化归思想在小学数学教学方案计划中的应用.doc

*- 化归思想在小学数学教学中的应用与实践 南芬区实验小学 谢冰 数学思想方法是联系知识和能力的纽带，是数学科学的灵魂。为了提高教学质量，使学生更好地理解数学知识、获取解决问题的有效策略，我们必须重视数学思想方法的教学。 化归方法是数学中最基本的思想方法之一。所谓“化归”，就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程， 归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想。 在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，我们在教学中可逐步渗透这种思想方法，让学生逐步领悟直至到高年级能进行简单的应用。 在这几年的教学过程中我进行了化归方法的渗透教学，我发现学生已能自然地想到使用它来解决数学问题了。我在教学中深刻体会到化归方法的是一种行之有效的思想方法，它有着较为广泛的用途，掌握了它将使我的学生们终身受益。以下是我的一些探索和心得： 一、寻找生长点，化未知为已知。 在学习新知时，我总是先启发学生从自己已有的知识中设法去寻找与新知识的相似之处，将新问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如：数的大小比较学生从低年级起就学习了，随着对数的研究的不断深入，学生要进行两位数与三位数、万以内的数、多位数以及小数、百分数、分数的大小比较。刚开始学整数的大小比较时，我就让学生搞清：每个数位上的数字所表示的含义是不同的，因为计数单位不同。接着我再让他们理解整数的大小比较的基本方法：位数多的数比较大（计数单位大）；相同位数的数，先从高位比起（计数单位最大的数位上的数比起），依次比较，直到比出大小来。有了这些基础知识的铺垫，学生在学习“万以内数的大小比较”一课时，已能通过老师的启发、同学的讨论和自己的思考来解决例题了。 学习“小数的大小比较”一课时，学生能借助于自己的旧知解决整数部分的大小比较，小数部分的大小比较学生又有小数的意义为支点，理解了小数与整数大小比较的方法的相似性以及旧知识的铺垫，学生自然地将“小数的大小比较”化归为类似“整数的大小比较”问题，这一内容很快在学生的思考与讨论中解决了。 小学数学教材中经常有类似的内容出现，找出新知识与旧知识的相似之处，找准知识的生长点，就能将未知的内容化归为我们熟悉的内容，学生在化归方法的渗透过程中也渐渐地学会了思考问题的方法。 二、掌握规律，化繁为简。 随着年级的升高，对数学知识的不断深入，在学习过程中学生们所遇到的问题也越来越复杂。而化归方法却可使比较复杂的形式、关系结构变为比较简单的形式和关系结构，这种方法的有效性在中、高年级时表现的更为突出。 在中年级时，学生就开始接触到一些平面图形的面积问题。学生在学习了长方形面积公式之后，通过剪、拼、割、补等方法相继得到了平行四边形、三角形以及梯形的面积公式，这时学生对化归方法已有了朦胧的认识。有了这样的学习经验的，接下去在高年级求组合图形面积或较复杂的图形面积时，学生自然地想到了通过分割或拼接的方式也将它们化归为已学过的图形，然后得到其面积的方法。 三、拓展思路，化难为易。 高年级学生学过的数学知识逐渐丰富起来，在我的不断鼓励之下，学生们遇到问题总是喜欢做一做、想一想、议一议，然后在自己的独立思考过程之后大胆提出看法。随着化归思想方法的不断渗透，学生们认识到几乎所有的难题经过老师的启发或同学之间的讨论，看清其实质，总能化归为比较简单的问题来解决。这种思想方法也就在他们解题时经常被想到。 《新课程标准》要求教师鼓励学生独立思考，引导学生自主探究、合作交流。在实际教学中我正是这么做的。学生对数学的学习越深入，对于问题的理解和思考方法也越来越多样化。在课堂上，许多同学都争先恐后地发表自己的意见，还能对自己的观点进行合理地解释。例如：在学习了相关的内容之后，教材中出现了1／5＜（ ）＜1／4，要求填写出合适的分数。我知道这是一道很有挑战性的习题，答案不是唯一的，学生们如果能灵活应用已有的知识就可以轻松得到答案。于是，我就将这道题交给学生，让他们自己想办法来解决。学生们刚开始面对它时紧锁眉头，接着他们或低头沉思，或埋头计算，或小声议论，经过了一段时间的思考、酝酿，他们都自信满满地举起了手。学生们根据自己对题意的理解将它化归为以下题目：①同分母分数的大小比较。8／40＜（9／40）＜10／40 ②异分母分数的大小比较。2／10＜（2／9）＜2／8 ③两位小数的大小比较。0.2＜0.24(6／25)＜0.25 ④大数(小数)接近法。1／5＜（23／100）＜25／100或＜5／25＜（6／25）＜1／4。 对于学生们获得的这些答案，我感到非常满意，不仅因为他们都按自己的思路大胆地去尝试获得了成功，而且他们都想到了利用化归的思想方法将难题转化为较简单的问题，然后合理利用旧知来灵活解决。说明几年潜移默化的教学已经深入人心，他们开始自觉地想到和应用它了，这正是我的教学目标之一。 四、有关应用题教学中的应用 例１：学校买了３只篮球和５只足球共付１６４．９元，已知买１只篮球和２只足球共需６０．２元，问 买１只篮球和１只足球各需多少元？ 解法一：１只篮球和２只足球共需６０．２元为化归的对象，把１只篮球和２只足球作为１份数是实施化 归的途径，３份数：３只篮球和６只足球的价格为（６０．２３）元是化归的目标，与３只篮球和５只足球 的价格为１６４．９元进行比较，相差数为１只足球，得１只足球的价格为（６０．２３－１６４．９）元 。 解法二：设１只足球价格为Ｘ元，则１只篮球价格为（６０．２－２Ｘ）元。 根据题意列方程得 ３（６０．２－２Ｘ）＋５Ｘ＝１６４．９ 这类问题中，求两个未知数Ｘ，Ｙ的其中一个未知数为化归的对象，一元一次方程是化归的目标，把一个 未知数用另一个未知数的数量关系来表示是实施化归的途径。 本题中未知数１只篮球价格为化归的对象，一元一次方程３（６０．２－２Ｘ）＋５Ｘ＝１６４．９是化 归的目标，１只篮球的价格用６０．２元减去２只足球的价格来表示是实施化归的途径。 化归思想的实质，是将新问题转化为已掌握的旧知识，然后进一步理解并解决新问题。 化归原则： （１）熟悉化原则，如果能将待解决的陌生问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以充分调动已知的知识 和经验用于面临的新问题，从而有利于问题的解决。 （２）简单原则：若能将一个复杂的问题化归为比较简单的问题，则问题会更容易得到解决，通过分类、 讨论、割补、特殊化、换元等具体方法亦可使问题变得更简单。 波利亚说：“完善的思想方法，犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道路。”化归思想方法在新知识学习、问题解决和知识结构梳理等方面都有重要的应用。它能帮助学生化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。这种思想方法的渗透和简单应用的教学不仅对学生现在的学习具有辅助和促进作用，我想在他们未来的工作和学习将有更加广泛的应用。 我在将来的教学过程中将一如既往地进行其他数学思想方法的渗透和简单应用，把它们与数学知识有机结合起来，帮助学生学好知识，进而优化他们的知识结构，提高学生的数学素养。 化归方法的要素： 化归对象，即对什么东西进行化归；化归目标，即化归到何处去；化归途径，即如何进 行化归。下举例说 明如何在教学中应用这一思想。 一、有关几何图形教学的应用 例１：下图中小正方形的边长是４厘米，大正方形的边长是８厘米求阴影部分的面积。 阴景部分不规则图形是化归的对象，三角形是化归的目标。 （附图 {图}） 图一中旋转法（旋转成一个大的直角三角形）是实施化归的途径。 图二中分割法（分割成两个钝角三角形）是实施化归的途径。 对于图三，长方形是化归的目标，补整法（补成一个大的长方形，然后去掉一个大的直 角三角形、一个小 的正方形、一个等腰直角三角形）是实施化归的途径。 平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导，都是根据化归思想进行教学的，它们 的化归过程简单地 图示如下： （附图 {图}） 平行四边形通过割补化归成长方形，平行四边形是化归的对象，长方形是化归的目标， 割补法是化归的途 径。 三角形是化归的对象，平行四边形是化归的目标，两个完全一样的三角形拼成平行四边 形是实施化归的途 径。 梯形是化归的对象，三角形是化归的目标，旋转法是实施化归的途径。 在这里长方形面积的计算方法是平行四边形面积计算方法的已有知识；平行四边形面积 的计算方法是三角 形面积计算的已有知识；三角形面积的计算方法是梯形面积计算方法的 已有知识；前一种平面几何图形面积计 算方法是后一种面积计算的基础；后一种平面图形 面积计算需化归为前一种学生熟悉的图形，从而使问题得到 解决。 （附图 {图}） 例２：下图阴影部分是梯形，左面长方形的长为３厘米，宽为４厘米，Ａ点为宽的中点， 求阴影部分的面 积。 （附图 {图}） 图中梯形（阴影部分）的上底、下底和高都不知道，阴影部分梯形面积是化归的对象， 左面长方形中的一 个直角梯形面积是化归的目标，同底等高的长方形面积与平行四边形面 积相等是实施化归的途径。同时去掉图 形甲得阴影部分面积，等于直角梯形的面积。 Ｓ［，阴］＝（４＋４２）３２＝９（平方厘米），将面积计算公式应用于实际 问题。图一为已知 的不规则图形。不规则图形为化归的对象；图二长方形为化归的目标； 通过左右平移、上下平移是实施化归的 途径。此题可以化归成长方形的周长来进行计算。 上述几个例子借助“割”“补”“转移”“取特殊位置”等方法可将一般的几何图形化归 成特殊的学生已 学过的熟悉的几何图形，从而使得求面积、周长等变得更容易解决。 二、有关计算教学中的应用 例１：计算４８５３＋４７４８ 机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。将４８这一数化归成物， 即看到了相同的数 ４８，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数４８，相同的数４８ 是化归的对象，红富士苹果是实施化归 的途径，于是４８５３＋４７４８就转化成求 ５３个苹果与４７个苹果之和的问题是化归的目标。 ４８５３＋４７４８＝４８（５３＋５７）＝４８１００＝４８００，得到问 题的解决。 例２：解方程５Ｘ－Ｘ＝４ Ｘ是化归的对象，把未知数Ｘ化归成物红富士苹果，红富士苹果是实施化归的途径，于 是方程５Ｘ－Ｘ＝ ４转化为５个苹果－１个苹果＝４的问题是化归的目标。 ５Ｘ－Ｘ＝４ 得４Ｘ＝４ Ｘ＝４４ Ｘ＝１ 通过以图片中的红富士苹果代替抽象的字母Ｘ，问题得以解决，同时学生对字母表示数 从广义上得以理解 。 教学正负数加减法运算是教材的重点和难点，学生对：“（１）同号两数相加，取原来的 符号，并把绝对 值相加，（２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，较大的绝对值 减去较小的绝对值”。不容易真正 理解和掌握，原因是“绝对值”的概念及名词对小学生来 说是陌生的。 在教学中把正数、负数的绝对值转化为正数来考虑，正负数相加时先确定符号，然后再 化归为两个正数之 间的运算。 （１）同号两数相加，符号不变（即取原来加数的符号），看作两个正数相加（即并把 绝对值相加）。 （２）异号两数相加，符号从大（即指绝对值较大的加数的符号），看作两个正数大减 小（即较大的绝对 值减去减小的绝对值）。 在这里“Ｘ绝对值”是化归的对象，正数是实施化归的途径，两个正数相加以及大的正 数减去小的正数是 化归的目标。 由于学生对两个正数相加及正数中大数减小数是已掌握的知识，然后返回去熟悉理解 “绝对值”的概念， 这样有利于学生对正负数加减运算的真正掌握。 三、有关应用题教学中的应用 例１：学校买了３只篮球和５只足球共付１６４．９元，已知买１只篮球和２只足球共 需６０．２元，问 买１只篮球和１只足球各需多少元？ 解法一：１只篮球和２只足球共需６０．２元为化归的对象，把１只篮球和２只足球作 为１份数是实施化 归的途径，３份数：３只篮球和６只足球的价格为（６０．２３）元 是化归的目标，与３只篮球和５只足球 的价格为１６４．９元进行比较，相差数为１只足 球，得１只足球的价格为（６０．２３－１６４．９）元 。 解法二：设１只足球价格为Ｘ元，则１只篮球价格为（６０．２－２Ｘ）元 根据题意列方程得 ３（６０．２－２Ｘ）＋５Ｘ＝１６４．９ 这类问题中，求两个未知数Ｘ，Ｙ的其中一个未知数为化归的对象，一元一次方程是化 归的目标，把一个 未知数用另一个未知数的数量关系来表示是实施化归的途径。 本题中未知数１只篮球价格为化归的对象，一元一次方程３（６０．２－２Ｘ）＋５Ｘ ＝１６４．９是化 归的目标，１只篮球的价格用６０．２元减去２只足球的价格来表示是 实施化归的途径。 化归思想的实质，是将新问题转化为已掌握的旧知识，然后进一步理解并解决新问题。 化归原则： （１）熟悉化原则，如果能将待解决的陌生问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以充 分调动已知的知识 和经验用于面临的新问题，从而有利于问题的解决。 （２）简单原则：若能将一个复杂的问题化归为比较简单的问题，则问题会更容易得到 解决，通过分类、 讨论、割补、特殊化、换元等具体方法亦可使问题变得更简单。 在小学数学教学中，培养学生运用化归原则来解题，不仅能起到巩固旧知识，促进理解 掌握新知识的作用 ，而且对提高学生解决问题的策略水平有着深远的影响。学习数学的最 大障碍是自信力的缺乏，而掌握化归思 想又将有助于学生自信心的形成与巩固，从而在不 断的成功中追求新的更大的成功。 浅议小学数学教学中化归思想方法的渗透与简单应用 数学思想方法是联系知识和能力的纽带，是数学科学的灵魂。为了提高教学质量，使学生更好地理解数学知识、获取解决问题的有效策略，我们必须重视数学思想方法的教学。 化归方法是数学中最基本的思想方法之一。它是指数学家们把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，我们在教学中可逐步渗透这种思想方法，让学生逐步领悟直至到高年级能进行简单的应用。 笔者现在担任教学的两个班是从二年级开始带起的，在这几年的教学过程中我进行了化归方法的渗透教学，到五年级时，我发现学生已能自然地想到使用它来解决数学问题了。我在教学中深刻体会到化归方法的是一种行之有效的思想方法，它有着较为广泛的用途，掌握了它将使我的学生们终身受益。以下是笔者的一些探索和心得： 一、寻找生长点，化未知为已知。 在学习新知时，我总是先启发学生从自己已有的知识中设法去寻找与新知识的相似之处，将新问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如：数的大小比较学生从低年级起就学习了，随着对数的研究的不断深入，学生要进行两位数与三位数、万以内的数、多位数以及小数、百分数、分数的大小比较。刚开始学整数的大小比较时，我就让学生搞清：每个数位上的数字所表示的含义是不同的，因为计数单位不同。接着我再让他们理解整数的大小比较的基本方法：位数多的数比较大（计数单位大）；相同位数的数，先从高位比起（计数单位最大的数位上的数比起），依次比较，直到比出大小来。有了这些基础知识的铺垫，学生在学习“万以内数的大小比较”一课时，已能通过老师的启发、同学的讨论和自己的思考来解决例题了。 学习“小数的大小比较”一课时，学生能借助于自己的旧知解决整数部分的大小比较，小数部分的大小比较学生又有小数的意义为支点，理解了小数与整数大小比较的方法的相似性以及旧知识的铺垫，学生自然地将“小数的大小比较”化归为类似“整数的大小比较”问题，这一内容很快在学生的思考与讨论中解决了。 小学数学教材中经常有类似的内容出现，找出新知识与旧知识的相似之处，找准知识的生长点，就能将未知的内容化归为我们熟悉的内容，学生在化归方法的渗透过程中也渐渐地学会了思考问题的方法。 二、掌握规律，化繁为简。 随着年级的升高，对数学知识的不断深入，在学习过程中学生们所遇到的问题也越来越复杂。而化归方法却可使比较复杂的形式、关系结构变为比较简单的形式和关系结构，这种方法的有效性在中、高年级时表现的更为突出。 在中年级时，学生就开始接触到一些平面图形的面积问题。学生在学习了长方形面积公式之后，通过剪、拼、割、补等方法相继得到了平行四边形、三角形以及梯形的面积公式，这时学生对化归方法已有了朦胧的认识。有了这样的学习经验的，接下去在高年级求组合图形面积或较复杂的图形面积时，学生自然地想到了通过分割或拼接的方式也将它们化归为已学过的图形，然后得到其面积的方法。 三、拓展思路，化难为易。 高年级学生学过的数学知识逐渐丰富起来，在我的不断鼓励之下，学生们遇到问题总是喜欢做一做、想一想、议一议，然后在自己的独立思考过程之后大胆提出看法。随着化归思想方法的不断渗透，学生们认识到几乎所有的难题经过老师的启发或同学之间的讨论，看清其实质，总能化归为比较简单的问题来解决。这种思想方法也就在他们解题时经常被想到。 《新课程标准》要求教师鼓励学生独立思考，引导学生自主探究、合作交流。在实际教学中我正是这么做的。学生对数学的学习越深入，对于问题的理解和思考方法也越来越多样化。在课堂上，许多同学都争先恐后地发表自己的意见，还能对自己的观点进行合理地解释。例如：在学习了相关的内容之后，教材中出现了1／5＜（ ）＜1／4，要求填写出合适的分数。我知道这是一道很有挑战性的习题，答案不是唯一的，学生们如果能灵活应用已有的知识就可以轻松得到答案。于是，我就将这道题交给学生，让他们自己想办法来解决。学生们刚开始面对它时紧锁眉头，接着他们或低头沉思，或埋头计算，或小声议论，经过了一段时间的思考、酝酿，他们都自信满满地举起了手。学生们根据自己对题意的理解将它化归为以下题目：①同分母分数的大小比较。8／40＜（9／40）＜10／40 ②异分母分数的大小比较。2／10＜（2／9）＜2／8 ③两位小数的大小比较。0.2＜0.24(6／25)＜0.25 ④大数(小数)接近法。1／5＜（23／100）＜25／100或＜5／25＜（6／25）＜1／4。 对于学生们获得的这些答案，我感到非常满意，不仅因为他们都按自己的思路大胆地去尝试获得了成功，而且他们都想到了利用化归的思想方法将难题转化为较简单的问题，然后合理利用旧知来灵活解决。说明几年潜移默化的教学已经深入人心，他们开始自觉地想到和应用它了，这正是我的教学目标之一。 波利亚说：“完善的思想方法，犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道路。”化归思想方法在新知识学习、问题解决和知识结构梳理等方面都有重要的应用。它能帮助学生化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。这种思想方法的渗透和简单应用的教学不仅对学生现在的学习具有辅助和促进作用，我想在他们未来的工作和学习将有更加广泛的应用。 我在将来的教学过程中将一如既往地进行其他数学思想方法的渗透和简单应用，把它们与数学知识有机结合起来，帮助学生学好知识，进而优化他们的知识结构，提高学生的数学素养。