），
即（介于与1之间）。■
2．写出的阶麦克劳林公式．
【解】法1（间接法）
∵
∴。
法2（直接法）
∵，
，
∴。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 函数的单调性与极值
1．求函数的单调区间与极值。
【解】定义域：。
∵
∴，，。■
2．求函数在上的最大值和最小值．
【解】注意： ，故只需关注驻点、导数不存在点和端点。
∵
∴驻点，导数不存在点，端点，
其函数值分别为
，
故所求最大值与最小值分别为：
。■
3．在抛物线上找一点，使过的切线与两坐标轴所围三角形面积最小。
【解】最值应用题。
写切线方程：∵，∴所求切线方程为。
求切线在两坐标轴上的截距：令可得，令可得。
写出三角形面积（目标函数）：
（）。
求最小值：
∵，即，故，
显然，。相应的所求点为。■
4．在半径为的球内作一内接圆柱体，要使圆柱体体积最大，问其高、底半径应是多少？
【解】设圆柱体底面半径为、高为，则，圆柱体积为
（）。
∵，
令，即得。
由实际意义可知：当底面半径、高时，所作圆柱体体积最大。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 曲线的凹凸性及拐点
1．讨论曲线的凹凸性及拐点．
【解】显然，函数定义域为，故只需关注定义域内函数二阶导数为零的点和二阶导数不存在点。
∵，
，
∴为凸区间，为凹区间，为曲线的拐点。■
2．求过上的极大值对应的点和拐点的连线的中点，并垂直于的直线方程．
【解】（1）与极大值对应的曲线上的点：
∵，
∴驻点，且，故为的极大值点，对应的曲线上点为。
（2）拐点：
由知：曲线拐点为。
（3）中点：
由中点公式可得与的中点为：。
（4）直线：
过且垂至于（轴）的直线方程为。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 曲线整体形状的研究
1．求曲线的水平与铅直渐近线．
【解】∵，∴为曲线的水平渐近线。
∵，∴为曲线的垂直渐近线。■
2．描绘函数的图形．
【解】函数定义域为。
显然，为曲线的垂直渐近线。
∵，为曲线的水平渐近线。
单调性与极值：
∵
∴，。
凹凸性与拐点：
∵，
∴，拐点。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 导数在不等式证明中的应用
1．证明：当时，有．
【证】单调性法。设，则
∵（）
∴，从而，（），即得证。■
2．设，，证明：．
【证】中值定理法。设，则由拉格朗日中值公式可得：
（），
即 （）。
于是，。■
3．证明：当时，（正整数）．
【证】最值法。设，则
∵
∴由知：在上得最大值为，即对任意，均有，即。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 定积分的概念与性质
1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
；．
【解】（1）。
（2）。
2．比较下列积分的大小：
与；（2）与．
【解】（1）∵，∴。
从而，，
于是，。■
（2）∵对在上应用格朗日中值定理可得：
（）
∴。■
3．设为连续函数，且，求．
【解】设，则。
在上再积分可得：，
解得，故。■
注意：定积分是数，不定积分是函数族！
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 微积分学基本公式
1．求函数的极值．
【解】显然，在内具有任意阶导数。因此，极值只能在驻点处取得。
∵，，
∴唯一驻点为，且。于是，。■
2.求下列极限：；．
【解】（1）。
（2）。■
3．设求函数在上的表达式，并讨论在内的连
续性．
【解】
∵，∴ 。■
4．计算下列定积分：
；
【解】∵
∴。
或者 。■
；
【解】∵
∴
。■
。
【解】由可加性可得：。■
（4）设，计算．
【解】凑微分法。
。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 不定积分的概念与性质
求下列不定积分：
．
【解】。■
．
【解】∵，
∴。
于是，。■
．
【解】∵
∴。■
．
【解】法2
∵，
∴。
于是，。
法2
∵，
∴。■
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 换元积分法
1． 求下列不定积分：
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】配方法＋凑微分法。
。■
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】凑微分法。
。■
；
【解】第二类换元法。作，则，故
。■
；
【解】三角代换：（），则，故
。■
；
【解】第二类换元法。作，则，故
。■
．
【解】第二类换元法。作，则，故
。■
(13)。
【解】配方法＋凑微分法。
。■
2.求，其中
【解】先换元再分段积分：
。■
3．证明：．
【证】∵，且对第二个积分作变换，则
∴。■
4．计算下列定积分：
；
【解】作，则当时，，故
。■
；
【解】作，则，故
。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 分部积分法
1．求下列不定积分：
；
【解】
。■
（其中二阶可导）；
【解】。■
；
【解】
。■
；
【解】
。■
．
【解】
。■
2．计算下列定积分：
；
【解】凑微分法＋分部积分法。
。■
；
【解】分部积分法。
。■
．
【解】凑微分法＋分部积分法。
。■
3．设是的一个原函数，计算．
【解】∵是的一个原函数，∴，从而，
。■
4.若为连续的偶函数，证明为奇函数．
【证】设，则
∵（），
∴，即为奇函数。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 有理函数的积分及应用
求下列不定积分：
．
【解】凑微分法。
。■
．
【解】∵
∴
。■
．
【解】法1 三角公式变形
∵
∴，于是，
。
法2 万能代换
作，则，故
。■
．
【解】
。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 广义积分
计算下列广义积分：
．
【解】
。■
．
【解】。■
．
【解】
．
【解】。■
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题 定积分的应用
1．假设曲线，轴，轴所围区域被曲线分成面积相等的两部分，求的值．
【解】平面图形面积。
由可解得两抛物线交点横坐标为，而
曲线，轴，轴所围区域得面积为
，
故只需确定，使得即可。
∵
，
∴。■
2．求双纽线围成平面图形的面积．
【解】平面图形面积。
由极坐标系平面图形面积公式可得第一象限内区域的面积为：
，
故由图形的对称性可知：所求面积为。■
3．求圆围成的区域绕轴旋转而成的旋转体的体积．
【解】体积。元素法：由对称性可得：
。■
3． 圆柱形水桶高米，底面半径为米，桶内盛满了水，问要把桶内的水全部抽完需做多少功？（取重
力加速度）
【解】功。元素法：建立坐标系如图，任意取微区间，相应的“薄片”的
体积质量重力微功，
故所求功为：
（J）。■
5．求心形线的周长．
【解】曲线的弧长。
由对称性可得：
。■
6．一底为，高为的对称抛物线拱形闸门，其底平行于水面，距水面为（即顶与水面
齐）。闸门垂直放在水中，求闸门所受的压力。若底与高之和为常数，即（为常数），问高和底各为多少时，闸所受的压力最大？
【解】压力。
元素法：
建立坐标系如图，以为积分变量，积分区间为；
任意取微区间，相应的“窄条”所受压力近似为
；
积分得所求压力：（J）。
∵，∴。
∵，∴当，时，压力最大。
注意：抛物方程为。■
―――――――――――――――――――――END――――――――――――――――――――――
展开阅读全文
相关搜索