初二三角形所有知识总结和常考题提高难题压轴题练习(含规范标准答案解析).doc

-! 初二三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180 ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于180 ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360. ⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角 线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线. 常考题： 一．选择题（共13小题） 1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50，则∠1+∠2=（　　） A．90 B．100 C．130 D．180 3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　） A．315 B．270 C．180 D．135 4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　） A．90﹣α B．90+α C． D．360﹣α 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50，则∠BPC=（　　） A．150 B．130 C．120 D．100 8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（　　） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 9．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（　　） A．减少180 B．增加90 C．增加180 D．增加360 10．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 11．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　） A．内角和增加360 B．外角和增加360 C．对角线增加一条 D．内角和增加180 12．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 13．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340的新多边形，则原多边形的边数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 　 二．填空题（共13小题） 14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　． 15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30，再沿直线前进10米，又向左转30，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　 　米． 16．将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　 　度． 17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　 　． 18．若一个多边形内角和等于1260，则该多边形边数是　 　． 19．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　． 20．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180，则它的边数是　 　． 21．若正多边形的一个内角等于140，则这个正多边形的边数是　 　． 22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=　 　度． 23．如图，在△ABC中，∠A=m，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=　 　度． 24．如图，△ABC中，∠A=40，∠B=72，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=　 　度． 25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=　 　度． 26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=　 　． 　 三．解答题（共14小题） 27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67，∠ACB=74，∠AED=48，求∠BDF的度数． 28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35，∠D=42，求∠ACD的度数． 29．已知△ABC中，∠ACB=90，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF． 30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， （1）若∠ABE=25，∠BAD=50，则∠BED的度数是　 　度． （2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH． （3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离． 31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B=35，∠ACB=85，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 32．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158，求∠EDF的度数． 33．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA． （1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？ （2）若∠B=50，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数． 34．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30，则∠ABC+∠ACB=　 　，∠XBC+∠XCB=　 　． （2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小． 35．已知：∠MON=40，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x． （1）如图1，若AB∥ON，则 ①∠ABO的度数是　 　； ②当∠BAD=∠ABD时，x=　 　；当∠BAD=∠BDA时，x=　 　． （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 36．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 37．如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E． （2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化 说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性． 38．Rt△ABC中，∠C=90，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50，则∠1+∠2=　 　； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　 　； （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． （4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　 　． 39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． （1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0角，则∠A′与∠2之间的关系是　 　． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 　  初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析) 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共13小题） 1．（2008•福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和， 即9﹣4=5，9+4=13． ∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13， 故只有B选项符合条件． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边． 　 2．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50，则∠1+∠2=（　　） A．90 B．100 C．130 D．180 【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180列式整理即可得解． 【解答】解：如图，∠BAC=180﹣90﹣∠1=90﹣∠1， ∠ABC=180﹣60﹣∠3=120﹣∠3， ∠ACB=180﹣60﹣∠2=120﹣∠2， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∴90﹣∠1+120﹣∠3+120﹣∠2=180， ∴∠1+∠2=150﹣∠3， ∵∠3=50， ∴∠1+∠2=150﹣50=100． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点． 　 3．（2010•西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　） A．315 B．270 C．180 D．135 【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答． 【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角， ∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C， 即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4）， ∵∠3+∠4=180﹣∠C=90， ∴∠1+∠2=290+90=270． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 　 4．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项． 故选A． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键． 　 5．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　） A．90﹣α B．90+α C． D．360﹣α 【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360﹣（∠A+∠D）=360﹣α， ∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360﹣α）=180﹣α， 则∠P=180﹣（∠PBC+∠PCB）=180﹣（180﹣α）=α． 故选：C． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题． 　 6．（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CAD﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CAD=∠A=50，易求∠B=90﹣∠A=40，从而求出∠A′DB的度数． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=50， ∴∠B=90﹣50=40， ∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CAD=∠A， ∵∠CAD是△ABD的外角， ∴∠A′DB=∠CAD﹣∠B=50﹣40=10． 故选：D． 【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 　 7．（2004•陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50，则∠BPC=（　　） A．150 B．130 C．120 D．100 【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360求得． 【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠AEB=90， ∴∠BPC=∠DPE=180﹣50=130． 故选B． 【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角． 　 8．（2009•黑河）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（　　） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可． 【解答】解：∵15﹣10＜AB＜10+15， ∴5＜AB＜25． ∴所以不可能是5米． 故选：D． 【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和． 　 9．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（　　） A．减少180 B．增加90 C．增加180 D．增加360 【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案． 【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180， n+1边形的内角和是（n﹣1）•180， 因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180﹣（n﹣2）•180=180． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容． 　 10．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答． 【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）180﹣x=1510， 180n=1870+x=1800+（70+x）， ∵n为正整数， ∴n=11， ∴=44， 故选：C． 【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 　 11．（2011春•滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　） A．内角和增加360 B．外角和增加360 C．对角线增加一条 D．内角和增加180 【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题． 【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）•180， 当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）•180， 内角和增加：（n﹣1）•180﹣（n﹣2）•180=180； 根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键． 　 12．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型． 【解答】解：三角形的三个角依次为180=30，180=45，180=105，所以这个三角形是钝角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180＞90． 本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为715=105． 　 13．（2014•毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340的新多边形，则原多边形的边数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得 （n﹣2）180=2340， 解得n=15， 原多边形是15﹣1=14， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键． 　 二．填空题（共13小题） 14．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　8　． 【分析】任何多边形的外角和是360，即这个多边形的内角和是3360．n边形的内角和是（n﹣2）•180，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 （n﹣2）•180=3360， 解得n=8． 则这个多边形的边数是8． 【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 　 15．（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30，再沿直线前进10米，又向左转30，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　120　米． 【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【解答】解：∵36030=12， ∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了1210=120米． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360． 　 16．（2014•随州）将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　75　度． 【分析】根据三角形三内角之和等于180求解． 【解答】解：如图． ∵∠3=60，∠4=45， ∴∠1=∠5=180﹣∠3﹣∠4=75． 故答案为：75． 【点评】考查三角形内角之和等于180． 　 17．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　30　． 【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可． 【解答】解：由题意得：α=2β，α=100，则β=50， 180﹣100﹣50=30， 故答案为：30． 【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键． 　 18．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于1260，则该多边形边数是　9　． 【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答； 【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260， ∴（n﹣2）180=1260， 解得，n=9． 故答案为9． 【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式． 　 19．（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　360　． 【分析】首先根据图示，可得∠1=180﹣∠BAE，∠2=180﹣∠ABC，∠3=180﹣∠BCD，∠4=180﹣∠CDE，∠5=180﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用1805减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可． 【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =（180﹣∠BAE）+（180﹣∠ABC）+（180﹣∠BCD）+（180﹣∠CDE）+（180﹣∠DEA） =1805﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900﹣（5﹣2）180 =900﹣540 =360． 故答案为：360． 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360． 　 20．（2014•自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180，则它的边数是　9　． 【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180，而多边形的外角和是360，则内角和是3360+180．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数． 【解答】解：根据题意，得 （n﹣2）•180=3360+180， 解得：n=9． 则这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 　 21．（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140，则这个正多边形的边数是　9　． 【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是140， ∴它的外角是：180﹣140=40， 36040=9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数． 　 22．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=　60　度． 【分析】先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180列出方程求解即可． 【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B， ∴∠A+∠C=2∠B， 又∵∠A+∠C+∠B=180， ∴3∠B=180， ∴∠B=60． 故答案为：60． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C=2∠B是解题的关键． 　 23．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=　　度． 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2013=∠A=． 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD， ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC， 即∠ACD=∠A1+∠ABC， ∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC=∠ACD， ∴∠A=∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1=∠A， ∴∠A1=m， ∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A， … 以此类推∠A2013=∠A=． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律． 　 24．（2012春•金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40，∠B=72，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=　74　度． 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算． 【解答】解：∵∠A=40，∠B=72， ∴∠ACB=68， ∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， ∴∠BCE=34，∠BCD=90﹣72=18， ∵DF⊥CE， ∴∠CDF=90﹣（34﹣18）=74． 故答案为：74． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起． 　 25．（2006•临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=　36　度． 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC==108，△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC=∠BCA=36度． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． n边形的内角和为：180（n﹣2）． 　 26．（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=　24　． 【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可． 【解答】解：正三角形的每个内角是： 1803=60， 正方形的每个内角是： 3604=90， 正五边形的每个内角是： （5﹣2）1805 =31805 =5405 =108， 正六边形的每个内角是： （6﹣2）1806 =41806 =7206 =120， 则∠3+∠1﹣∠2 =（90﹣60）+（120﹣108）﹣（108﹣90） =30+12﹣18 =24． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360． 　 三．解答题（共14小题） 27．（2013春•临清市期末）如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67，∠ACB=74，∠AED=48，求∠BDF的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数． 【解答】解：因为∠A+∠B+∠ACB=180， 所以∠A=180﹣67﹣74=39， 所以∠BDF=∠A+∠AED=39+48=87． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系． 　 28．（2013•湖州校级模拟）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35，∠D=42，求∠ACD的度数． 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：∵∠AFE=90， ∴∠AEF=90﹣∠A=90﹣35=55， ∴∠CED=∠AEF=55， ∴∠ACD=180﹣∠CED﹣∠D=180﹣55﹣42=83． 答：∠ACD的度数为83． 【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180． 　 29．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF． 【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【解答】证明： ∵∠ACB=90， ∴∠1+∠3=90， ∵CD⊥AB， ∴∠2+∠4=90， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5， 即∠CFE=∠CEF． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键． 　 30．（2010春•横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， （1）若∠ABE=25，∠BAD=50，则∠BED的度数是　　度． （2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH． （3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离． 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75； （2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线； （3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据D是BC中点，E是AD中点，求出三角形BED的面积．三角形BDE中，E到BD的距离就是BD边上的高，有了三角形BDE的面积，BD的长也容易求得．那么高就求出来了． 【解答】解：（1）∠BED=∠ABE+∠BAE=75； （2） CH为所求的高． （3）解：如图，过点E作EF⊥BD于点F， ∵AD是BC的中线 ∴BD=CD ∴S△ABD=S△ACD==60=30 同理S△BED=S△ABE==30=15 又∵S△BED=BD•EF=5EF=15 ∴EF=6 即点E到BC边的距离为6． 【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点． 　 31．（2015春•单县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B=35，∠ACB=85，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数； （2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【解答】解：（1）∵∠B=35，∠ACB=85， ∴∠BAC=60， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=30， ∴∠ADC=65， ∴∠E=25； （2）． 设∠B=n，∠ACB=m， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2=∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180， ∵∠B=n，∠ACB=m， ∴∠CAB=（180﹣n﹣m）， ∴∠BAD=（180﹣n﹣m）， ∴∠3=∠B+∠1=n+（180﹣n﹣m）=90+n﹣m， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE=90， ∴∠E=90﹣（90+n﹣m）=（m﹣n）=（∠ACB﹣∠B）． 【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况． 　 32．（2010春•朝阳区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158，求∠EDF的度数． 【分析】要求∠EDF的度数，只需求出∠BDE和∠FDC的度数即可，由FD⊥BC，得∠FDC=90；而∠BDE在Rt△BDE中，故只需求出∠B的度数．因∠B=∠C，只需求出∠C的度数即可．因∠AFD是△CDF的外角，∠AFD=158∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158﹣90=68． 【解答