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北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末检测九年级数学试卷
2018.1（考试时间120分钟 满分100分）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是
(A) 3cm
(B) 3.5cm
(C) 4cm
(D) 7.5cm
2. 下列事件中，随机事件是
(A)任意画一个圆的内接四边形，其对角互补
(B)现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式
(C)从分别写有数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0
(D)通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0℃以下
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（A） （B） （C） （D）
4.小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，
这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的
衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下，
她找了一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆
的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离
中点25cm处挂了一个重1.6N的物体，在中点的
右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm时
木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是
(A) 1.28N (B) 1.6N
(C) 2N (D) 2.5N
5. 如图，△ABC∽△A’B’C’，AD和A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，若AD＝2，
A’D’＝3，则△ABC与△A’B’C’的面积的比为
(A) 4：9 (B) 9：4
(C) 2：3 (D) 3：2
6. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=14，BC=7.则∠BDC的度数是
(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60
第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转
45，得到△A’B’C，则图中阴影部分的面积为
(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π
8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、 （1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为
(A) －1 (B) －3 (C) －5 (D) －7
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为 .
第9题图 第10题图
10．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△A B C ，点C恰好在B C 上，旋转角为α，则∠C 的度数为 （用含α的式子表示）．
11. 在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1< x2<0，y1> y2，则m的取值范围是 .
12. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA=6，∠APB=60，
则OC的长为 .
第12题图 第13题图
13. 如图，双曲线与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
C（x3，y3），由图象可得不等式组的解集为 .
14. 如图，在平面直角坐标系中，△COD可以看作
是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、
旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到
△COD的过程： .
15. “的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，
其过程如下：
如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计
落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n，并计算频率；在相
同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以
估计出的值为. 请说出其中所蕴含的原理： .
16. 下面是“作顶角为120的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.
已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120.
求作：△ABC的外接圆.
作法：（1）分别以点B和点C为圆心，AB的长为半径
作弧，两弧的一个交点为O；
（2）连接BO；
（3）以O为圆心，BO为半径作⊙O.
⊙O即为所求作的圆.
请回答：该尺规作图的依据是 .
三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，第28题8分）
17．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了
“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.
已知：如图，在△ABC和△ABC中，∠A=∠A，∠B=∠B.
求证：△ABC∽△AB C.
证明：在线段AB上截取AD=AB，过点D作DE∥BC，交AC于点E.
由此得到△ADE∽△ABC.
∴∠A DE=∠B.
∵∠B=∠B，
∴∠A DE =∠B.
∵∠A=∠A，
∴△A DE≌△ABC.
∴△ABC∽△ABC.
小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：
（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A DE与 ；
（2） 然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE与 ；
（3）最后，可证得△ABC∽△AB C.
18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，
∠ADB＝45. 求⊙O半径的长.
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90，画出旋转
后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
① 点A经过的路径的长为 （结果保留π）；
② 写出点B′的坐标为 .
20. 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，
水面宽8m. 水面上升3米，水面宽度减少多少？
下面给出了解决这个问题的两种方法.
方法一 如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线
左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立
平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数
的表达式为 ；当y＝3时，求出此时自变量x的取值，
即可解决这个问题. 图1
方法二 如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的
对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条
抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当y＝ 时，
求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题.
图2
21. 有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中
所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况.
（1）列举出所有可能的情况；
（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率.
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线
交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b 的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出
点P的坐标 ．
23. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB
上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F.
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出
PA的长
24. 如图，在△ABC中，∠C=90，以BC为直径的⊙O交AB于点D，
⊙O的切线DE交AC于点E.
（1）求证：E是AC中点；
（2）若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长.
25. △ACB中，∠C=90，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F.
（1）如图1，若∠B=30，∠CFE的度数为 ；
（2）如图2，当30<∠B<60时，
①依题意补全图2；
②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明.
图1 图2
26．如图，直线AM和AN相交于点A，∠MAN＝30，在射线AN上取一点B，使AB＝6cm，过点B作BC⊥AM于点C，D是线段AB上的一个动点（不与点B重合），过点D作CD
的垂线交射线CA于点E．
（1）确定点B的位置，在线段AB上任取一点D，根据题意，补全图形；
（2）设AD=x cm，CE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
① 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
5.2
4.4
3.8
3.5
8.1
（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）
② 建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出
该函数的图象；
③ 结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt△CDE斜边CE上的中线时，AD的长度约为 cm（结果保留一位小数）．
27. 已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）.
（1）求抛物线l1，l2的表达式；
（2）当x的取值范围是 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大
而增大；
（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值.
28. 在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.
（1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为 .
（2）点M，N的“X矩形”是正方形，
① 当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；
② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出
r的取值范围 .
备用图
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